2020届苏教版(文科数学) 数列求和 单元测试

2020届苏教版（文科数学）数列求和单元测试
一、分组求和
1.若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()
A.15
B.12
C.-12
D.-15
答案:A
解析:∵a n=(-1)n(3n-2),
则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
2.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n+n+2n(n∈N*),则a n为()
A.-+2n-1-1
B.-+2n-1
C.+2n+1-1
D.-+2n+1-1
答案:B
解析:∵a n+1=a n+n+2n,∴a n+1-a n=n+2n.
∴a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)
=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]
=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)
=1+--
-
-
-
+2n-1.
3.(2018广东湛江高三期末,19)已知数列{a n}为等差数列,a5=5,d=1;数列{b n}为等比数列,b4=16,q=2.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;
(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和T n.
解:(1)∵数列{a n}为等差数列,a5=5,d=1,
∴a1+4=5,解得a1=1,∴a n=1+(n-1)×1=n.
∵数列{b n}为等比数列,b4=16,q=2,
∴b1·23=16,解得b1=2,∴b n=2×2n-1=2n.
(2)∵c n=a n+b n=n+2n,
∴T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)
=-
-
+2n+1-2.
二、裂项相消法求和
4.数列{a n}的通项公式a n=
…
,则其前n项和S n=()
A. B.
C. D.
答案:A
解析:∵a n=
…
=2-, ∴S n=a1+a2+…+a n
=2--…-
=2-.
5.+…+
-
=.答案:
解析:∵
--
-,
∴+…+
----…
-
-
=-.
6.(2018山东省潍坊四县联考,17)等差数列{a n}中,a1=3,其前n项和为S n.等比数列{b n}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.
(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;
(2)求数列的前n项和T n.
解:(1)设数列{a n}的公差为d,数列{b n}的公比为q,
由已知可得又q>0,∴
∴a n=3+3(n-1)=3n,b n=3n-1.
(2)由(1)知数列{a n}中,a1=3,a n=3n,
∴S n=,∴-,
∴T n=--…-
=-.
三、错位相减法求和
7.数列,…,,…前n项的和为.
答案:4-
-
解析:设S n=+…+, ①S n=+…+, ②
①-②得
-S n=+…+
=2-
-.∴S n=4-
-
.
8.(2018湖北高考,文19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.
解:(1)由题意有,
即解得或
故-
-
或-
(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2n-1,故c n=-
-
,
于是T n=1++…+-
-
, ①T n=+…+-.②
①-②可得T n=2++…+
-
-
=3-,故T n=6-
-
. (建议用时:30分钟)
1.数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数为()
A.11
B.99
C.120
D.121
答案:C
解析:∵a n=,
∴S n=a1+a2+…+a n=(-1)+()+…+()=-1,令-1=10,得n=120.
2.已知数列{a n}的通项公式a n=-,其前n项和S n=,则项数n等于()
A.13
B.10
C.9
D.6
答案:D
解析:a n=-=1-.
∴S n=n--
-
=n-1+=5+,
∴n=6.
3.数列{a n}的通项公式a n=n cos,其前n项和为S n,则S2 012等于()
A.1 006
B.2 012
C.503
D.0
答案:A
解析:∵函数y=cos的周期T==4,
∴可分四组求和:
a1+a5+…+a2 009=0,
a2+a6+…+a2 010=-2-6-…-2 010=--=-503×1 006,
a3+a7+…+a2 011=0,
a4+a8+…+a2 012=4+8+…+2 012==503×1 008.
故S2 012=0-503×1 006+0+503×1 008
=503×(-1 006+1 008)=1 006.
4.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则+…+等于()
A.(2n-1)2
B.(2n-1)
C.4n-1
D.(4n-1)
答案:D
解析:根据前n项和S n=2n-1,可求出a n=2n-1,
由等比数列的性质可得{}仍为等比数列,且首项为,公比为q2, ∴+…+=1+22+24+…+22n-2
=(4n-1).
5.已知数列{a n}:,…,那么数列{b n}=前n项的和为()
A.4-
B.4-
C.1-
D.
答案:A
解析:∵a n=…,
∴b n==4-.
∴S n
=4---…-
=4-.
6.如果lg x+lg x2+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x=.
答案:2 046
解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,
∴55lg x=110.∴lg x=2.
∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.
7.已知等比数列{a n}中,a1=3,a4=81.若数列{b n}满足b n=log3a n,则数列的前2 013项的和为.
答案:
解析:=q3=27,∴q=3.
∴a n=a1·q n-1=3×3n-1=3n.∴b n=log3a n=n.
∴,
∴数列的前2 013项的和为:
--+…+-
=1-.
8.已知等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg a n的前n项和S n等于.
答案:1+(n-1)·2n
解析:∵{a n}是等比数列,∴a4a2n-4==102n.
∴a n=10n,∴2n-1lg a n=n·2n-1.
利用错位相减法求得S n=1+(n-1)2n.
9.正项数列{a n}满足:-(2n-1)a n-2n=0.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)令b n=,求数列{b n}的前n项和T n.
解:(1)由-(2n-1)a n-2n=0,得(a n-2n)(a n+1)=0.
由于{a n}是正项数列,所以a n=2n.
(2)由a n=2n,b n=,
则b n=-,
-.
T n=-+…+
-
10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N*,数列{b n}满足a n=4log2b n+3,n∈N*.
(1)求a n,b n;
(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.
解:(1)由S n=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1.
当n=1时,4×1-1=3.
所以a n=4n-1,n∈N*.
由4n-1=a n=4log2b n+3,得b n=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知a n b n=(4n-1)·2n-1,n∈N*.
所以T n=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2T n=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2T n-T n=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故T n=(4n-5)2n+5,n∈N*.。