【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件1.1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 课件：1.1.1平面直角坐标系与曲线方程
一
二
名师点拨1.在平面上建立直角坐标系后,平面上的点与全体有序 实数对之间就建立了一一对应关系,即在给定平面直角坐标系的情 况下,平面上的任意一点唯一地确定一个有序实数对;反之,任意给 定一个有序实数对,它也唯一地确定平面上的一个点. 2.两点间的距离公式:在平面直角坐标系内,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法二(向量法)
在 ▱ABCD 中 ,������������ = ������������ + ������������ , 两边平方得������������ 2 =|������������ |2=|������������ |2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 同理得������������ 2 =|������������ |2=| ������������|2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 以上两式相加,得 |������������ |2+|������������ |2=2(| ������������ |2+| ������������ |2)+2������������ · (������������ + ������������)=2(|������������|2+| ������������ |2), 即 |AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换随堂验收(共16张PPT)
1, 4.
4.在同一直角坐标系中函数y=cos2x的图像经过伸缩变换φ 后,得到函数 y 2cosx 的图像,则伸缩变换φ是( )
A.x
2 x, 2
y 2 y
C.
x
1 2
x,
y
2y 2
x 2x,
B.
y
2y
A. 2 Y X 5 3
C. 3 Y 1 X 5 22
B. 3 Y X 5 2
D. 3 Y 2X 5 2
答案:B
解析
:
x
y
X 2
,
代入直线方程为
3Y
3Y
2
2
X
5.
7.若点P(x,y)经过平面伸缩变换
X
Y
1 2 1 2
D.
x
y
2x, 2x
答案:B
解析
:
设伸缩变换为
:
x x(
y uy(u
00)),, 则
x y
1
1 u
x, y.
1 y cos 2 x,即y ucos 2 x.由题意可知,
u
u 2, 2 1. 2, u 2.
将
x y
5x, 直接代入2x2 3y,
8y2
1,
得25x2 83y2 1,
即50x2 72y2 1为所求曲线C的方程.
X 2x,
高中数学北师大版选修4-4配套课件：1-1《平面直角坐标系》
已知某荒漠上有两个定点 A、B，它们相距 2 km，现准 备在荒漠上开垦一片以 AB 为一条对角线的平行四边形区域 建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8 km. (1)问农艺园的最大面积能达到多少？ (2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A，且与 AB 成 30° 的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园 的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂 不加固，问：暂不加固的部分有多长？
【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲 舰的相对位置，因此不妨用点 A、B、C 表示甲舰、乙舰、丙 舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
【自主解答】 设 A， B， C， P 分别表示甲舰、 乙舰、 丙舰和商船．如图所示，
以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直 角坐标系，则 A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3)．
联立①②，解得 P 点坐标为(8,5 3)． 5 3 ∴kPA＝ ＝ 3. 8－3 因此甲舰行进的方位角为北偏东 30° .
1．由于 A、B、C 的相对位置一定，解决问题的关键是： 如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解． 2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列 关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
实数对(x，y)
与之对应；反之，对于任意的 一个有序实
数对(x，y) ，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标
系中， 点 和
有序实数对
是一一对应的．
2．平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是 满足某些条件 的点的集合或轨迹，由
此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系． 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 点 与一个二 元方程 f(x，y)＝0 的 实数解 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x，y)＝0 的 解 ；
高中数学(北师大版)选修4-4 ：1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换含解析
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换课后篇巩固探究A组1.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的6倍,则圆x2+y2=36进行伸缩变换后的图形是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.已知一椭圆的方程为=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,那么该椭圆的形状为( )x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,那么该椭圆的形状为选项D中所示.3.在平面直角坐标系中,如果x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的倍,那么一条线段经过变换后的图形是( )A.直线B.射线C.与原来长度相同的线段D.比原来长度短的线段4.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=cos 2x经过伸缩变换后为( )A.y=cos xB.y=3cos xC.y=2cos xD.y=cos 3x代入y=cos 2x,得cos x'.∴y'=cos x',即曲线y=cos x.5.导学号73144005若点P(-2 016,2 017)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )A.1B.-1C.2 016D.-2 016P(-2 016,2 017),∴x=-2 016,y=2 017,∴代入y'=,得k=x'y'=-1.6.将圆x2+y2=1经过伸缩变换后所得的曲线方程为.代入x2+y2=1中,得=1.所以变换后所得的曲线方程为=1.=17.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,以原点为圆心,4为半径的圆的图形变为.x轴的单位长度不变,y轴的单位长度缩小为原来的,圆x2+y2=16的图形变为中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆.8.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线+4y'2=1,求曲线C的方程并画出图像.代入+4y'2=1中,得+4×y2=1,即x2+y2=4.其图像如图所示.。
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 课件：1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换
探究一
探究二
双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换 ������2 ������2 【例2】 在下列平面直角坐标系中,分别作出双曲线 9 − 4 =1 的图形: (1)x轴与y轴具有相同的单位长度; (2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍; 1 (3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 2 倍. 解：(1)建立平面直角坐标系,使x轴与y轴具有相同的单位长度, ������2 ������2 − =1的图形如下图.
