2025届广东省13市高三第二学期二模考试数学试题

2025届广东省13市高三第二学期二模考试数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．已知直线x y t +=与圆()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）
A ．4
B ．
289 C ．
329
D ．
327
3．已知角α的终边经过点()3,4-,则1
sin cos αα
+
= A ．15-
B ．3715
C ．3720
D ．1315
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．
B ．
C ．
D ．
5．将函数()cos f x x =的图象先向右平移
5
6
π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵
坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22
ππ
上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9
C ．28(0,][,1]99
D ．(0,1]
6．设12,F F 分别是双线2
221(0)x y a a
-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近
线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B 30x y ±=
C ．30x y ±=
D ．30x y ±=
7．已知复数41i
z i
=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
26
B 3
C ．
36
D ．
23
9．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14
B ．12
C ．10
D ．8
10．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z
+为实数m ，则m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '
，当0x ≥时，恒有
())03
(x
f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．
A ．{|31}x x -<<-
B ．1
{|1}3
x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-
D ．{|1x x <-或1}3
x >-
12．存在点()00,M x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线
00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．2⎛ ⎝⎦
B ．2⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．3⎛ ⎝⎦
D ．3⎫
⎪⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，416S =，则数列{}n a 的公差d =________，通项公式n a =________. 14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，PA PC ⊥，
则球O 的体积为__________．
15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则
25
8
a a a +的值为_____． 16．已知实数1,2a
b ≥，且22
,a a b b -=-由22b a M a b
=+的最大值是_________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4
π
α
=
时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.
18．（12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()
23,3m a b c =-，向量s )(co ,n B cosC =，且//m n . （1）求角C 的大小； （2）求3()3
y sinA sin B π
=+-
的最大值.
19．（12分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1a 、2a 、5a 成等比数列，749=S .设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()21log 2n n T S ++=.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令()*n
n n
a c n N
b =
∈，证明：123n c c c +++<.
20．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.
（1）面出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求1BD 与该平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知函数()()ln 1f x a x =+,()3
1,3
g x x ax =
- ()1x h x e =-． （1）当x ≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围； （2）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数；
（3）求证：
10953000
10002699
<<（参考数据：ln 1.1≈0.0953）． 22．（10分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为
1
3
，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
通过列举法可求解，如两角分别为2,63
ππ
时
【题目详解】 当2,36
A B ππ
=
=时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出；
当2,6
3
A B π
π
=
=
时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出； 所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题 2、C 【解题分析】 根据()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈表示圆和直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，得到403
t ≤≤，再利用二次函数的性质求解. 【题目详解】 因为()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈表示圆，
所以220->t t ，解得02t <<， 因为直线x y t +=与圆()2
2
2
2x y t t
t R +=-∈有公共点，
所以圆心到直线的距离d r ≤， 即
≤
解得403t ≤≤
， 此时4
03
t ≤≤，
因为()()()2
24424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
递增，
所以()4t t -的最大值3432
9⎛⎫=
⎪⎝⎭
f . 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3、D 【解题分析】
因为角α的终边经过点()3,4-,所以
5r ==,则43
sin ,cos 55
αα=-
=,
即113
sin cos 15
αα+=.故选D ． 4、A
【解题分析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为
，选A.
点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：
.
5、A 【解题分析】
根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56
x π
ω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【题目详解】
函数()cos f x x =的图象先向右平移56
π个单位长度，
可得5cos 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的1
ω
(0)>ω倍(纵坐标不变)，
得到函数5()cos 6
g x x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象， ∴周期2T π
ω
=
，
若函数()g x 在3(
,
)22
ππ
上没有零点，
∴ 553526626
x ωπππωππ
ω-<-<-， ∴ 35526262T ωππ
ωππ
πω
⎛⎫⎛⎫---≤=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，
又5226
352
26k k π
ωππππωππ
π⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得
3412323k ωω-≤≤-，
当k =0时，解
2839
ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得2
09
ω<≤
， ω∴∈228
(0,][,]939
.
故答案为：A . 【题目点拨】
本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 6、B 【解题分析】
由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【题目详解】
如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒
∠=，两渐近线的斜
率分别为3和3-. 故选：B
【题目点拨】
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题. 7、A 【解题分析】
利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【题目详解】 依题意()
()()
()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.
故选A.
【题目点拨】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 8、C 【解题分析】
分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,再利用向量法求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值. 【题目详解】
由题可知，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.
