【数学】2019届一轮复习人教A版理第1章第1节 集 合教案

第章集合与常用逻辑用语
第一节集合
[考纲传真](教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
(对应学生用书第1页)
[基础知识填充]
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N＋)Z Q R
(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．
(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
并集交集补集
图形表示
符号表示A∪B A∩B ∁U A
意义{x|x∈A或
x∈B}
{x|x∈A且
x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
[
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A．
(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．
(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集．()
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()
[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x2上的点集．
(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．
(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合．
(5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确．
(6)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A ．]
3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{x |－1＜x ＜1}
D ．{x |1＜x ＜3}
A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，
B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A ．]
4．设全集U ＝{x |x ∈N *，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )
A ．{1,4}
B ．{1,5}
C ．{2,5}
D ．{2,4}
D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．]
5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________. －1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＝0，x 2＋x ≠0，
解得x ＝－1.]
(对应学生用书第1页)
集合的基本概念
M 中的元素个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
(2)已知a ，b ∈R ，若⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a ，b
a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋
b 2 019为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．±1
(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，
a＝1,2,3时，x＝5,6,7.
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.
由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．
(2)由已知得a≠0，则b
a
＝0，
所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]
[规律方法]与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
[跟踪训练](1)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()
A．9
2B．
9
8C．0 D．0或
9
8
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.
【导学号：97190001】
(1)D(2)－3
2
[(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一
个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝2
3
，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝9
8
，
所以a的取值为0或9
8.
(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；
当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－3
2或m ＝1(舍去)， 此时当m ＝－32时，m ＋2＝1
2≠3符合题意． 所以m ＝－3
2.]
集合间的基本关系
(1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆B
D ．B ＝A
(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }
．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．
(1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A ．
(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，
当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－m ≥－1，m ≤3，
－m ＜m .
所以0＜m≤1.
综上所述
m的取值范围为m≤1.]
[规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法
(1)化简集合
从表达式中寻找两集合的关系.
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合
从元素(或图形)中寻找关系.
2.根据集合间的关系求参数的方法
已知两集合间的关系求参数时
关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系
进而转化为参数满足的关系
解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
易错警示：B⊆A(A≠∅)，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
[跟踪训练](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
(1)D(2)(－∞，4][(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，
所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(2)∵B⊆A，
∴当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4.]
集合的基本运算
◎角度1 集合的运算
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x ＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}
D ．A ∩B ＝∅
(2)(2018·石家庄质检(二))设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( )
A ．{1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－3，－2，－1,0}
D ．{2}
(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x ＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．
又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A ． (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C ．] ◎角度2 利用集合的运算求参数
(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R ⎪⎪⎪
12a ≤x ≤2a －1，若
A ∩
B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞
D ．(1，＋∞)
A
[集合A ∩B ≠∅，则⎩⎨
⎧
1
2a ≤2a －1，
2a －1≥1，
解得a ≥1，故选A ．] ◎角度3 新定义集合问题
如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集
合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.
{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．] [易错警示] 解决集合运算问题需注意以下四点：
(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.
(3)要借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.
(4)以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决.
[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )
A ．{1，－3}
B ．{1,0}
C ．{1,3}
D ．{1,5}
(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部
分(如图1-1-1)表示的集合是()
图1-1-1
A．[－1,1) B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
(3)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.
【导学号：97190002】
(1)C(2)D(3){0}∪[2，＋∞)[(1)∵A∩B＝{1}，∴1∈B．
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C．
(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁
N)＝(－3，－1)．
U
(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]。