做一做 已知圆的方程为x2+y2=16,如果x轴上的单位长度为y轴 上单位长度的4倍,那么该圆对应的图形是 ( )
答案：D
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)在平面直角坐标系中,直线通过伸缩变换还是直线. ( √ ) (2)在平面直角坐标系中,通过伸缩变换可以把圆变成椭圆. ( √ ) (3)在平面直角坐标系中,通过伸缩变换可以把双曲线变成抛物线. (× )
探究一
探究二
反思感悟一般地,在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,直线伸缩 后仍是直线,双曲线伸缩后仍是双曲线,抛物线伸缩后仍是抛物线, 而椭圆伸缩后可能是椭圆或圆.
探究一
探究二
������' = 2������, 1 变式训练2 将双曲线C经过伸缩变换 ������' = ������ 后对应图形的方 3 2 2 程为x -y =1,则双曲线C的焦点坐标为 .
解析： 由条件知点 2������, ������ 在双曲线 x2-y2=1 上 ,
������2 ∴4x - 9 =1. 1 37 ∵a2=4,b2=9,∴c 2=a2+b2= 4 . √37 √37 ∴c= 2 ,∴焦点坐标为 ± 2 ,0 √37 答案： ± ,0 2
高二数学北师大版选修4-4课件：1.1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
1234
2.已知一椭圆的方程为���6���42
+
������ 2 16
=1,如果
x
轴上的单位长度为
y
轴上单
位长度的12,则该椭圆的形状为(
)
解析:如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原 来的12,则该椭圆的形状为选项 B 中所示. 答案:B
y
轴的单位长度,导致了椭圆���9���2
+
������ 2 4
=1
的图形的变化,改
变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚,不然画出的伸缩
变换后的图形就不符合题目要求了.
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的12,得到点
P'(x',y'),坐标对应为
������′
=
1 2
������,通常叫作平面直角坐标系
������′ = ������,
中的一个压缩变换.
若 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 P″
(x″,y″).坐标对应为 ������″ = 2������,通常叫作平面直角坐标系中的一个
����导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为原来的
【北师大版】高中选修4-4数学：第1章《平面直角坐标轴中的伸缩变换》学案(含答案)
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1．会画出伸缩变换后的平面图形．2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的________，将会对图形产生影响．(1)若P (x ，y )为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的12，得到点P ′(x ′，y ′)，坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，通常叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．(2)若P (x ，y )，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍，得到P ″(x ″，y ″)．坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝2x ，y ″＝y ，通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是( )． A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k.第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．2．对伸缩变换图形的画法剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x 轴和y 轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案： 单位长度【做一做】A 直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．题型一 椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在下列平面直角坐标系中，分别作出椭圆x 29＋y 24＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12.分析：(1)常规描点法画椭圆；(2)改变y 轴上的单位长度；(3)改变x 轴上的单位长度． 反思：改变x 轴或y 轴的单位长度，导致了椭圆x 29＋y 24＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．题型二 双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 29－y 24＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的3倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的13.反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化． 【例1】解：(1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29＋y 24＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 29＋y24＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 29＋y24＝1的图形如下图：【例2】解：(1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29－y 24＝1的图形如下图：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的13，x 29－y24＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的13，x 29－y24＝1的图形如下图：1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，其图形可能是( )． A ．双曲线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线2已知一椭圆的方程为22=1164x y ，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )．3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．4在下列平面直角坐标系中，分别作出抛物线y 2＝－4x 的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12. 答案：1．A 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．2．B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则该椭圆的形状为选项B 中所示．3．平行四边形4．解：(1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，抛物线y 2＝－4x 的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y 2＝－4x 的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y 2＝－4x 的图形如下：。
2018-2019学年高二数学人教B版选修4-4课件：第1章 1.1 直角坐标系 平面上的伸缩变换
类型一
运用坐标法解决平面几何问题 已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
【精彩点拨】 从要证的结论， 联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)， 因此首先建立坐标系，设出 A，B，C，D 点的坐标，通过计算，证明几何结论.
