专题5-1 平面向量的概念及线性运算测-2018年高考数学

第01节 平面向量的概念及线性运算
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）
1.四边形OABC 中，2
1
=，若=，=，则=（ ） A ．b a 21- B ．b a -21 C ．b a +21 D ．b a +2
1
-
【答案】D
【解析】2
1,+=+=-=,所以21
21-=-+=.
2.下列说法正确的是（ ）.
A ．方向相同或相反的向量是平行向量
B ．零向量是0
C ．长度相等的向量叫做相等向量
D ．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】B
【解析】选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；
3.在ABC ∆中，设三边,,AB BC CA 的中点分别为,,E F D ，则EC FA +=（ ） A ．BD B ．12BD C ．AC D ．1
2
AC 【答案】A 【解析】如图，
EC =
12(AC BC +)，FA =1
2
(BC +BA )，所以EC FA +=BD ．故选A ． 4.【2017·嘉兴模拟】已知向量a 与b 不共线，且AB →
＝λa ＋b ，AC →
＝a ＋μb ，则点A ，B ，C 三点共线应满足 ( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1
【答案】
D
5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则
OA OB OC OD +++等于 （ ）
A.OM
B.2OM
C.3OM
D.4OM 【答案】D 【解析】由已知得，
1111
,,,,2222
OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD =+=+=+=+
而,,CA AC DB BD =-=-所以4OA OB OC OD OM +++=，选D.
6.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为
E
A B
C
D
A ．3
B ．2
C ．1
D ．3- 【答案】D 【解析】
因为E 是DC 的中点，所以1
()2
AE AC AD =
+，∴2AD AC AE =-+，
∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．
7.【2017广东惠州二调】如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝( )
（A ）
AD AB 31
21- （B ）AD AB 2141+ （C ）
AD AB 2131+ （D ）AD AB 3
2
21- 【答案】D
8.在ABC ∆中，点P 是BC 上的点，2=,μλ+=,则（ ） A.2,1λμ== B.1,2λμ== C.12,33λμ== D.21
,33
λμ== 【答案】C
【解析】2= ,)(2-=-,即12
33
AP AB AC ∴=
+,32,31==∴μλ.
9.【2017宁夏育才】设D 为ABC ∆所在平面内一点，CD BC 3=，则（ ） A 、AC 34
AB 31AD -=
B 、A
C 3
4
AB 31AD +-
= C 、3
1
34+=
D 、3134-=
【答案】B
【解析】AC AB AB AC AB BC AB BD AB AD 3
4
31)(3434+-=-+=+
=+=,故选
B.
10.在ABC ∆中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）
A ．1233AC A
B + B ．52
33AB AC - C ．2133AC AB - D ．21
33
AC AB +
【答案】D 【解析】
根据题意画出图形如下所示：
∵2BD DC =，∴ 2()AD AB AC AD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，
∴32AD AB AC =+uuu r uu u r uu u r ，∴123
3
AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，故选D ．
11.【2017·安徽六校联考】在平行四边形ABCD 中，AB →
＝a ，AC →
＝b ，DE →
＝2EC →
，则BE →
＝( )
A ．b －13a
B ．b －23a
C ．b －43a
D ．b ＋13
a
【答案】C
12.设
,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若
()A C A B R λλ=∈()
A D A B
R μμ=∈且11
2λμ
+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ） A ．M 可能是线段AB 的中点
B ．,M N 可能同时在线段BA 延长线上
C ．,M N 可能同时在线段AB 上
D ．,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D
【解析】若M 是线段AB 的中点，则1
2λ=,从而1120λμ
=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确.
若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与1
1
2λ
μ
+
=矛盾，所以选项B 不
正确.
若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以1
1
2λ
μ
+
>与
1
1
2λ
μ
+
=，所以
选项C 不正确.
若,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上，，则有1,1λμ>>，所以1
1
02λ
μ
<
+
<与
1
1
2λ
μ
+
=，所以选项D 正确.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

） 13. AB ++= . 【答案】0
14.在平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)． 【答案】－
14a ＋1
4
b 【解析】MN ＝MC ＋CN ＝
12AD －14AC ＝12b －14 (a ＋b )＝－14a ＋1
4
b . 15.【2017·江苏模拟】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3BC.若DE →
＝
λ1AB →
＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【答案】1
2
【解析】DE →＝DB →
＋BE →
＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝2
3，即
λ1＋λ2＝1
2
.
16.设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;
②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;
③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;
④若→
a =2，存在单位向量
b 、
c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μ
λ
其中真命题是____________. 【答案】①②④
所以④成立.综上①②④.
三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足，求实数λ的
值． 【答案】﹣2 【解析】
试题分析：将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ 解：∵
，
∴
∴
∴
∵ ∴λ=﹣2.
18.平面内有一个ABC ∆和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为
E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.
（1）试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、；
（2）证明线段EL FM GN 、、交于一点且互相平分.
【答案】（1）()()
111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()
1
2
FM a c b =+-，()
1
2
GN a b c =
+-；（2）证明见解析. 【解析】
试题解析：（1） ()()
111
,,222
OE a OL b c EL OL OE b c a =
=+=-=+-，()()
11
,22
FM a c b GN a b c =+-=+-.
（2）证明：设线段EL 的中点为1
P ，则()()
11124
OP OE OL a b c =+=++， 设FM GN 、中点分别为23,P P ， 同理：()
214OP a b c =
++，()
31
4
OP a b c =++， ∴123=OP OP OP =，即其交于一点且互相平分. 19.平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM ＝13BC ，CN ＝1
3
CD ，OA ＝a ，OB ＝b ，用a 、b 表示OM 、ON 、MN .
【答案】1
2
a－
1
6
b
【解析】BA＝a－b，BM＝1
6
BA＝
1
6
a－
1
6
b，OM＝OB＋BM＝
1
6
a＋
5
6
b.OD＝a＋b，
ON＝OC＋CN＝1
2
OD＋
1
6
OD＝
2
3
OD＝
2
3
a＋
2
3
b.MN＝ON－OM＝
1
2
a－
1
6
b
20.设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
【答案】（1）见解析（2）k＝±1
∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a、b是两不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
∴k2－1＝0.∴k＝±1.。