河北省石家庄市第二次模拟考试理科数学
河北省石家庄市高三数学第二次模拟考试试题 理(扫描版)新人教A版
数学理科答案一、选择题1—5：DBACA 6—10：BABAD 11—12：BC二、填空题 13. 5 14.20x y -+=15. (1,3]三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）17. 解：（Ⅰ）：由已知的等差中项和是A c a B b cos C cos cos 得2bcosB=acosC+ccosA …………………………2分代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,化简得2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ，………………………4分所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在三角形ABC 中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以.………………………6分 （Ⅱ）当△ABC 的外接圆面积为π时，则R=1，所以直径2R=2， b=2RsinB=3，……………………8分由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号。
所以得到ac ≤3，………………………10分 则433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC .…………………12分 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品的频率为6.05040.05080.0=⨯+⨯，二级品的频率为4.05.06.05020.0=⨯+⨯，三级品的频率为0所以，在A 型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件D ，恰好有n 个一级品为事件n D ，则=)(2D P 213101426=C C C ，=)(3D P 6131036=C C ……………………………2分因为事件32D D 、为互斥事件，所以，=+=)()()(32D P D P D P 326121=+ 即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为32……………………………4分（Ⅱ）设投资A 、B 两种型号节能灯的利润率分别为1X 、2X ，由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为53、52，0 B 型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为107、41、201 所以1X 、2X 的分布列分别是：……………………………………………………………….6分则1X 、2X 的期望分别是：53255253)(221a a a a X E +=⨯+⨯=，10720262045107)(2222a a a a a X E +=++⨯= 所以，a a X E X E 1012014)()(221-=-71()107a a =-………………………………8分因为61101<<a ，所以从长期看 当71101<<a 时，投资B 型号的节能灯的平均利润率较大 6171<<a 时，投资A 型号的节能灯的平均利润率较大x z71=a 时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等 …………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）因为,AE EF ⊥所以,PE EF ⊥又因为PE EB ⊥，且,FE EB B =所以PE ⊥平面FEB ，即PE ⊥平面BCDFE …………………….4分（Ⅱ）在梯形ABCD 中，易求得2AB =．设AE t =(02)t <<，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)E ，(,0,0)A t -，(0,0,)P t ，(2,0,0)B t -，(4C t -，所以BC =，(2,0,)PB t t =--，设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则1100BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20(2)0x t x tz ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩， 令1y =得1(3,1,n =-为平面PBC 的一个法向量， 易知2(1,0,0)n =为平面PEF 的一个法向量，…………………8分所以(121212cos ,||||nn n n n n <>===，…………..10分因为平面PEF 与平面PBC 所成二面角的余弦值为 =23t =或2t =-（舍）. 此时点E 为线段AB的三等分点（靠近点A ）。
石家庄市高中毕业班第二次数学模拟考试[共4页][共4页]
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石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学试题2001.6 说明:本试卷分第1卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120 分钟.参考公式：三角函数的枳化和差公式S i no COS 尸=—[s i n (。
+尸)+ s i n ( a —βy)^∖2COSqS i n β = - [ s i n (<； + /?) — s i n (1 - £)]2COSaCOSA = L [cos (〃+£)+COS2s ɪ n σ s i n β = -- [cos (o + £)—COS (o — £)]2正棱台、圆台的侧面积公式Sf制=: ( c' + C) 1其中c'、。
分别表示上、下底面周长./表示斜高或母线长.台体的体积公式%体=；(S' +4s7S ÷5) h其中S'、S分别表示上、下底面积,力表示高.第I卷(选择题共50分)一、选择题(本题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)ɪ.设全集/ =(2, 3 , 5 , 7 , 1 1 }, A= {2,∣ a - 5 | ， 7 ),A = [ 5 ,1 1 ),则a的值等于A.2B.8C.2或8D. -2或82.指数函数V= f (X)的图象经过点(-2,4),则L(8)等于A. 1B.-1C. 3D. -33.Z∖∕7砥中，s ɪ n 2 ∕1>∙!∙是/> 1 5。
的2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(理)在极坐标系下,直径为2的圆的圆心坐标为(1, 0),则该圆的极坐标方程为A. ρ=2cos 0B. P = 4 c 0 s 0C. P = c o s 0D.∕ = 2sin"(文)直线/将圆/+J,2- 2 X—4 j，=0平分，且与直线x+2 y=()垂直，则直线/的方程为1 3 I 3A. y= 2 .v B, y= 2 x-2 C. y = ~-ɪ + - I). y = - x÷-2 2 2 25.数列｛aj,如果ai，a「a i，a3- a2f -. a〃一a ll k…是首项为1,公比为1的等比数列.那么］〃=33 3〃76.若不等式1 O g & X > s i n 2 * ( a > O且a ≠ I )对于任意x ∈ ( O ,—］都4成立，则a的取值范围是A. ( 一, 一 )B. ( 一, 1 )C. ( O • 一 )D. ( O » 1 ) 4 2 4 47. 一辆中型客车的营运总利润了(单位：万元)与营运年数爪X ∈ N)的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为()时,该客车的年平均利润最大A.4X* I厂X* V8.若椭圆--- F -- = 1(0 Y 〃1 Y 5)和双曲线------ —=1(〃 A 0)有相同的焦点5 m 3 n片、尸2，刀是这两条曲线的一个交点，且尸尸尸2,则△夕尸/F?的面枳为A. 1B. -C.2 1).49.已知函数A*)是定义在实数集R上的奇函数，且f(.r)=-∕∙(A÷2),当0 ≤ .v W I时, fix')=—,那么使f ( X )=-,成立的X的值为2 ~A. 2 n ( ∕7∈Z)B. 2 /? - I ( /7 ∈ Z )C. 4 ∕7÷l ( ∕7∈ Z )D. 4 /7- 1 ( 77∈ Z )10.甲、乙二人沿同一方向去6地，途中都使用两种不同的速度〜与L ( 〜V v2). 甲一半的路程使用速度乙，另一半的路程使用速度七；乙一半时间使用速度V 1,另一半的时间使用速度匕.关于甲、乙二人从力地到达3地的路程与时间的函数图象及关系，有F面图中4个不同的图示分析(其中横轴，表示时间,纵轴S表示路程),则其中可能正确的图示分析为A.(1)B.(3)第H卷（非选择题共IOO分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）IL圆台的轴截面面积等于8 cm2,母线与底面成30。
