田家庵区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

田家庵区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．1
2． 已知正项等差数列中，，若成等比数列，则（
）
{}n a 12315a a a ++=1232,5,13a a a +++10a = A ． B ．
C ．
D ．19202122
3． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如
由算得2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④4． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称5． 已知菱形ABCD 的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经
过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）
A ．15π
B ．
C ．
π
D ．6π
6． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
7． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
8．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
9．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）
248064240
A．B．C．D．
10．函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（，），使f（sinφ）=f（cosφ），则实数m的取值范围是（）
A．（）B．（，]C．（）D．（]
11．已知函数f（x）=3cos（2x﹣），则下列结论正确的是（）
A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到
12．己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（）
A．B．或
C．D．或
二、填空题
13．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）
14．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是 ．　
15．若函数y=f（x）的定义域是[，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为 ．
BM ED CN BE
16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；
CN BM60 DM BN
③与成角；④与是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是（写出所有你认为正确的命题）．
S
17．阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为.
n
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
18．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
三、解答题
19．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
20．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．
（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）求不等式f（x）＜0的解集．
21．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
周需求量n1819202122
频数12331
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望．
22．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．
23．（本小题满分13分）已知函数，3
2
()31f x ax x =-+（Ⅰ）讨论的单调性；
()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．
2a <-()f x 0x 01(0,2
x ∈24．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．
田家庵区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵f （x+2）为奇函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），∵f （x ）是偶函数，
∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2）=f （x ﹣2），即﹣f （x+4）=f （x ），
则f （x+4）=﹣f （x ），f （x+8）=﹣f （x+4）=f （x ），即函数f （x ）是周期为8的周期函数，则f （89）=f （88+1）=f （1）=1，f （90）=f （88+2）=f （2），由﹣f （x+4）=f （x ），
得当x=﹣2时，﹣f （2）=f （﹣2）=f （2），则f （2）=0，
故f （89）+f （90）=0+1=1，故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．　
2． 【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，且．d 0d >∵，∴．12315a a a ++=25a =∵成等比数列，1232,5,13a a a +++∴，2
213(5)(2)(13)a a a +=++∴，2
222(5)(2)(13)a a d a d +=-+++∴，解得．2
10(7)(18)d d =-+2d =∴．102858221a a d =+=+⨯=3． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年9.967 6.635>人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．4． 【答案】A
【解析】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2，圆心为（﹣a ，0），∴方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆关于x 轴对称，
故选：A．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
5．【答案】A
【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R2=
∴球的表面积为15π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
6．【答案】B
【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；
当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b==﹣；
故选：B
7．【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
8．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，
∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P ：“若直线m 不垂直于α，则m 不垂直于l ”，
∵￢P 是假命题，∴命题p 的逆命题和否命题都是假命题．故选：B ．　
9． 【答案】B 【解析】试题分析：,故选B.805863
1
=⨯⨯⨯=
V 考点：1.三视图；2.几何体的体积.10．【答案】A
【解析】解：∵函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），∴函数f （x ）关于x=m 对称，若φ∈（
，
），
则sin φ＞cos φ，
则由f （sin φ）=f （cos φ），则=m ，
即m==
（sin φ×
+cos αφ）=sin （φ+
）
当φ∈（，
），则φ+
∈（，
），
则＜
sin （φ+
）＜
，
则＜m ＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．　
11．【答案】B
【解析】解：对于A ，函数f ′（x ）=﹣3sin （2x ﹣）•2=﹣6sin （2x ﹣），A 错误；
对于B ，当x=
时，f （
）=3cos （2×
﹣
）=﹣3取得最小值，
所以函数f （x ）的图象关于直线对称，B 正确；对于C ，当x ∈（﹣
