赵爽弦图模型-学生版

赵爽弦图模型
模型讲解
◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF= GD=AH，则四边形EHGF是正方形.
◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，
则四边形ORQP是正方形.
◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则:
(1)S
正方形ABCD =4SΔAEH十S
正方形EFGH
;
(2)S
正方形EFGH =4SΔHPE十S
正方形OPQR
;
(3)S
正方形ABCD -S
正方形EFGH
=S
正方形EFGH
-S
正方形OPQR.
(4)2S
正方形EFGH =S
正方形ABCD
十S
正方形OPQR
注：常见的勾股数组合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1(2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习)如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=10，大正方形面
积为25，则小正方形边长为()
A．3B．2C．5D．3
2(2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习)如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是
()
A．121B．144C．169D．196
3(2022秋·福建三明·八年级统考期末)某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a+b
2的值()
A．13B．19C．25D．169
4(2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习)如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF=1，AH=3，那么AB等于()
A．4B．5C．9D．10
5(2023春·全国·八年级专题练习)如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形
图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2+b2=25，②a-b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是()
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
6(2023春·全国·八年级专题练习)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b a<b
，斜边长为c．
(1)结合图①，求证：a2+b2=c2；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积．
7(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a -3ab -4+6b 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=2a -3ab -4-6b =a 2-3b -22-3b =2-3b a -2
解法二：原式=2a -4 -3ab -6b =2a -2 -3b a -2 =a -2 2-3b
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】
(1)请用分组分解法将x 2-a 2+x +a 因式分解；
【应用】
(2)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b (a >b )，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a 4-2a 3b +2a 2b 2-2ab 3+b 4因式分解，再求值．
8(2023春·全国·八年级专题练习)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形(如图1)与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图2)．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证(1)中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．(用m，n表示)
9(2020秋·广东佛山·八年级统考期中)我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．
(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
(2)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出
△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
10(2022春·安徽芜湖·八年级统考期中)图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
(1)在Rt△ABCC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求a+b
2；
(2)在(1)的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长(图中实线部分)．。