2021-2022学年甘肃省庆阳市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

甘肃省庆阳市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|(2)0}A x x x =-，{|1}B x x =>，则(A B = )
A ．[0，1)
B ．[0，1]
C ．(1，2]
D ．[1，2]
〖解 析〗
{|(2)0}[0A x x x =-=，2]，{|1}B x x =>，(1A B ∴=，2]．
〖答 案〗C 2．已知复数42i
z i
-=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
〖解 析〗22
4412222i i i z i i i --===+--，则对应的点位1
(2
，2)位于第一象限． 〖答 案〗A 3
．若tan θ，则cos2(θ= ) A ．3
5
-
B ．1
3-
C ．
D ．13
〖解
析〗
tan θ=
， ∴2
2
2
222221
1cos sin 112cos 2cos sin 1cos sin 13
12
tan tan θθθθθθθθθ-
--=-===
=+++． 〖答 案〗D
4．已知33
log 5
a =，1
33b =，0.911c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b c a >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
〖解 析〗333
log log 105
a =<=，1
03331b =>=，0.90011111c -<=<<，
则a ，b ，c 的大小为b c a >>． 〖答 案〗A
5．下列各组向量中，不能作为平面的基底的是( ) A ．1(2,1)e =-，2(1,2)e =- B ．1(4,2)e =-，2(2,1)e =- C ．1(3,3)e =，2(1,1)e =-
D ．1(2,3)e =，2(1,3)e =-
〖解 析〗对于A ，2(2)11⨯-≠-⨯，∴1e 与2e 不共线，可以作为基底， 对于B ，412(2)⨯=-⨯-，∴1e 与2e 共线，不可以作为基底， 对于C ，313(1)⨯≠⨯-，∴1e 与2e 不共线，可以作为基底， 对于D ，233(1)⨯≠⨯-，∴1e 与2e 不共线，可以作为基底． 〖答 案〗B
6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，则该圆锥的体积为( )
A B C ． D ．
〖解 析〗设圆锥的母线和底面圆的半径分别为l ，r ，根据侧面展开图是一个面积为4π的
半圆，可得：211
4,2222
l r l ππππ==⋅，解得：l r ==
进而可得圆锥的高h
所以体积为：211233r h ππ=⨯=
〖答 案〗B
7．已知m ，n R ∈，若34i +是方程220x mx n ++=的一个复数根，则该方程的另一个解为
( ) A ．43i +
B ．34i -
C ．34i -+
D ．34i --
〖解 析〗34i +是方程220x mx n ++=的一个复数根，
由一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数可知，该方程的另一个解为34i -． 〖答 案〗B ．
8．如图，A ，B 两地相距45km ，甲欲驾车从A 地去B 地，由于山体滑坡造成道路AB 堵塞，甲沿着与AB 方向成18︒角的方向前行，中途到达C 点，再沿与AC 方向成153︒角的方向继续前行到达终点B ，则这样的驾车路程比原来的路程约多了（参考数据：sin180.31︒≈，
sin270.45︒≈， 1.41)(≈ )
A ．45.5km
B ．51.5km
C ．56.5km
D ．60.5km
〖解 析〗在ABC ∆中，由18A =︒，27C =︒，得135B =︒，由正弦定理得
45sin 27sin18sin135BC AC
==
︒︒︒
， 所以70.5AC km =，31BC km =，所以56.5AC BC AB km +-=． 〖答 案〗C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数又在(0,1)上单调递增的是( ) A ．1y x
=
B ．sin()2
y x π
=-
C ．sin y x =
D ．tan y x =
〖解 析〗1.A y x =在(0,1)上单调递减，.sin()cos 2
B y x x π
=-=-是偶函数． 〖答 案〗CD
10．现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是
( )
A ．事件M “选取的3人都是男生”，事件N “2名女生都被选中”
B ．事件M “选取的3人中至少有1名女生”，事件N “选取的3人中至少有1名男生”
C ．事件M “选取的3人中恰有1名男生”，事件N “选取的3人中恰有1名女生”
D ．事件M “选取的3人中至多有1名女生”，事件N “选取的3人中恰有1名男生” 〖解 析〗对于A ，“选取的3人都是男生”与“2名女生都被选中”不能同时发生，故M ，
N 为互斥事件，故A 正确．
对于B ，“选取的3人中至少有1名女生”包含“选取的3人中有2名女生，1名男生”， “选取的3人中至少有1名男生”包含“选取的3人中有2名女生，1名男生”， 故M ，N 可同时发生，故M ，N 不为互斥事件，故B 错误．
对于C ，“选取的3人中恰有1名男生”即为“选取的3人中1名男生，2名女生”， “选取的3人中恰有1名女生”即为“选取的3人中1名女生，2名男生”，
M ，N 不能同时发生，故M ，N 为互斥事件，故C 正确．
对于D ，“选取的3人中至多有1名女生”即为“选取的3人中均为男生或2名男生，1名女生”，
故“选取的3人中至多有1名女生”与“选取的3人中恰有1名男生”不能同时发生， 故M ，N 为互斥事件，故D 正确． 〖答 案〗ACD
11．在ABC ∆中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，CM 与BN 交于P 点，若
31
77
AP AB AC =