设2AD =.则3
(2,2,0),(1,2,1),cos ,686
BD EF BD EF =-=-〈〉=
=⨯. 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为3
6
. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9、A 【解题分析】
由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅，又1
()()2
BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-即得解. 【题目详解】
因为H 为ABC 的垂心，所以BH AC ⊥， 所以0BH AC ⋅=，而HM HB BM =+，
所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅， 因为M 是AC 的中点， 所以1
()()2
BM AC BA BC BC BA ⋅=
+⋅- 2211
()(6436)1422
BC BA =-=-=． 故选：A 【题目点拨】
本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 10、B 【解题分析】
可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z
+
a b i +
0b =，解方程即
可求解 【题目详解】
设(,)z a bi a b R =+∈
，则
)2
2
a b i z a bi i i i z
a b
+
-+=
+=
+=
+.
00b a =⇒=，所以0m =. 故选：B 【题目点拨】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 11、D 【解题分析】
先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33
x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【题目详解】
构造函数()()33
x f x g x =，
则()()()()()32
2'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33
x f x g x =在0x ≥时为增函数；
由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()3
3
x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33
()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数
所以|||12|x x <+，解得1x <-或13
x >- 故选：D 【题目点拨】
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 12、D 【解题分析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【题目详解】
因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y y
a b
+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,
由
20020021b
y b x x a y +
⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,
所以
3
c a >
. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 21n a n =-
直接利用等差数列公式计算得到答案. 【题目详解】
213a a d =+=，414616S a d =+=，解得11a =，2d =，故21n a n =-.
故答案为：2；21n a n =-. 【题目点拨】
本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力. 14
【解题分析】
由题意可得三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC
的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积. 【题目详解】
解：因为PA PB PC ==，ABC 为正三角形， 所以APB APC BPC ∠=∠=∠，
因为PA PC ⊥，所以三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，
的正方体的外接球，
所以球的体积为3
4
32π⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
【题目点拨】
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题. 15、2 【解题分析】
设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解
25
8
a a a +即可.
解：等比数列{}n a 的公比设为,q
396,,S S S 成等差数列,
可得9362,S S S +＝
若1,q ＝
则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠
则()()()9361111112111a q a q a q q
q
q
---⋅
=
+
---,
化为6
3
21,q q +＝
解得3
1
2
q ＝﹣,
则
43
251176811
112214
a a a a q q
a a q q
-
+++===
=
故答案为：2． 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题. 16、
32
12
+ 【解题分析】
将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值 【题目详解】
由22a a b b -=-化简得22
111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，又实数1,2a b ≥，图形为14圆，如图:
22a a b b -=-，可得22a a b b =+-，22b a b a =+-
则2222112b a a b a a b b b a b a
M a b a b a b a b a b a b
+-+-=+=+=+-++-=+--+
由几何意义得
11b a ∈，
，则11a
b
∈，，为求最大值则当过点A 或点B 时a b +
取最小值，可得11112122M =++--+= 所以22b a M a b =+
1+
【题目点拨】
本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(0,0)
，4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
；（2
）【解题分析】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（ρ∈R ），再对ρ分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案. 【题目详解】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（ρ∈R ），
当0ρ>时，联立,44cos ,
πθρθ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
解得交点4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭，
当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，（易漏解之处忽略0ρ=的情况） 当0ρ<时，无交点；
综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)
，4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
， （2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得2
2(sin cos )20t t αα+--=，
可知120t t +=，122t t ⋅=-， 所以
12||AB t t =-=
=
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 18、（1）
6
π
（2）2 【解题分析】
（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos 2
C =
，即可得解； （2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛
⎫ ⎪⎝⎭，由50,
6
A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
结合三角函数的性质即可得解. 【题目详解】
（1）
//m n ，∴()
2cos cos a C B -=，
由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B =，
∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+即()2sin cos A C B C =+，
又 B C A +=π-，∴2sin cos A C A =，
又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴cos C =， 由()0,C π∈可得6
C π
=
.
（2）由（1）可得56A B π+=
，∴56B A π
=
-，
∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A πππ
π
=-=---=
2sin 3sinA A A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭=，
50,
6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，
∴()3
y sinA B π
=-的最大值为2.
【题目点拨】
本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.
19、（1）21n a n =-,2n
n b =
（2）证明见解析
（1）利用首项1a 和公差d 构成方程组，从而求解出{}n a 的通项公式；由{}n a 的通项公式求解出n S 的表达式，根据
(
)2log 2n T +=()12n n n b T T n -=-≥，求解出{}n b 的通项公式；
（2）利用错位相减法求解出{}n c 的前n 项和n H ，根据不等关系证明即可. 【题目详解】
（1）设首项为1a ，公差为d .
