【数学】江苏省南京市、盐城市2020届高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试
数 学 理 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：
柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：1
3
V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.
样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑.
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的
指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．
4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．
6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2
4y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的
距离为 ▲ ．
8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则
2
1
a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11
P ABB A -00 101 S I While S S S I I I End For Print I
←←≤←+←+(第5题图)
的体积分别为1V 与2V ，则
2
1
V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02
π
ωϕ><<
）的图象与y 轴交点的纵坐标为
32
， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为
6
π
，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142
AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，
则cos BAC ∠的值为 ▲ .
12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，
若P Q ⊆，则
122
1
b b k -+的最小值为 ▲ ．
14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有11
22≤+-ax x e x
成立，则实数a 的值为 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答
案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6
B B π
+
=．
（1）若6
cos C =
，3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且()4cos 5B A -=，求sin A ．
16．(本小题满分14分)
如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P
是侧棱1CC 上的一点． （1）若1AC //平面PBD ，求PC
PC 1
的值； （2）求证：P A BD 1⊥．
(第16题图)
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O
e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的
一条直径上，P e 、
Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切．
（1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)
(第17题图)
18．(本小题满分16分)
设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率
是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u u r u u u u r
，求λμ+的最小 (第18题图)
19．(本小题满分16分)
定义若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．
（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11
22
n n b S n λ+=-
+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；
（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得
40394040
20192019
m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．
y
若函数()x x
f x e ae mx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．
（1）求实数a 的值；
（2）求实数m 的取值范围； （3）若02
()f x e
≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
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数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题
纸的指定区域内）
A .（选修4-2：矩阵与变换）
已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢
⎥
-⎣⎦
变换后得到圆22
:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.
C ．(选修4-5：不等式选讲）
已知正实数,,a b c 满足123
1a b c
++=，求23a b c ++的最小值.
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）
如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.
（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为
3
π
，求母线1AA 的长.
23．（本小题满分10分）
设
22201221
(12)
n
i
n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .
（1）求n S ；
（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3
||6n T n ≥恒成立.
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数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．(,0]-∞ 2．5 3．
2
3
4．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．1
2
-
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把
答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6
B B π
+
=可知
B B B cos 2cos 2
1
sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3
π
=B ， ………………………………………2分
又由6cos 3
C =
，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2
=-=C C ， ………………………4分
故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C AB
AC sin 3
sin =
π，所以2=AB . …………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，)3,0(3ππ∈-A ，
由()4cos 5B A -=即5
4)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， (10)
分
∴10
3
3453215423)3sin(3cos )3cos(3sin
))3
(
3
sin(
sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππ
π
π
.…14分
16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC
平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，
所以在1ACC ∆中，
11PC AO
PC OC
==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .
因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，
又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………8分
因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，
所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，
所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………14分
17．解：（1）设P e 半径为，则)2(4r AB -=， 所以P e 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………4分
解得 4162+≤
πr ，故P e 半径的取值范围为]4
16
,0(2
+π. …………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(42
2r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………8分
设函数),2()(2
x x x f -=]416,0(2
+∈πx ， 所以234)(x x x f -='，由于 3
4
4162
<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，
即当4
16
2+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………13分
答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4
16
2+=πr 时，体积取到最大值. ………………14分
18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………2分
将01x =，0y e =代入椭圆方程得2
2211e a b
+=（※），
而1c e a a
==，2222
1b a c a =-=-，代入（※）式得222
111(1)a a a +=-， 解得22a =，故2
1b =，∴椭圆C 的方程为2212
x y +=.…………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101
x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2
200(1)()12
x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………8分
又由220012x y +=得22
0012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22
x x λλλ+++-=， 化简得2
03212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，
∴03120x λλ-+=，故0
1
32x λ=+.……………………………………………………………12分
同理可得0132u x =
-，故2
0001162
3232943
x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为2
3
. ………………………………………16分
方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，
联立2
2121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，消去x 得22
(2)210m y my +--=（☆），
设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，
由求根公式可得0,1y =012
1
2
y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………8分
将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得2
2
0012
x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴00
1
x m y +=，
由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-22
22000
11
1(2)[()2]x m y y y ==+++ 22
22000
00
111
1(1)232(1)2(1)2
x y x x x ===+++++-.…………………………………………12分
同理可得0132u x =
-，故2
0001162
3232943
x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为2
3. ………………………………………16分
注：（1
）也可设,sin )P θθ
得λ=，其余同理.