+，则( ) A ．AM MB = B ．2AM MB = C ．3AN NC =
D ．1
3
AN NC =
〖解 析〗设AM xAB =，AN y AC =，由31
77
AP AB AC =+， 可得31
77
AP AM AC x =
+，3177AP AB AN y =+
， C ，P ，M 共线，N ，P ，B 共线，
∴31177311
77x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12AM AB =，14AN AC =，即AM MB =，13AN NC =．
〖答 案〗AD
12．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒．P 是侧面11BCC B 上一动
点，且1||D P =( ) A ．动点P
B ．动点P
C ．直线DP 与平面11BCC B
D ．直线DP 与平面11BCC B
〖解 析〗如图，取11B C 的中点E ，BC 的中点1E ，1BB 的中点F ，1CC 的中点G ．
60BAD ∠=︒，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，
∴△111D B C 为等边三角形，
∴1D E =111D E B C ⊥．
又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 1BB ∴⊥平面1111A B C D ，111BB B C ∴⊥．
1
111BB B C B =，1D E ∴⊥侧面11B C CB ．
1
||
D P=
，
1
D E=
∴||
EP=
∴动点P的轨迹是扇形EFG的弧FG，
114
B EF
C EG
π
∠=∠=，∴
2
FEG
π
∠=，∴
根据弧长公式可得
2
FG
π
=．故A正确，B错误；
由题意知
1
DPE
∠是直线DP与平面
11
BCC B所成的角，
则1
1
1
3
tan
22
DE
DPE
E P
∠==
-
，故C错误，D正确．
〖答案〗AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13．某机构开展关于环境保护的知识问卷，从中抽取了8份试卷，成绩分别为72，85，80，81，86，81，92，90，则这8份试卷成绩的第60百分位数为．
〖解析〗将8个成绩从小到大排序，72，80，81，81，85，86，90，92，
因为860% 4.8
⨯=，所以这8份试卷成绩的第60百分位数为85．
〖答案〗85
14．在等边ABC
∆中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，写出一个与向量AB AC
+
垂直的向量：．（用字母作答）
〖解析〗在等边ABC
∆中，D，E ，F分别为BC，AB，AC 的中点，
因为2
AB AC AD
+=，
所以与向量AB AC
+垂直的向量有：
BC，CB，EF，FE ，BD，DB ，DC，CD，写出其中一个即可．
〖答案〗BC，CB，EF，FE，BD，DB，DC，
CD，〖答案〗不唯一，写出其中一个即可
15．已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4；乙罐中有六个相同的小球，
标号分别为1，2，3，4，5，6．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A = “抽取的2个小球标号之和为偶数”，事件B = “抽取的2个小球标号之和大于7”，则事件A B
发生的概率为 ．
〖解 析〗从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，基本事件总数4624n =⨯=， 事件A
B 包含的基本事件有{2，6}，{3，5}，{4，4}，{4，6}，共4个．
所以事件A B 发生的概率为
1
6
． 〖答 案〗
16
．、 16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin ()sin a A b B c b C =++，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则ABC ∆面积的最小值为 、 ． 〖解 析〗sin sin ()sin a A b B c b C =++，222a b c bc ∴=++， ∴由余弦定理易得1
cos 2
A =-
， 又0A π<<，∴23
A π=
， AD 平分角A ，60BAD CAD ∴∠=∠=︒，
由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，得111
sin120sin 60sin 60222
bc c AD b AD ︒=⋅︒+⋅︒，
即2()4bc b c bc =+，得16bc ，当且仅当b c =时，等号成立，
故ABC ∆面积的最小值为．
〖答 案〗四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知m R ∈，复数2(12)(3)(23)z i m i m i =++-+-． （1）若z 是纯虚数，求m 的值；
（2）若z 对应的点为直线0x y -=第一象限上一点，求z ．
解：复数222(12)(3)(23)(32)(23)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--， （1）若z 是纯虚数，则22320
230m m m m ⎧++=⎨--≠⎩
，解得2m =-，
所以当2m =-时，复数z 为纯虚数．
（2）由22(32)(23)0m m m m ++---=，化简可得2450m m -++=， 解得1m =-或5，
当1m =-时，0z =，不符合题意， 当5m =时，4242z i =+，则4242z i =-． 18．（12分）已知向量(,2)a m =，(1,1)b m =--． （1）若a b ⊥，求||b 的值； （2）若||||a b a b -=+，求m 的值．
解：（1）因为a b ⊥，所以220a b m m ⋅=-+-=，解得2
3
m =．
所以1
(1,)3
b =-，即2||(1)b =-．