【尝试解答】
法一
(坐标法)
以 A 为坐标原点 O，AB 所在的直线为 x 轴，建立平 面直角坐标系 xOy，则 A(0,0)， 设 B(a,0)，C(b，c)， b c 则 AC 的中点 E(2，2)， 由对称性知 D(b－a，c)，
[思考· 探究] 1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？
【提示】
①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； ②如果
图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段 所在的直线为 x 轴，以端点或中点为原点. 建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
2.如何理解点的坐标的伸缩变换？
2.平面上的伸缩变换
X＝ax 把点 P(x， y)变为平面上新的点Q(X，Y) ， 伸缩变换的坐标表达式为： Y＝by
，
其中 a>0，b>0.
特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此， 平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示. (2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q(X，Y)是变换后的点的坐 标，P(x，y)是变换前的点的坐标.
)
【答案】 B
3.将点 P(－2,2)变换为点 Q(－6,1)的伸缩变换公式为( 1 X＝ x 3 A. Y＝2y X＝3x C. 1 Y＝ y 2 1 X＝ x 2 B. Y＝3y
高中数学第1讲坐标系第1节平面直角坐标系课件北师大版选修4_4
1 ω
倍 __y_＝__s_in_(_ω_x_＋__φ_)____ 的
图
象
纵坐标横变坐―为― 标原→不来变的A倍y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
方法二(先伸缩后平移)：
பைடு நூலகம்
y＝sin
x的图象
横坐标变为原来的 ―纵―坐―标―不―变→
1 ω
倍
__y_＝__si_n_ω_x______
的图象
向左φ>―0― 或→向右φ<0 平移ωφ 个单位长度
第一 讲
坐标系
第一节 平面直角坐标系
[学习目标]
1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用． 2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换． 3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问 题.
[学法指要]
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与方程、平面几何和圆锥曲线结合命题． 3．准确理解伸缩变换的意义并会用于解题．(难点)
(2)两点间的距离公式：在直角坐标平面内，两点 P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)之间的距离公式为
|P1P2|＝___x_1－__x_2__2＋___y_1－__y_2__2 .
(3)中点坐标公式：在直角坐标平面内，若两点 P1(x1，y1)，
P2(x2 ， y2) 所 确 定 线 段 的 中 点 为 M(x ， y) ， 则 一 定 有 x ＝
和为26，则点M的轨迹是________.
解析： 以原点为圆心，2为半径的
圆建立如图所示的平面直角坐标系，
A(－3,0)，B(3,0)，设(x，y)．
由题设(
x＋32＋y2
)2＋
( x－32＋y2)2＝26，化简得x2＋y2＝4，
高中数学 北师大选修4-4 1.1《直角坐标系》课件
a 680 , c 1020 b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 6802
y2 5 3402
1(x
0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5，∵|PA|>|PB|,
x 680 5, y 680 5, 即P(680 5,680 5),故PO 680 10
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变。
两者的对应关系 ：
x x
y
3
y
②
通常把 ② 叫做
平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲y=3sin2x? 写出其坐标变换.
y
1
2
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
x′= 2x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换
在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变 成什么曲线？
随堂练习
x' 2x
1、在伸缩变换
y'
1 2
下，写出下列曲线 y
变换后的方程
1）2x 3 y 1 0
2) y2 4x
x2 y2 3) 1
21
典型例题2 已知伸缩变换及变换后曲线方程，求原曲线方程
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， y
边AB所在的直线x轴，建立直角
C
坐标系，由已知，点A、B、F的
E
坐标分别为
c
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ).
