福建省龙岩市长汀县长汀、连城一中等六校2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

福建省龙岩市长汀县长汀、连城一中等六校2025届高三第二次模拟考试数学试卷 注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．2
2．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）
A B ．3C D ．35
3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A B C ．2 D ．3
4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y
⎧
==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞ 5．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a c b c a b c ⋅=⋅=
+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+= B ．()0a b c ⋅-= C ．()0a b c +⋅= D ．()0a b c -⋅=
6．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ）
A ．()0-∞，
B ．()23，
C ．()()023-∞⋃，
， D ．()3-∞， 7．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A ．240，18
B ．200，20
C ．240，20
D ．200，18 8．已知函数()(N )k f x k x +=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )
A ．3
B ．2
C ．4
D ．5
9．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=--
⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先递减后递增
D ．先递增后递减 10．已知函数||()()x x f x x R e =
∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(212),e e
B ．(20,)2e e
C ．(1
1,1)e + D ．21,12()e e
+ 11．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( )
A ．－30
B ．－40
C ．40
D ．50
12．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．
14．已知x ，y 满足约束条件，则的最小值为___
15．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，
点A 的坐标为()0,1-，则PF PA 的最小值为______________． 16．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则954
S S a =+______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2x
f x xe x =- （1）求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程
（2）设函数()()2ln g x f x x =-，对于任意()0,x ∈+∞，()g x a >恒成立，求a 的取值范围.
18．（12分）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
19．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC
都是菱形， 11160ACC CC B ∠=∠=︒，2AC =．
（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥； （Ⅱ）若16AB =1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）已知向量()()
22sin ,3,cos ,2cos 1=-=-a x b x x ， ()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,==a b ()=3f A ABC ∆的面积.
21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩
(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=
∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角02ρπ
θ≤<
（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；
（2）已知直线m 的直角坐标方程为30x =，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.
22．（10分）已知函数()|2||4|f x x x =++-.
(1)求不等式()3f x x ≤的解集；
(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值.
【详解】
复数()()1z a i i R =+-∈，
由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++
-，
所以由复数定义可知10a -=，
解得1a =，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.
2、A
【解析】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD 即可.
【详解】
设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，
连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =， 11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，
1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，
在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=，
在111Rt A B C △中，2211111111125,cos 5
A B AC B C B AC =
+=∠=， 在11AC D 中，
22211111111112cos 420168C D AC A D AC A D B AC =+-⋅∠=+-=， 在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，
在1BC D 中，22211115985cos 2565
BC BD C D C BD BC BD +-+-∠===⋅. 故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.
3、A
【解析】
()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.
4、D
【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，
()[)1,U A B ∴=+∞.
故选：D .
【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
5、D
【解析】
试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=；若a c b c ⋅=-⋅，则由1()2
a c
b
c a b c ⋅=⋅=+⋅可知，0a c b c ⋅=⋅=，故()0a b c -⋅=也成立，故选D.
考点：平面向量数量积.
【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 6、C
【解析】
直接求交集得到答案.
【详解】
集合{|3}
{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
7、A
【解析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．
【详解】
样本容量为：（150+250+400）×
30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400
⨯
⨯=++ 故选A ．
【点睛】
本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．
8、A
【解析】
根据条件将问题转化为
ln 11x k x x
+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值.
【详解】 ()(N )k f x k x
+=
∈，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==， ∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c k c c
+>-恒成立， ln 11x k x x +∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1
x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x '∴=-
>在1x >恒成立， (3)32ln 30(4)42ln 40q q =--<=-->，，
故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=，
当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减；
当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.
000min 00ln ()()1
x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得： 000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-， N k +∈，且min 0()k h x x <=，
3k ∴≤
故选：A
【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 9、C
【解析】
先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】
函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增.
故选：C
【点睛】
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
10、D
【解析】
讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】
当0x >时，()x x
f x e =，故1'(2)2x f x xe x -=，函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且1222e f e
⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；
当0x <时，()x x f x e
-=，1'()022x f e x x x -=-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则120122e m f e
⎛⎫<-<=
⎪⎝⎭，故2()21,1e e m +∈. 故选：D .
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11、C
【解析】
先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式()52x y -，
其通项公式为()()()555155221r r r
r r r r r r T C x y C x y ---+=-=- 5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数
是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.
令3r =，可得23x y 的系数为()33252
140C -=-； 令2r =，可得32x y 的系数为()2
2352180C -=； 故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.
故选：C.
【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题. 12、A
【解析】
由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.
【详解】
由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222
i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，位于第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.
【详解】 解：样本的平均数1357955
x ++++==, ∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣
⎦ 28,S ∴＝
标准差22S ＝,
故答案为：22
【点睛】
本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.
14、
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由
表示直线在y 轴上的截距最大即可得解.
【详解】
x ，y 满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即. 平移直线，截距最大时即为所求.