（2）因为||||||a b a b -=+，所以22(||||)||a b a b -=+，即||||a b a b -=⋅，所以a ，b 反向． 当a ，b 共线时，22m m -=-，解得1m =-或2m =． 当1m =-时，a ，b 同向，不符合题意； 当2m =时，a ，b 反向，且||||a b >，符合题意． 综上，m 的值为2．
19．（12分）某学校组织“数学文化”知识竞赛，分为初赛和决赛，有400名学生参加知识竞赛的初赛（满分150分），根据初赛成绩依次分为[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]这六组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求本次初赛成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表） （2）若计划决赛人数为80，估计参加决赛的最低分数线．
解：（1）由题意有(0.0050.0100.0200.0200.015)101m +++++⨯=，解得0.030m =， 本次初赛成绩的平均数为
850.05950.11050.21150.31250.21350.15114.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
（2）因为80
10.8400
-
=，所以决赛成绩的最低分为80%分位数． 前四个矩形的面积之和为0.050.10.20.30.65+++=， 前五个矩形的面积之和为0.050.10.20.30.20.85++++=． 设80%分位数为(120130)m m <<， 则0.65(120)0.020.8m +-⨯=， 解得127.5m =．
因此，若计划决赛人数为80，估计参加决赛的最低分数线为127.5．
20．（12分）为巩固当前抗疫成果，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排甲部门3名职工和乙部门2名职工到该地的三个高速路口担任疫情防控志愿者． （1）若从这5名职工中随机选出2人作为组长，求这两人来自同一部门的概率； （2）若将甲部门的3名职工随机安排到三个高速路口（假设每名职工被安排到各高速路口是等可能的，且每名职工的选择是相互独立的），求恰有一人被安排到第一高速路口的概率．
解：（1）这两人来自同一部门的概率为22
322542
105
C C C +==；
（2）由题意可知甲部门每名职工被安排到每个高速路口的概率为1
3，
则恰有一人被安排到第一高速路口的概率为1114
3(1)(1)3339
⨯⨯-⨯-=．
21．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB BC ===，120ABC ∠=︒，D 为棱1BB 上一点，且1BD =．
（1）证明：平面1ADC ⊥平面11BB C C ；
（2）若平面1ADC 将直三棱柱111ABC A B C -分成上、下两个部分，求上、下两部分的体积之比．
（1）证明：如图，取AC 上的点E ，使得2
3
EC AC =
，
再取1AC 上的点F ，使得12
3
FC AC =
， 则1//EF CC ，且111
3133
EF CC ==⨯=，
又1BD =，且1//BD CC ，//EF BD ∴，且EF BD =，∴四边形EFDB 为平行四边形，
//FD EB ∴，
又3AB BC ==，120ABC ∠=︒，
2cos30AC AB ∴=⨯⨯︒=
，2
3
EC AC ∴=
=，又30BCE ∠=︒， 在EBC ∆
中由余弦定理可得：EB =
== 2223912EB BC EC ∴+=+==，
EB BC ∴⊥，又易知平面ABC ⊥平面11BB C C ，
且平面ABC ⋂平面11BB C C BC =，EB ⊂平面ABC ，
EB ∴⊥平面11BB C C ，又//FD EB ，FD ∴⊥平面11BB C C ，又FD ⊂平面1ADC ，
∴平面1ADC ⊥平面11BB C C ；
（2）1BD =，13CC =，1//BD CC ， ∴1
143
BCC DBCC S S =
四边形，
∴11111111144414
33339
A DBCC A BCC C ABC ABC A
B
C ABC A B C V V V V V -----===⨯=，
∴1111115
9
C ADB A ABC A B C V V --=，∴1
11154C ADB A A DBCC V V --=， ∴平面1ADC 将直三棱柱111ABC A B C -分成上、下两个部分的体积之比为5:4．
22．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22b a ac =+．
（1）若9C A =，2b =，求a ； （2）若ABC ∆是锐角三角形，求
cos()
b B A a
-的取值范围． 解：（1）因为2222cos b a c ac B =+-，所以22cos c ac B ac -=，即2cos c a B a -=． 由正弦定理可得sin 2sin cos sin C A B A =+，即sin()2sin cos sin A B A B A +=+， 则sin cos sin cos 2sin cos sin A B B A A B A +=+， 化简得sin()sin B A A -=，即2B A =． 因为9C A =，A B C π++=，所以12
A π
=，6
B π
=
，34
C π=
，
则sin sin()A B C =+=． 因为
sin sin a b
A B
=
，
所以a ．
（2）由（1）可知2B A =，因为ABC ∆是锐角三角形，
所以020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02022032A A A ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪⎪
<-<⎪⎩
，解得64A ππ<<，2cos()sin cos 2cos sin b B A B A A a A -==，
因为cos A ∈，所以
cos()b B A a -的取值范围为3
(1,)2
．。