高考数学解答题编拟(1)文科 鱼窝头中学 何兰红

2009届高考数学中等难度解答题编拟（文科）
东涌镇鱼窝头中学 何兰红 1、已知函数f (x )＝)0)(6
cos()6sin(3>+-+ωπ
ωπωx x 图象的两相邻对称轴间的距离为。

（1）求f （12π）的值；（2）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6
π
个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )
的最大值及相应的x 的集合。

解答：由题得22
2=⇒=⇒=w T T ππ
，
所以f (x )＝)6
2cos()62sin(3π
π+-+x x ，
)6122cos()6122sin(3)12(πππππ+⨯-+⨯=f =12
1
2333cos 3sin 3=-⨯=-ππ f (x )＝)6
2cos()6
2sin(3π
π
+
-+
x x =x x s c x 2sin 2)6
2(021)62sin(23[
2=+-+π
π 12sin 2122sin 2)12(==⨯=π
ππf
)3
2sin(2)6
(2sin 2)(π
π
-
=-
=x x x g ，当Z k k x k x ∈+=
⇒+=
-
,12
522
3
2ππ
ππ
π
时， )(x g 有最大值2，此时},12
5|{Z k k x x ∈+=
ππ
命题意图：此题是由08年高考题改编的,综合考查三角函数的求值、三角恒等变换、图象和性质。

2、等差数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数．
（1）求出λ和它的通项公式n a ；
（2）若32-=n a n b ，求证：3
1...........
21<+++n b b b 。

解答：当)2()2(112λλ-=-==a a n 时，，当)2)(6()6(223λλλ--=-==a a n 时， 因为数列}{n a 是等差数列，所以)2)(6(1242312λλλ--+=-⇒+=a a a 即30962=⇒=+-λλλ，所以23,1,1321-=⇒-=-==d a a a 公差，
所以32)2()1(1+-=-⨯-+=n n a n 。

n n n b )4
1
(22==-，即数列{}n b 是等比数列，首项和公比都
是41。

所以31)411(314
11)
411(4
1...........21<-=--=+++n n n b b b 。

命题意图：本题也是一道高考修改题。

考查等差数列、等比数列的重要元素、通项公式、求和公式及方程思想。

3、如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，CD AC ⊥，
︒=∠60ABC ，BC AB PA ===2，CD=1，E 是PC 的中点．（1）求棱锥P-ABCD 的体积；
（2）求证：PCD AE 平面⊥；
_ E
_ P
解答：︒=∠60ABC ，2==BC AB ⇒ABC ∆是正三角形，AC=2
324
3
2=⨯=
∆ABC S CD AC ⊥⇒12
1
=⨯⨯=
∆∆AC CD S ACD Rt ACD 中， 所以底面四边形ABCD 的面积为13+=+∆∆ACD ABC S S
所以3
)
13(2)13(31+=+⨯⨯=-PA V ABCD P
PAC CD A AC PA CD AC CD PA ABCD PA 平面，所以，且，有因为平面⊥=⊥⊥⇒⊥ CD AE PAC AE ⊥⊂，所以平面，另的中点为，点中，PC E AC PA PAC 2==∆，即AE PC ⊥，
由PCD AE C CD PC 平面⊥⇒= 。

命题意图：考查四棱锥的体积运算，线线垂直、线面垂直等基础的几何知识。

4、设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程)(x f 01=-有实数根；②函数)(x f 在),1(+∞上是单调递增；③直线x y =是函数)(x f 图象上的一条切线。

”．试判断函数x x x f ln )(2-=是否是集合M 中的元素，并说明理由；
解答：x x x x x f ln 101)ln (01)(2
2
=-⇒=--⇒=-⎩⎨⎧=-=⇒x
y x y ln 1
2，通过画两函数图象可知它
们有交点，且交点的横坐标)1,0(∈x 。

所以方程)(x f 01=-有实数根，)(x f 满足条件①；
),0(12)(/
>-=x x x x f 令舍去）
22(220120120)(22/
-≤≥⇒≥-⇒≥-⇒≥x x x x x x f 。

所以)(x f 在+∞,2
2
[）上是增函数。

故)(x f 在),1(+∞上是单调递增，)(x f 满足条件②；
若直线x y =是函数x x x f ln )(2-=图象上的一条切线，则切线的斜率1=k ，
设切点A （00,y x ），则有11
20
0=-x x 解得舍去）
21(100-==x x ，即1)1(0==f y ， 所以切点A （1，1），切线方程为x y =，)(x f 满足条件③。

所以函数x x x f ln )(2-=是集合
M 中的元素。

命题意图：本题是由一道模拟题改编，考查函数与方程、函数的图象、函数与导数及相关的性质。

5、如图，在直角梯形ABCD 中，90BAD ∠=，//AD BC ，1,2
3
,2===BC AD AB ，椭圆以A 、
B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当的直角坐标系，求椭圆E 的方程；
（2）问是否存在过C 点的直线l 与椭圆E 交于M N 、两点，且C 为MN 的中点,若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
解答：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建
立直角坐标系，则)2
3
,1(),1,1(),0,1(),0,1(--D C B A 。

D
C
B
A
|2
5||||||,23|22=+==
DB DA DB DA 所以椭圆E 的焦点为),0,1(),0,1(B A -即1=c ，有椭圆E 经过点D ，
所以3,24||||2==⇒=+=b a DB DA a ，所以椭圆E 的方程为13
42
2=+y x 。

（2）存在，设交点),(),,(2211y x N y x M ，因为点C 是MN 的中点。

所以2,22121=+=+y y x x ，
且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1
34
1342
2222
121y x y x ，两式相减得03422212221=-+-y y x x 03))((4))((21212121=+-++-⇒y y y y x x x x 得出斜率4
3
2121-=--=x x y y k ，所以直线l 的方程为0743)1(431=-+⇒--=-y x x y
命题意图：本题是由一道模拟题，改变了第2问，考查了平面建系的思想，椭圆的定义，直线和圆锥曲线中点弦相关知识。

6、电信局为了配合客户不同需要，设有A 、B 两种方案这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（MN//CD ）.
（1）若通话时间为250分钟，按方案A 、B 各付话费多少元？ （2）方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3）通话时间在什么范围内方案B 才会比方案A 优惠？ 解：由图知M （225，38），C （500，68），N （500，148） CD MN //
4.0225
50038
148=--==∴CD MN k k
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为)(x f A 、)(x f B ，
则⎩⎨⎧>-≤≤=)225(524.0)
2250(38)(x x x x f A
⎩⎨
⎧>-≤≤=)
500(1324.0)
5000(68)(x x x x f B （1）通话时间为250分钟时，方案A 、B 的费和分别为48522504.0=-⨯（元），68元. （2）由直线CD 的斜率的实际意义知方案B 从500分钟以后每分钟收费0.4元.
（3）由图知：当);()(,225
0x f x f x B A <≤≤时 当500>x 时，);()(x f x f B A >当);()(,500
255x f x f x B A >≤≤时即,300,68524.0>∴>-x x 则,500
300时≤<x )()(x f x f B A >，故当),300(+∞∈x 时，方案B 较优惠。

选题意图：本题是一道模拟原题，考查了学生读图解图能力，会由函数图象写出分段函数表
达式，并用数学知识解决实际问题，是很好的一道题，若要修改，也可以是把其中一个图象换成抛物线。

4。