2020-2021学年41中初三上学期期末数学试卷(教师版)

2020－2021学年41中九年级上册期末测试卷
一、选择题：（本大题共16个小题，1~10小题，每小题3分；11~16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.2cos45 的值等于()
A.
4 B.2 C. D.【答案】C
【解析】
【分析】将2cos452
= 代入计算可得．
【详解】解：22cos4522 =⨯
=，故选C ．
【点睛】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是掌握熟记特殊锐角的三角函数值．
2.一元二次方程x 2-2x =0的解是（
）A.0
B.0或2
C.2
D.此方程无实数解【答案】B
【解析】
【详解】解：原方程变形为：x （x -2）=0
x 1=0，x 2=2
故选B ．
【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3.数学课上，
老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（）
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
4.某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）
A.1.2，1.3
B.1.3，1.3
C.1.4，1.35
D.1.4，1.3
【答案】D
【解析】
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．
【详解】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；
每天所走的步数的中位数是：
（1.3+1.3）÷2=1.3，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点()()()006008O A B ，
，，，，，以某点为位似中心，作出与AOB 的位似比为k 的位似CDE △，则位似中心的坐标和k 的值分别为（）
A.
()002，， B.()1222，
，C.()222，， D.()1112，，【答案】B
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
【详解】解：如图所示：位似中心F 的坐标为：(2，2)，
k 的值为：
1.2DF FO =故选：B.
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：x
﹣10123y 51﹣1
﹣11则该二次函数图象的对称轴为（
）A.y 轴
B.直线x =52
C.直线x =1
D.直线x =32【答案】D
【解析】【分析】由于1x =、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【详解】解：1x = 和2时的函数值都是1-，
∴对称轴为直线12322x +=
=．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是要利用了二次函数的对称性，比较简单．
7.在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（
）A.1
B.13
C.23
D.12【答案】D
【解析】
【详解】解：∵在上述图形中任取一种，共有6种等可能的结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图形有正方形、矩形、正六边形3种,
∴P （恰好既是中心对称图形又是轴对称图形）=
3162=.故选D.
8.如图，函数k y x
=的图象经过点A （1，﹣3），AB 垂直x 轴于点B ，则下列说法正确的是（）
A.k =3
B .
x ＜0时，y 随x 增大而增大C.S △AOB =3D.函数图象关于y 轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】首先把（1，﹣3）代入反比例函数关系式，可得k 的值，进而可得A 错误，根据反比例函数的性质：当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大可得B 正确，根据三角形的面积公式可C 错误；根据反比例函数的性质可得D 错误．【详解】解：∵函数k y x =
的图象经过点A （1，﹣3），∴31
k -=，解得：k =﹣3，
故A 错误；
∵k ＜0，
∴x ＜0时，y 随x 增大而增大，
故B 正确；
∵点A （1，﹣3），AB 垂直x 轴于点B ，
∴S △AOB =1331=22
创
，故C 错误；反比例函数图象关于原点对称，故D 错误；
故选B ．
9.如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D =35°，则∠OAC 的度数是（）
A.35°
B.55°
C.65°
D.70°
【答案】B
【解析】【详解】解：∵∠D =35°，
∴∠AOC =2∠D =70°，
∴∠OAC =（180°-∠AOC ）÷2
=110°÷2
=55°．
故选B ．
10.某居民楼一单元的月底统计用电情况如下，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均用电度数为（
）A.41
B.42
C.45.5
D.46【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可.【详解】解：
34555064245.514⨯+⨯+⨯=（度），故选C.
【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握计算加权平均数的方法是解题关键.
11.如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（）
A.cm
B.