（2）也可由11
6λμ
+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.
19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --=
==--，∴11
1n n n n b b
b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………2分
故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，
故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………4分 （2）由1122n n b S n λ+=-
+得23
2
b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.
方法一：由11212n n b S n +=-+得211
2(1)12
n n b S n ++=-++， 两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即211
32
n n b b ++=-，
又252b =，∴21132b b =-，∴1132
n n b b +=-对n N *
∈恒成立，……………………6分
则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴
114314
n n b b +-=-， ∴1
{}4
n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分
∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11
344n n b =⨯+
，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444
n n n n n n n n
b b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分
方法二：同方法一得1132
n n b b +=-对n N *
∈恒成立， 则21132n n b b ++=-
，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而213
02b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2
1
13n n n n
b b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………10分 （3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1
121()2n n n b b b b -+-=-⨯，
又
32212b b b b -=-，∴2
2721
b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，
∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L
12222121n n n --=++++=-L ，
当1n =时上式也成立，故21n
n b =-， ……………………………12分
假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则4039214040
2019212019
m n -<<-， 由214039
1212019
m n
->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，
又212(21)2121404022121212019
m m n n m n m n m n
n n n ------+--==+<---，
∴4040232019m n
-<<，∴1m n -=，∴211
22121m n n -=+--，∴40391404022019212019
n <+<-， ∴202022
2021<<n ，∴10n =，∴11m =，
故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. …………………………16分
20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，
所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，
化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ……………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，
所以x
x x x
x
e me e m e e x
f 1
)(2+-=-+='-，
其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，
即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，
所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………9分 法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，
令m e e x f x g x
x -+='=-)()(，
则x
x x
x
e
e e e x g 1
)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，
若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；
所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，
取m t ln =，则01
)(>=m
t g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.
所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，
代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m 可得00
)1()1()(000x x e x e
x x f -+--=， ……………………………11分
构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(x
x
e e
x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--x
x
x
x
e
e e e
，
所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h ()在[0，+)上为单调减函数，其中e
h 2)1(-=， 13分 则02()f x e
≥-
可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=， 可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故e
e m 1+≤， 综上，m 的取值范围是]1
,2(e
e + . ………………………………………16分 附加题答案
21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，
所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y
'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，
化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，
所以29136120
a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………10分
21.（B ）解：以极点为原点，极轴为轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，
又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分
所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，
为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，
于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分
21.（C ）解：因
1231a b c ++=，所以149123a b c
++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c
++=++++≥++， 即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分 当且仅当149
2323a b c a b c ==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，
所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分
22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，
由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，
从而1
(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r ， 所以112222227cos ,11
(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值为711
. …………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，
所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r
， 设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r ，
所以1111111200n CD x n AC
x y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r ， 所以10x =，令11z =，则1y m =，
所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r ，
同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r ，
因为二面角11A CD B --的大小为3
π，所以122222()111cos ,21()1m m n n m m ⋅-+⋅<>==+⋅-+u u r u u r ， 解得3m =或3m =， 由图形可知当二面角11A CD B --的大小为
3
π时, 3m =. …………………………10分 注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，
令1-=x 得12201232123333(91)2
n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ，
两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4
n n S =-.…………………………3分 （2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L
{}1122331233[999(1)9][(1)]4
n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =
-+-++---+-++-L L {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4
n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4
n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4
n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44
n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………7分 要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12
n n -≥显然成立； 当3n ≥时，101101111112
1(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.
综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………10分
注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12
n n -≥恒成立，请参照评分.。