由题意，得22151767492a a a d
a ⎧=⋅⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得11a =，2d = ∴21n a n =-，()()211211(1)2
n n n S n ++++==+
∴(
)2log 21n T n +=
=+，∴122n n T +=-
当2n ≥时，122n
n T -=-
∴12n
n n n b T T -=-=，2n ≥.当1n =时，112b T ==满足上式.
∴2n
n b = （2）21
2n n
n c -=
，令数列{}n c 的前n 项和为n H . 123135212222n n n H -=++++
234111352321222222
n n n n n H +--=+++++ 两式相减得
12311111
1
212222
222
n n
n n H +-⎛⎫=++++
- ⎪⎝⎭ 1
1
11112212132312222
12
n n n n n -++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⎭=+
-=-- ∴23
332n n
n H +=-
<恒成立，得证. 【题目点拨】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用()12n n n a S S n -=-≥求解{}n a 的通项公式时，一定要注意验证1n =是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意
对于错位的理解. 20、（1）见解析（2）1
3
. 【解题分析】
（1）1A C 与平面1BDC 垂直，过点E 作与平面1BDC 平行的平面即可 （2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值 【题目详解】
解：（1）截面如下图所示：其中F ，G ，H ，I ，J 分别为边11C D ，1DD ，AD ，AB ，1BB 的中点，则1A C 垂直于平面EFGHIJ .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()2,2,0B ，()10,0,2D ，()1,0,0H ，()2,1,0I ，()0,0,1G ，所以()12,2,2BD =--，()1,1,0HI =，()1,0,1HG =-. 设平面EFGHIJ 的一个法向量为(),,n x y z =，则0
0x y x z +=⎧⎨
-+=⎩
.
不妨取()1,1,1n =-，则11cos ,3
233BD n ==⨯，
所以1BD 与该平面所成角的正弦值为
13
. （若将1AC 作为该平面法向量，需证明1A C 与该平面垂直）
【题目点拨】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题. 21、（1）(],1-∞；（2）见解析；（3）见解析
【解题分析】
（1）令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0），求得导数，讨论a ＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a 的范围；（2）求得F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的导数和二阶导数，判断F'（x ）的单调性，讨论a≤﹣1，a ＞﹣1，F （x ）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立，令1
10
x =；由（2）知，当a=﹣1时，3113x
e x x >++对x ＜0恒成立，令1
-10
x =，结合条件，即可得证． 【题目详解】
（Ⅰ）解：令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0）， 则
，
①若a≤1，则
，H'（x ）≥0，H （x ）在[0，+∞）递增，
H （x ）≥H （0）=0，即f （x ）≤h （x ）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1； ②若a ＞1，H′（x ）=e x ﹣
在[0，+∞）递增，H'（x ）≥H'（0）=1﹣a ，且1﹣a ＜0，
且x→+∞时，H'（x ）→+∞，则∃x 0∈（0，+∞），
使H'（x 0）=0进而H （x ）在[0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增， 所以当x ∈（0，x 0）时H （x ）＜H （0）=0，
即当x ∈（0，x 0）时，f （x ）＞h （x ），不满足题意，舍去； 综合①，②知a 的取值范围为（﹣∞，1]． （Ⅱ）解：依题意得
，则F'（x ）=e x ﹣x 2+a ，
则F''（x ）=e x ﹣2x ＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x ）=e x ﹣x 2+a 在（﹣∞，0）递增， 所以F'（x ）＜F'（0）=1+a ，且x→﹣∞时，F'（x ）→﹣∞； ①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x ）＜F'（0）=1+a≤0，
故F （x ）在（﹣∞，0）递减，所以F （x ）＞F （0）=0，F （x ）在（﹣∞，0）无零点； ②若1+a ＞0，即a ＞﹣1，则使，
进而F （x ）在递减，在
递增，，
且x→﹣∞时，，
F （x ）在
上有一个零点，在
无零点，
故F （x ）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a ＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x ＜0恒成立，
令，则，所以；
故有
．
【题目点拨】
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 22、（1）1681
（2）①2 ②期望值为13100
X
900
600
300
100
P
8
27 1681 2081 727
【解题分析】
（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为1
22311116C (1)(1)33381
⨯⨯-⨯-=.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为223
3331117C ()(1)C ()33327
⨯⨯-+⨯=，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7
~(10,
)27
B ξ， 则1010720()
C ()()2727k
k k P k ξ-==,
1
19101010720C (
)()
(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得50
27k <，所以当1k =时，
(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由
70712020k k -<+得50
27
k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，
所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681
，
一件手工艺品质量为C 级的概率为121
2321111120C (1)[C (1)()]3333381
⨯⨯-⨯⨯⨯-+=，
一件手工艺品质量为D级的概率为7 27
，
所以X的分布列为
则期望为
81620713100 ()900600300100
2781812727
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.。