C.23
3cm D.1cm
【答案】A
【解析】【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出1
2a 的值，进而可求出a 的值，此题得解．
【详解】如图：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°
∴12a ＝2cos ∠1，
∴a ＝．
故选：A ．
【点睛】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
12.如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则NM ：MC 等于（）
A.1：2
B.1：3
C.1：4
D.1：5【答案】B
【解析】
【详解】∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC ，DE =1
2BC ，
∵M 是DE 的中
∴DM =ME =14BC ，∴14MN
DM NC BC ==，∴13
MN MC =故选：B.13.某厂前年缴税30万元，今年缴税36.3万元，若该厂缴税的年平均增长率为x ，则可列方程（
）A.30x 2=36.3
B.30（1-x ）2=36.3
C.30+30（1+x ）+30（1+x ）2=36.3
D.30（1+x ）2=36.3【答案】D
【解析】
【详解】如果设该厂缴税的年平均增长率为x ，
那么根据题意得今年缴税30（1+x )2，
列出方程为：30（1+x )2=36.3，
故选D ．
14.已知，在矩形ABCD 中，AC 于E ，设ADE α∠=，且35
=
cos α，4AB =，则AD 的长为（）
A .3 B.16
3 C.20
3 D.16
5
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE =∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC =∠ACD ，然后求出AC ，再利用勾股定理求出BC ，然后根据矩形的对边相等可得AD =BC ．
【详解】解：∵DE ⊥AC ，
∴∠ADE +∠CAD =90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα=3 5，
∴
3
5 AB
AC=，
∴AC=5
3×4=
20
3，
由勾股定理得，BC=16 3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16 3．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．
15.如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是()
A.△ACD的外心
B.△ABC的外心
C.△ACD的内心
D.△ABC的内心
【答案】B
【解析】
【详解】解：由图可得：OA=OB=OC=，
所以点O在△ABC的外心上，
故选B．
16.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】B
【解析】【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x =1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；
∵x =﹣2b a
=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y =0，即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，所以③错误；
∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x =1，
∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．
故选：B ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即
ab ＜0）
，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
二、填空题：（本大题共3个小题，17－18每小题3分，19每空2分，共10分．把答案写在题中横线上）
17.二次函数y ＝2(x －3)2－4的最小值为________．
【答案】－4
【解析】
【详解】由二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4，根据二次函数的性质即可求出其最小值：
∵y=2（x ﹣3）2﹣4，
∴当x=3时，二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4取得最小值为-4．
18.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，以A 为圆心，以AC 为半径画弧，交AB 于D ，则扇形CAD 的周长是______．（结果保留π）
【答案】23π+##23
π+【解析】【分析】根据1cos 2AC A AB =
=，可得60A ∠=︒，进而可得扇形CAD 的圆心角度数，根据弧长公式求得 CD 的长度，进而求得扇形CAD 的周长．
【详解】解： ∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2∴1cos 2AC A AB =
=∴ CD l 601=180
π⨯⨯=3π∴扇形CAD 的周长为 11233
CD
AC AD l ππ++=++=+．故答案为：23π
+【点睛】本题考查了求弧长公式，根据特殊角的函数值求角度，求得B Ð是解题的关键．
19.如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 2017A 上取点O 2018，以O 2018为圆心，O 2018O 2017为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 2的半径长是______；⊙O 2018的半径长是______．
【答案】
①.2②.22017
【解析】【分析】如图，作123O C O D O E 、、分别OB ⊥，找出圆半径的规律，然后求解即可．
【详解】解：如图，作123O C O D O E 、、分别OB ⊥，
∵30AOB ∠=︒
∴112233
222OO CO OO DO OO EO ===，，∴122233
O O DO O O EO ==，∴2213211
4222DO CO EO DO CO CO ====，∴推导出一般性规律为：圆的半径呈2倍递增
∴n O 的半径为112
n CO -∵1O 的半径为1
∴2018O 的半径为2017
2故答案为：2，20172．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，解题的关键在于找出圆半径的规律．
三、解答题（本大题共6个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
【答案】（1）m＞﹣5
4；（2）x1=﹣1和x2=﹣2．
【解析】
【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m为负整数以及（1）的结论可得出m的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（1﹣m）＞0，
即5+4m＞0，解得：m＞﹣5 4．
∴m的取值范围为m＞﹣5 4．
（2）∵m为负整数，且m＞﹣5 4，
∴m=﹣1．
将m=﹣1代入原方程得：x2+3x+2=（x+1）（x+2）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
故当m=﹣1时，此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．
21.为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图．
（2）在图2扇形统计图中，m的值为_____，表示“D等级”的扇形的圆心角为_____度；
（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A 等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）参赛学生共20人；补图见解析；（2）40；72；（3）2 3．
【解析】
【分析】（1）由“A等级的人数÷A等级的百分比=参赛学生人数”，即可求得参赛人数，再求出B等级人数，补全条形统计图，即可；
（2）由C等级人数÷参赛学生人数，即可得到m的值，由360°×D等级的百分比，即可得到“D等级”的扇形的圆心角；
（3）根据题意，列出表格，得到所有等可能的结果，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），
∴参赛学生共20人，
B等级人数有：20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全条形图如下：
（2）C等级的百分比为：8
20
×100%＝40%，即：m＝40，
表示“D等级”的扇形的圆心角为：360°×4
20＝72°，
故答案为：40，72；
（3）列表如下：
男女女
男（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）
