数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件(1)

n
0的任何次方根都是0，记作 0 0 ．
根式:
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
m
n
正数的正分数指数幂： a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a

m
n

1
a
m
n

1
n
am
(a 0, m, n N * , n 1)
32 2，
a6 a2.
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时正数 a
a 表示 . 负的 n 次方根用符号 n （
a a 0）表示. 例如，
4
16 2，
4 16 2，
4 16 2.
的正的 n 次方根用符号
n
负数没有偶次方根.
什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.
我们知道：
如果 x 2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根.例如，±2就是4的平方根；
如果 x3 a ，那么 x 叫做 a 的立方根.例如，2就是8的立方根.
类似地，由于（ 2）4 16 ，我们把±2叫做16的4次方根；由于 25 32 ，
b a, a b.
4
4
2
二、分数指数幂
根据n次方根的定义和数的运算，我们知道
4
5
10
5
a10 5 (a 2 ) 5 a 2 a (a 0),
12
4
a12 4 (a 3 ) 4 a 3 a (a 0). 这就是说，当根式的被开方数（看成幂的情势）
的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的情势.
49
7
2
3
2

6

7

2
3
2
3
6 216

；
7 343
1
3


1
3
2
（2）2 3 3 1.5 12 2 3 3 2 3 6
2
6
3
1
2
1
2
1
3

1
3
1
3
1
6
1 1
1
3 3
2 3 3 3 2 2 3 2
( a b) n a n b n
am an amn
a n an
( ) n
b
b
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.
初中已经学过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关
1
2
1
2
于面积S的函数 c S 记作 c S . 像 S 这样以分数为指数的幂，其意义是
r
那么 n a n 等于什么？
可以得到：当n为奇数时，n a n a；
a, a 0,
当n为偶数时，
n
n
a | a |
a, a 0.
名师点析
1.在n次方根的概念中,关键是数a的n求一个数的n次方等于a.
2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.
4.1 课时1 次方根与分数指数幂
1. 通过对整数指数幂的含义的回顾,了解指数幂的概念的拓展过
程和指数运算的意义.
2. 理解次方根与分数指数幂的关系,掌握其互化方法,会求特殊
的分数指数幂的值.
3. 掌握有理数指数幂的运算性质,能正确地运用指数幂概念和运
算法则进行指数运算.
情境：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样
思考:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为
分数指数幂的情势？
把根式表示为分数指数幂的情势时，例如，把 3 a 2，b , 4 c 5 等写成下列情势：
3
2
3
1
2
5
4
a a (a 0)，b b (b 0), c c (c 0),
2
4
5
k n
kn
我们希望整数指数幂的运算性质，如（a ） a , 对分数指数幂仍然适用.
4
3
4
3
3 27
.
8
2
例3 用分数指数幂的情势表示并计算下列各式（其中a>0):
（1）a 2 3 a 2；（2） a 3 a .
2
3
1 1
3 2
4 1
3 2
2
3
解：（1）a 2 3 a 2 a 2 a ；（2） a 3 a (aa ) (a ) a .
幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序；
（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，
则可以对根式进行化简运算；
（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的情势表示．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数；
3.0的奇次方根为0．
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根
2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
x a
n
x
n
a
x n a
(n为奇数)
(当n是偶数，且a＞0)
r
r
r

3
4
16
例2 求值：
（1）
8 ；（2）
.
81
2
2
2
3
解：（1）
8 3 （23）3 2 3 2 2 4；
2
3
16
（2）

81

3
4
3
4
3
4
34
81
3
4
16
2
2
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 .
为什么负数没有偶次方根？
因为任意实数的偶次方是非负数.
式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫被开方数.
n
根据n次方根的意义，可得 ( n a ) a. 例如，
5
2


5
5， 3 3.
5
探究：
n
a
n
表示 a n 的 n 次方根，n a n a 一定成立吗？如果不一定成立，
展到了有理数.
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理
数 r，s，均有下面的运算性质.
（1）a a a
r
s
rs
(a 0, r , s Q );
（2）
(a ） a (a 0, r , s Q );
r s
rs
（3）
(ab) a b (a 0, b 0, r Q ).
3
8 8
1
4 8
3
8 8
2 1 1