湘教版高中数学选修4-4 1.2平面直角坐标系中的伸缩变换_教案设计
平面直角坐标系的伸缩变换【教学目标】知识与技能:利用类比的方法掌握平面直角坐标系中的伸缩变换，掌握变换公式，能求变换前后的图形方法或变换公式。
过程与方法:通过类比的方法掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
情感态度与价值观:培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
【教学重难点】体会伸缩变换公式的应用。
通过典型习题的讲解、剖析及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
【教学过程】一、新知学习1、提出问题：（1）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?（2）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
2、探究结果：（1）在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x 。
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来1/2，得到点P'( )x',y'.坐标对应关系为：12x'xy y'⎧=⎪⎨⎪=⎩ 如右图：通常把12x'xy y'⎧=⎪⎨⎪=⎩ 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）在正弦曲线上任取一点P （x,y ），保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx 。
y-2O2xπ2πy=sin2xy=sinx设点P （x,y ）经变换得到点为P'( )x',y',坐标对应关系为：3x'xy'y =⎧⎨=⎩通常把 3x'xy y'=⎧⎨=⎩叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
（3）在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P （x,y ）经变换得到点为P ´(x ´,y ´),则123x'xy'y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 通常把123x'xy'y⎧=⎪⎨⎪=⎩叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
北师大版高中数学选修4-4 1.1 平面直角坐标系_学案设计1
平面直角坐标系【学习目标】1．理解平面直角坐标系的作用。
2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
3．了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示。
【学习过程】1．平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应。
即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的。
2．平面直角坐标系与曲线方程曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，由此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系。
在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上。
那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线。
这样，我们就可以通过建立适当的平面直角坐标系，应用方程来表示许多常见的曲线，如直线的方程、圆的方程、椭圆的方程等。
3．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响。
思考探究1．△ABC的三个顶点是A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x＝0吗？提示：因为中线CO是一条线段，而并非一条直线，所以其方程为x＝0(0≤y≤3)，而非x＝0.2．如何建立适当的平面直角坐标系？提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程。
3．如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的12，圆x2＋y2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？提示：x2＋y2＝4的图形变为椭圆：x24＋y2＝1．伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状。
高中数学课件-2016-2017学年北师大版选修4-4 平面直角坐标轴中的伸缩变换
第一讲 坐标系
预习学案
课堂讲义
课后练习
课堂讲义
数学D 选修4-4
第一讲 坐标系
预习学案
课堂讲义
课后练习
运用坐标法解决平面几何问题
已知▱ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． [思路点拨]
数学D 选修4-4
第一讲 坐标系
预习学案
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[解题过程] 证法一：如图所示，以点A为坐标原点， 边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系 xAy，则 A(0,0)． 设B(a,0)，C(b，c)． 由对称性知D(b－a，c)． 所以AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2， AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2. ∵AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， 而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab. ∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
数学D 选修4-4
第一讲 坐标系
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课后练习
2．将正弦曲线y＝sin x的纵坐标保持不变，横坐标缩短为
原来的13，所得曲线的方程为( )
A．y＝sin 3x
B．y＝3sin x
C．y＝sin 13x
D．y＝13sin x
解析：
伸缩变换为x′＝13x， y′＝y.
变形得yx＝＝y3′x′，，
某村庄P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿道路PA或PB送 到成矩形的一块田地ABCD中去，已知PA＝100米，PB＝150 米，BC＝60米，∠APB＝60°.
能否在田中确定一条界线，使位于界线左侧的点沿道路 PA送肥料较近，而右侧的点沿PB送肥料较近？
数学D 选修4-4
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探究一
探究二
������' = 2������, 变式训练 1 将曲线 C 按伸缩变换公式 变换得到曲线方程 ������' = 3������ x'2+y'2=1,则曲线 C 的方程为( )
������2 A. 4 ������ 2 + 9 =1 ������2 B. 9 ������ 2 + 4 =1
探究一
探究二
解:(1)建立平面直角坐标系,使 x 轴与 y
������ 2 =1 4
������2 轴具有相同的单位长度, 9
+
的图形如下图.
探究一
探究二
(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为原来的
1 ������2 , 3 9 ������ 2 + =1 4
的图形如下图.