，
）时，2x ﹣
∈（﹣
，
），
函数f （x ）=3cos （2x ﹣）不是单调函数，C 错误；
对于D ，函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度，得到函数y=3co s2（x ﹣
）=3co s （2x ﹣
）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．　
12．【答案】B
【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0，
根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2，
当x＜0时，f（x）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3，
解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣；
当x≥0时，f（x）=x﹣2，
代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5，
解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x＜}．
故选B
二、填空题
13．【答案】　3.3　
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．　
14．【答案】 ．
【解析】解：由于角A 为锐角，∴
且
不共线，
∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且m ．
∴实数m 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．　
15．【答案】　[，4]　．
【解析】解：由题意知≤log 2x ≤2，即log 2≤log 2x ≤log 24，
∴
≤x ≤4．
故答案为：[
，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解“函数y=f （x ）的定义域是[，2]，得到≤log 2x ≤2”是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．　
16．【答案】③④【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误BM ED 的；②与是平行直线，所以是错误的；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC ANC 为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．
,AN AC 60︒DM BN
考点：空间中直线与直线的位置关系．17．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列的前1008项的和，即})12)(12(2{
+-n n
+⨯+⨯=5
32
312S
.=-++-+-=⨯+2017120151()5131(311(201720152 2017
201618．【答案】　x ﹣y ﹣2=0　．
【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0，
故答案为x ﹣y ﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠OAC=∠ODB ．
∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴
，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（2）证明：∵OC=OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ．
∴∠AOD=180°﹣∠A ﹣∠ODC=180°﹣∠COD ﹣∠OCD=∠ADO ．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
20．【答案】
【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x 2﹣3x+2≤0
因式分解为：（x ﹣2）（x ﹣1）≤0，
解得：x ≥1或x ≤2．
∴1≤x ≤2．
不等式的解集为{x|1≤x ≤2}．
（2）依题意得x 2﹣3ax+2a 2＜0
∴（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0…
对应方程（x ﹣a ）（x ﹣2a ）=0
得x 1=a ，x 2=2a
当a=0时，x ∈∅．
当a ＞0时，a ＜2a ，∴a ＜x ＜2a ；
当a ＜0时，a ＞2a ，∴2a ＜x ＜a ；
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；
当a ＞0时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜2a}；
当a ＜0时，原不等式的解集为{x|2a ＜x ＜a}；
21．【答案】
【解析】解：（I ）当n ≥20时，f （n ）=500×20+200×（n ﹣20）=200n+6000，
当n ≤19时，f （n ）=500×n ﹣100×（20﹣n ）=600n ﹣2000，∴．
（ II ）由（1）得f （18）=8800，f （19）=9400，f （20）=10000，f （21）=10200，f （22）=10400，∴P （X=8800）=0.1，P （X=9400）=0.2，P （X=10000）=0.3，P （X=10200）=0.3，P （X=10400）=0.1，X 的分布列为
X 880094001000010200
10400P 0.10.20.30.30.1
∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．　
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，
解得：＜x ≤2或﹣≤x ≤或﹣1≤x ＜﹣，
∴不等式f （x ）≤6的解集为{x|﹣1≤x ≤2}．
（Ⅱ）不等式f （x ）﹣＞2恒成立⇔+2＜f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|恒成立⇔
+2＜f （x ）min 恒成立，
∵|2x+1|+|2x ﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4，
∴f （x ）的最小值为4，
∴
+2＜4，即，
解得：﹣1＜a ＜0或3＜a ＜4．
∴实数a 的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．
23．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）， （1分）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-①当时，解得或，解得，0a >()0f x '>2x a >
0x <()0f x '<20x a
<<∴的递增区间为和，的递减区间为． （4分）()f x (,0)-∞2(,)a +∞()f x 2(0,)a
②当时，的递增区间为，递减区间为． （5分）0a =()f x (,0)-∞(0,)+∞
③当时，解得
，解得或0a <()0f x '>20x a <<()0f x '<0x >2x a <∴的递增区间为，的递减区间为和． （7分）()f x 2(,0)a ()f x 2(,a
-∞(0,)+∞（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知上递减，在上递增，在上递减．2a <-2(,)a -∞2(,0)a
(0,)+∞∵，∴在没有零点． （9分）22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
()f x (,0)-∞∵，，在上递减，()010f =>11(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞∴在上，存在唯一的，使得．且 （12分）(0,)+∞0x ()00f x =01(0,)2
x ∈综上所述，当时，有唯一的零点，且． （13分）2a <-()f x 0x 01(0,)2x ∈24．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1），
又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n +1=2n ，
∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，
2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ，
于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．
则所求和为 6分
12n
n -。