3 2 6
b
1 1 5

2 3 6
4ab 0 4a；
m2
（2）
(m n ) (m ) (n ) m n 3 ；
n

2
2
3
3
2
3
1
2
2
3
1
2
3
2
1
2
1
6
（3）
(3 a 2 a 3 ) 4 a 2 (a a ) a a a a a a a 6 a a.
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质：
(1) a r a s a r s (a 0, r , s Q);
(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q);
(3) (ab) r a r b (a 0, b 0, r Q).
·指数运算
整数指数幂： ( n N * )
a n a a a...a
1
a , (a 0)
a
1
a 0 1, (a 0)
1
n
a n , (a 0)
a
*
整数指数幂的运算性质： (n, m N )
am an amn
(a m ) n a mn (a n ) m
1
2
1
4
解：
（3）a a a

1
8
a
1 1 1

2 4 8
5
8
a (a 0)；
2
1 1
1 2



1 13
4
3
3 3
3 3

（4）2 x x 2 x x
4x
1 .
x
2


1
3
利用指数幂的运算性质化简求值的方法：
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
2叫做32的5次方根.
一、次方根的定义与性质
一般地，如果 x n a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n>l，且n N .
当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.
3
5
这时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. 例如，5 32 2，
3
1
1 1
1
2
3 6
2 32 18
3. 计算下列各式.
3
2
1
1
1
2
1 1

1

36
（1）
2 3 33 1.5 6 12；（3）a 2 a 4 a 8 (a 0)；（4）
2 x 3 x 3 2 x 3 .
；（2）
49
2

例4 计算下列各式（式中字母均是正数):
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4

1
4

3
8 8
（1）
(2a b )(6a b ) (3a b )；（2）
(m n ) ；（3）
(3 a 2 a 3 ) 4 a 2 .
解：（1）
(2a b )(6a b ) (3a b ) [2 (6) (3)]a
3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.
例1 求下列各式的值：
3
（1）
（ 8）3；（2）（ 10）2；（3）4（3 ）4；（4）（a b）2 .
3
解：
（1）
（ 8）3 8；（2）（ 10）2 | 10 | 10；
a b, a b,
（3）（3 ） | 3 | 3；（4）（a b）
a
a2
3. 计算下列各式.
3
2
1
1
1
2
1 1

1

36
（1）
2 3 33 1.5 6 12；（3）a 2 a 4 a 8 (a 0)；（4）
2 x 3 x 3 2 x 3 .
；（2）
49
2

3
2
6
36
（1）
解：

(m n) (m n)；（3） p
3
2
4
2
3
6
a3
p ( p 0)；（4） (a 0).
a
5
4
5
3
5
解：
（1）
x 2 x ( x 0)；（2）
(m n) 4 (m n) (m n)；
（3） p 6
6
2
5
2
11
2
1
1
5
3
3

3
a
a
5
3
2
p p p p ( p 0)；（4） 1 a a a 2 a 2 (a 0).
m
n
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 a n a m (a 0, m, n N , n 1).
于是，在条件 a 0, m, n N , n 1 下，根式都可以写成分数指数幂的情势.
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
a

m
n
1

1. 用根式的情势表示下列各式（a>0）.
1
2
3
4

3
5

2
3
（1）a ；（2）a ；（3）a ；（4）a .
1
2
3
4
3
4
解：（1）a a；（2）a a ；（3）a

3
5

1
5
a3
；（4）a

2
3

1
2
a3
.
2. 用分数指数幂的情势表示并计算下列各式.
5
（1） x ( x 0)；（2）
的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
分裂
次数
1次
2次
3次
4次
……
细胞
总数
2个
21
4个
22
8个
23
16个
24
x次
y2
2
x
x
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已
经学过整数指数幂．
指数
a
底数
n
幂
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘
方的结果叫做幂.
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
a
例如，5

4
3

1
5
4
3
m
n


1
n
am
1
3
54
(a 0, m, n N , n 1).
，a

2
3

1
a
2
3

1
3
a2
.
与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
三、有理数指数幂的运算性质
规定了分数指数幂的意义以后，幂 a x 中指数 x 的取值范围就从整数拓