高考数学二轮复习 第二部分 专题四专题强化练十 空间几何体的三视图、表面积及体积 理

专题强化练十空间几何体的三视图、表面积及体积
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD­A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
解析：图①是△PAC在底面上的投影，④是△PAC在前后侧面上的投影．因此正投影可能是①④，选项B正确．
答案：B
2．(2018·烟台二模)某几何体的三视图如2题图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )
A．3π＋42－2 B．3π＋22－2
C.3π
2
＋22－2 D.
3π
2
＋22＋2
解析：由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱形成．依题设知，几何体的底面面积S底＝π×12－(2)2＝π－2.
所以该几何体表面积为S＝2(2×2)＋1
2
(2π×1×2)＋S底＝42＋2π＋π－2＝3π＋
42－2.
答案：A
3．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如3题图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ­ABCD ，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3.
答案：C
4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )
A ．18 6
B ．18 3
C ．18 2 D.272
2
解析：在俯视图Rt △ABC 中，
作AH ⊥BC 交于H .
由三视图的意义，则BH ＝6，HC ＝3，
根据射影定理，AH 2
＝BH ·HC ，所以AH ＝3 2.易知该“堑堵”的侧(左)视图是矩形，长
为6，宽为AH ＝32，故侧视图的面积S ＝6×32＝18 2.
答案：C
5．(2018·北京西城质检)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 的体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π B．64π C．144π D．256π
解析：因为△AOB 的面积为定值，所以当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ­ABC 的体积取得最大值．由13×12
R 2×R ＝36，得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2
＝144π.
答案：C
6．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为( )
A ．12 3
B ．18 3
C ．24 3
D ．54 3 解析：设等边△ABC 的边长为x ， 则12
x 2
sin 60°＝93，得x ＝6. 设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6
sin 60°，得r ＝2 3.
所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42
－（23）2
＝2， 则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6.
故V 三棱锥D ­ABC 的最大值为13·S △ABC ×6＝1
3×93×6＝18 3.
答案：B 二、填空题
7．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3
)是________．
解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积V ＝1
2×
(1＋2)×2×2＝6.
答案：6
8.(2018·济南市模拟)某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为________．
解析：由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体．其中r ＝1，高h ＝ 3. 故几何体的体积V ＝13π×12
×3＝33π.
答案：
3
3
π 9．已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内接于球O ，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为AA 1的中点，OA ⊥平面BDE ，则球O 的表面积为________．
解析：取BD 的中点为O 1，连接OO 1，OE ，O 1E ，O 1A . 则四边形OO 1AE 为矩形，
因为OA ⊥平面BDE ，所以OA ⊥EO 1，
即四边形OO 1AE 为正方形，则球O 的半径R ＝OA ＝2， 所以球O 的表面积S ＝4π×22
＝16π. 答案：16π
10．(2018·郑州调研)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与18个球组成的组合体，其体积为1
2×π×
12
×3＋18×4π3×13＝5π3
.
答案：5π3
11．(2018·烟台质检)已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为2的正三角形，PA ，PB ，PC 两两垂直，则球O 的表面积是________．
解析：设球O 的半径为R ， 且2R ＝PA 2
＋PB 2
＋PC 2
.
因为△ABC 是边长为2的正三角形，PA 、PB 、PC 两两垂直． 所以PA ＝PB ＝PC ＝
22
＝1，则2R ＝3，
所以球的表面积S 球＝4πR 2
＝3π. 答案：3π 三、解答题
12．(2018·佛山质检)如图，四棱锥P ­ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝PB ，AD ∥
BC ，AB ＝AC ，AD ＝1
2
BC ＝1，PD ＝3，∠BAD ＝120°，M 为PC 的中点．
(1)证明：DM ∥平面PAB ； (2)求四面体M ­ABD 的体积． (1)证明：取PB 中点N ，连接MN 、AN .
因为M 为PC 的中点，所以MN ∥BC 且MN ＝1
2BC ，
又AD ∥BC ，且AD ＝1
2BC ，得MN 綊AD ，
所以ADMN 为平行四边形，所以DM ∥AN . 又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ， 所以DM ∥平面PAB .
(2)解：取AB 中点O ，连接PO ，PO ⊥AB . 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ， 取BC 中点H ，连结AH ，
因为AB ＝AC ，所以AH ⊥BC ，又因为AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，所以∠ABC ＝60°， Rt △ABH 中，BH ＝1
2BC ＝1，AB ＝2，所以AO ＝1，又AD ＝1，
△AOD 中，由余弦定理知，OD ＝3，
Rt △POD 中，PO ＝PD 2－OD 2
＝6， 所以V M ­ABD ＝13·S △ABD ·12PO ＝2
4
.。