做一做1
将一条直线作伸缩变换后得到的图形的形状可能是 ( A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 解析:直线在伸缩变换中图形的形状是不会发生变化的. )
答案:A
做一做2
已知圆的方程为x2+y2=16,如果x轴上的单位长度为y轴上的单位长度的4倍,则 该圆对应的图形是( )
答案:D
探究一
探究二
探究一椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换 典型例题 1
(2������′ )2 ������ ′ 2 ������′ 2 ∴ 8 − 4 =1,化简得 2 ������ 2 ������ 2 答案: 2 − 4 =1 ������ ′ 2 − 4 =1.
1
2
3
4
1.一条抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,其图形可能是(
)
A.双曲线 B.圆
C.椭圆 D.抛物线
解析:抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形形状是不会发生变化的. 答案:D
1
������2 2.已知一椭圆的方程为 64 1 2 ������ 2 + =1,如果 16
2
3
4
x 轴上的单位长度为 y 轴上单
位长度的 ,则该椭圆的形状为(
)
解析:如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原 1 来的2,则该椭圆的形状为选项 B 中所示. 答案:B
������ 2 在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆 9
������ 2 + =1 4
的图形:
(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度; (2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 3 倍; 1 (3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的3. 思路分析:(1)常规描点法画椭圆;(2)改变 y 轴上的单位长度;(3)改变 x 轴上的单位长度. 图形的伸缩变换,是坐标轴中 x 轴和 y 轴的变化,可以利用“五点作图 法”进行转化,画出相应图形,再研究其性质.
−
������ 2 4
=1 的图形如下图.
(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为原来的
1 ������2 , 2 9 ������ 2 − =1 4
的图形如下图.
探究一
探究二
(3)如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原来的
1 ������2 2
,
9
−
������ 2 4
=1 的图形如下图.
点评
图形的变化,有的不仅是坐标轴单位长度的变化,有的会引起图形形状的变化.
探究一
探究二
变式训练 2
������ 2 对曲线 8
−
������ 2 1 =1 向 y 轴进行伸缩变换,伸缩系数为 k= , 4 2
所得的曲线方程为 . 1 ������′ = ������, ������ = 2������′, 2 解析:伸缩变换为 即 ������ = ������′, ������′ = ������,
C.4x2+9y2=36 D.4x2+9y2=1 ������' = 2������, 代入 x'2+y'2=1, ������' = 3������ 可得到关于 x,y 的式子,即为曲线 C 的方程 4x2+9y2=1. 答案:D 解析:将
探究一
探究二
探究二双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换 典型例题 2 在下列平面直角坐标系中,分别作出双曲线 −
1
2
3
4
3.一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后,其图形是
.
答案:平行四边形
1
2
3
4
4.在下列平面直角坐标系中,分别作出抛物线 y2=-4x 的图形: (1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度; (2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍; 1 (3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 .
1.2
平面直角坐标轴中的伸缩变换
学习目标 1.会画出伸缩变换后的平面 图形. 2.了解在平面直角坐标系中伸缩 变换作用下,平面图形的变化情 况. 3.能用变换的观点来观察图形之 间的因果关系,知道图形之间是 可以类与类变换的.
思维脉络
平面直角坐标轴中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变 x 轴或 y 轴的单位长度, 将会对图形产生影响. 若 P(x,y)为坐标轴中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原来 1 ������′ = 2 ������, 1 的2,得到点 P'(x',y'),坐标对应为 通常叫作平面直角坐标系 ������′ = ������, 中的一个压缩变换. 若 P(x,y),保持纵坐标不变 ,将横坐标伸长为原来的 2 倍 ,得到 P″ ������″ = 2������, (x″,y″).坐标对应为 通常叫作平面直角坐标系中的一个 ������″ = ������, 伸长变换.
9 ���形:
(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度; (2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍; 1 (3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 .
2
探究一
探究二
解:(1)建立平面直角坐标系,使 x 轴与 y 轴具有相同的单 位长度,
������2 9
1 ������2 的3 , 9
(3)如果 y 轴上的单位长度保持不变,x 轴上的单位长度缩小为原来
������ 2 + 4 =1
的图形如右图.
探究一
探究二
点评
改变 x 轴或 y 轴的单位长度,导致了椭圆 9 +
������ 2
������ 2 4
=1 的图形的变化,改
变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚 ,不然画出的伸缩 变换后的图形就不符合题目要求了.