女（女，男）（女，女）所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
∴P （恰好是一名男生和一名女生）＝46＝23
．【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图以及等可能事件的概率，掌握条形统计图、扇形统计图的特征以及列举法求概率，是解题的关键．
22.如图，某学校的围墙CD 到教学楼AB 的距离CE ＝22.5米，CD ＝3米．该学校为了纪念校庆准备彩旗连接线AC ，∠ACE ＝22°．
（1）求彩旗的连接线AC 的长（精确到0.1m ）；
（2）求教学楼高度AB ．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4）
【答案】（1）24.2m
（2）12m
【解析】
【分析】（1）首先在直角三角形ACE ∆中，利用cos 22CE AC ︒=
，求出即可；（2）利用Rt ACE △中，tan 22AE CE ︒=
，求出AE 即可解决问题．【小问1详解】
解：在Rt ACE △中，
cos 22CE AC ︒=，cos 22CE AC ∴=
︒，22.50.93
=，24.2m ≈；
【小问2详解】
解：在Rt ACE △中，
tan22AE
CE
︒=，
AE CE
∴=tan22︒，
22.50.4
=⨯，
9=m，
9312
AB AE BE
∴=+=+=m．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据已知得出边角关系．
23.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AB=2，顶点A坐标为（1，b），点D坐标为（2，b+1）（1）点B的坐标是，点C的坐标是（用b表示）；
（2）若双曲线y=k
x过▱ABCD的顶点B和D，求该双曲线的表达式；
（3）若▱ABCD与双曲线y=4
x（x＞0）总有公共点，求b的取值范围．
【答案】（1）（3，b）；（4，b+1）（）y=6
x；（3）0≤b≤4．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；
（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；
（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．
【详解】解：（1）根据题意得：B（3，b），C（4，b+1）．
故答案为B（3，b），C（4，b+1）；
（2）∵双曲线y=k
x过点B（3，b）和D（2，b+1），
∴3b=2（b+1），解得b=2，
∴B点坐标为（3，2），D点坐标（2，3），
把B点坐标（3，2）代入y=k
x，解得k=6；
∴双曲线表达式为y=6 x；
（3）∵ABCD与双曲线y=4
x（x＞0）总有公共点，
∴当点A（1，b）在双曲线y=4
x，得到b=4，
当点C（4，b+1）在双曲线y=4
x，得到b=0，
∴b的取值范围0≤b≤4．
【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式，平行四边形的性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
24.如图，△ABC∽△DEC，CA＝CB，且点E在AB的延长线上．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：△BOE∽△COD．
（3）已知：CD＝10，BE＝5，OD=6，求OC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）7
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可证明CE=CD，再根据全等三角形的判定方法可证明△ACE≌△CBD，进而证明AE=BD；
（2）利用有两对角相等的两三角形相似即可证明：△BOE∽△COD；
（3）由相似三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵△ABC∽△DEC，CA=CB，
∴CE=CD，∠ACB=∠ECD，
∴∠ACE =∠BCD
在△ACE 和△BCD 中，
∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACE ≌△BCD
()SAS ∴AE =BD ．
【小问2详解】
证明：∵△ACE ≌△BCD
∴∠AEC =∠BDC
∵∠DOC =∠EOB ，
∴△COD ∽△BOE ．
【小问3详解】
解：∵△BOE ∽△COD ∴CD OD BE OE
=∵105CD BE ==，∴
610251OE ==∴3
OE =∴1037OC CE OE CD OE =-=-=-=．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定．解题的关键在于找出相等的角．
25.经研究表明，某市跨河大桥上的车流速度V （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，函数图象如图所示．
（1）求当28≤x ≤188时，关于x 的函数表达式；
（2）求车流量P （单位：辆/时）与车流密度x 之间的函数关系式；（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
（3）若车流速度V 不低于50千米时，求当车流密度x 为多少时，车流量P 达到最大，并求出这一最大值．
【答案】（1）V =﹣12x +94；（2）P =2801942
x x x ⎧⎪⎨-+⎪⎩；（3）当x =88时，P 取得最大为4400．【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意即可求得函数的解析式；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）由图象可知，当28≤x ≤188时，
V 是x 的一次函数，设函数解析式为V =kx +b ，
则28801880k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝，解得1294
k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，
所以V =-1
2x +94；
（2）当0≤x ≤28时，P =Vx =80x ；
当28≤x ≤188时，P =Vx =（-12x +94）x =-12x 2+94x ，所以P =280(028)194(28188)2
x x x x x ≤≤⎧⎪⎨-+≤≤⎪⎩；（3）当V ≥50时，包含V =80，由函数图象可知，
当V =80时，0＜x ≤28，此时P =80x ，P 随x 的增大而增大，
当x =28时，P 最大=2240；
由题意得，V =-12x +94≥50，解得：x ≤88，
又P =-12x 2+94x ，
当28≤x≤88时，P随x的增大而增大，即当x=88时，P取得最大值，
故P
最大=-1
2
×882+94×88=4400，
∵2240＜4400，
所以当x=88时，P取得最大为4400．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，以及求一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式．
26.如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．
（1）线段AE=；
（2）如图2，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F．
①当α=30°时，请求出线段AF的长；
②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；
③当α=°时，DM与⊙O相切．
【答案】（1）；（2）①4，②相离，见解析，③90
【解析】
【分析】（1）连接BE，则可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的长．
（2）①连接OA、OF，可判断出△OAF是等边三角形，从而可求出AF的长；②此时可得DAM=30°，根据AD=8可求出AF的长，也可判断DM与⊙O的位置关系；③根据AD等于⊙O的直径，可得出当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，从而可得出α的度数．
【详解】解：（1）连接BE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴；
（2）连接OA、OF，
①
由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，
则∠OAF=60°，
又∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∵OA=4，
∴AF=OA=4；
②
连接B'F，此时∠NAD=60°，
∵AB'=8，∠DAM=30°，
∴AF=AB'cos∠DAM=8×
2
此时DM与⊙O的位置关系是相离；
③
∵AD=8，直径的长度相等，
∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，
故此时可得α=∠NAD=90°．
【点睛】本题是一道圆的综合题目，涉及到的知识点有，正方形的性质、等边三角形的判定及其性质、特殊角的三角函数值、圆与直线的位置关系等，掌握以上各知识点并能综合利用是解此题的关键．。