点A （，），
z 在点A 处有最小值：z ＝2
， 故答案为：.
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 15、22 【解析】 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则sin PF PM PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PF PA 的值最小. 再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得
PF PA 的最小值. 【详解】
解：由题意可得，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，
则sin PF PM PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PF PA
的值最小. 设切点()
2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=， 则PA 的斜率为11222a a a a
+⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，
∴2PM =，22PA =，
∴2sin 2
PM PAM PA ∠==.
故答案为：
2
. 【点睛】 本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.
16、18
【解析】
将已知712a a =-已知转化为1,a d 的形式，化简后求得12a d =-，利用等差数列前n 公式化简
954S S a +，由此求得表达式的值.
【详解】
因为712a a =-，所以()195154341949922,
1856131213a d S a d a d S a a a a d d d +⨯=-====+++-+. 故填：18.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(22)y e x e =--；（2）22ln 2a <-
【解析】
（1）求出(),(1),(1)f x f f ''，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）a 的取值范围满足min ()a g x <，()0,x ∈+∞，求出()g x '，当()0,x ∈+∞时求出()0g x '>，()0g x '<的解，得到单调区间，极小值最小值即可.
【详解】
（1）由于'()(1)2,(1)22x f x x e f e '=+-=-，
此时切点坐标为(1,2)e -
所以切线方程为(22)y e x e =--.
（2）由已知()22ln x g x xe x x =--， 故1
2'()(1)2(1)(1)()x x g x x e x e x x
=+-+=+-. 由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，
设2()x h x e x =-由于2()x h x e x
=-在(0,)+∞单调递增 同时0x →时，()h x →-∞，x →+∞时，()h x →+∞，
故存在00x >使得0()0h x =
且当0(0,)x x ∈时()0h x <，当0(,)x x ∈+∞时()0h x >，
所以当0(0,)x x ∈时)'(0g x <，当0(,)x x ∈+∞时'()0g x >，
所以当0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值，
故0min 0000()()2(ln )x g x g x x e x x ==-+ 由于0000000
2()02ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-，
22ln 2a ∴<-.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
18、（Ⅰ）2{|
2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x
x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为
()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：
（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->，
当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；
当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213
x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<．
所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
．
（II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为
()2213
a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞
19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
105． 【解析】
试题分析：（1）取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，由等边三角形三边合一可知1CC OA ⊥，1CC OB ⊥，即证．（2）以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面1CAB 与平面11A AB 所成的锐二面角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）证明：连1AC ，1CB ，则1ACC 和11B CC 皆为正三角形．
取1CC 中点O ，连OA ，1OB ，则1CC OA ⊥，1CC OB ⊥，
则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，13OA OB ==，又16AB =，所以1OA OB ⊥．
如图所示，分别以1OB ，1OC ，OA 为正方向建立空间直角坐标系，
则()0,1,0C -，)13,0,0B ，(3A ， 设平面1CAB 的法向量为()111,,m x y z =，
因为(13,0,3AB =-，(0,1,3AC =--，
所以11111100,00,
y x y +⨯=⨯-=⎪⎩ 取()
1,3,1m =- 面11AA B 的法向量取()1
,0,1n =，
则2cos ,·5m n m n m n ⋅===
⨯， 平面1CAB 与平面11A AB
所成的锐二面角的余弦值5
． 20、（1）π；（2）
2或2
【解析】 （1）利用平面向量数量积的坐标运算可得(
)sin()f x x π
=-223，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求sin(2)3A π-=52333
A πππ--
，可求A 的值，由余弦定理可求c 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】 （1）()f x a b
=⋅22sin cos 1)x x x =-
sin 2x x =2sin(2)3
x π=- ∴最小正周期22
T ππ== . （2）由（1）知()2sin
23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()2sin
23f A A π⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭
∴sin 23π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭A ， 又52A 333πππ-≤-≤ ∴2A 33ππ-
=或22A =33ππ-. 解得3A π=或2A π= 当
3
A π=
时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 即222121cos 3π=+-⨯⋅c c ， 解得=2c .
此时11sin 12sin 2232π∆=
=⨯⨯=ABC S bc A . 当2A π=
时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-.
即222121cos 2c c π
=+-⨯⋅，解得c .
此时11sin 1sin 222ABC S bc A π∆=
=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
21、（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，（2【解析】 （1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；
（2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=
-计算即可. 【详解】
（1）曲线C ：1cos sin x y αα
=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<) 22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=， 将3π
θ=代入，解得01ρ=，
即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
点A 的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，
1
1sin 236ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.
22、 (1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.
【解析】
（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可；
（2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤+
+---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围. 【详解】
(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >，
当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25
x ≥，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤
综上所述，不等式解集为[)2,+∞.
(2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，
当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈；
当1x ≠时，24
1313
33111111
x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----. 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
即4x ≥或2x -≤时，等号成立， 所以k 2≤；
综上k 的取值范围是(],2-∞.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。