河北省石家庄市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷
河北省石家庄市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题在复平面内，复数对应的点与对应的点关于虚轴对称，则等于（）A．B．C．D．第(2)题已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．1第(3)题记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（）A．2B．C．4D．第(4)题为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（）A．174，175B．175，175C．175，174D．174，174第(5)题设，则等于（）A．-2B．2C．-4D．4第(6)题校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（）人．附表：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828其中，．A．20B．30C．35D．40第(7)题已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其决赛获胜的概率为（）A．0.54B．0.63C．0.7D．0.9二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
河北省石家庄市2019届高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试卷【含答案及解析】
河北省石家庄市2019届高三毕业班第二次模拟考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 函数与的定义域分别为、，则（）A. B. C. D.2. 若，则复数对应的点在（）A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 已知向量，，则“ ”是“ ”成立的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件________C. 充要条件________D. 既不充分也不必要条件4. 现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（）A. B. C. D.5. 已知角（）终边上一点的坐标为，则（）A. B. C. D.6. 已知，其中为自然对数的底数，则（）A. B.C. D.7. 如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（）A. ,B. ,C. ,D. ,8. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.9. 实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）A. B. C.D.11. 如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12. 若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 若的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为__________ ．（用数字作答）14. 已知函数（，）的图象如图所示，则的值为 __________ ．15. 双曲线（，）上一点关于一条渐进线的对称点恰为右焦点，则该双曲线的标准方程为 __________ ．16. 在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，其面积取最大值时 __________ ．三、解答题17. 已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求证：对任意的， .18. 在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19. 天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为，求四天中至少有两天降雨的概率；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小（单位：毫米）与其出售的快餐份数成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：p20. ly:宋体; font-size:10.5pt">降雨量（毫米） 1 2 3 4 5 快餐数（份） 50 85 115 140 160试建立关于的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21. 已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．22. 设函数，其中为自然对数的底数，其图象与轴交于，两点，且．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（为函数的导函数）．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），为上一点，以为边作等边三角形，且、、三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线：，经过伸缩变换得到曲线，试判断点的轨迹与曲线是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.24. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数、满足，求的最小值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
石家庄市高考数学二模试卷(理科)(II)卷
石家庄市高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·沈阳月考) 已知集合，，则集合（）A .B .C .D .2. （2分） i为虚数单位，若复数，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·湖州期中) 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·湖南模拟) 已知某一组散点数据对应的线性回归方程为，数据中心点为，则的预报值是（）A . 0.9B .C . 1D .5. （2分）双曲线的焦点坐标为（）A .B .C .D .6. （2分）已知，则的值为（）A . －或－B . 或C . －D . －7. （2分） (2016高三上·平阳期中) 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·新课标I卷文) 执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A . y=2xB . y=3xC . y=4xD . y=5x9. （2分）(2017·宝清模拟) 已知球O是的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A . πB .C .D .10. （2分）若均为锐角，且，则与的大小关系为（）A .B .C .D . 不确定11. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（）A . 4B . 7C . 6D . 512. （2分）若对任意的x1∈[e﹣1 ， e]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得lnx1﹣x1+1+a=x22ex2成立，则实数a的取值范围是（）A . [ ，e+1]B . （e+ ﹣2，e]C . [e﹣2，）D . （，2e﹣2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·荆州期末) 正△ABC中，在方向上的投影为﹣1，且，则=________．14. （1分）(2020·化州模拟) 三角形中，且，则三角形面积的最大值为________．15. （1分） (2017高二下·赤峰期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则________．16. （1分） (2017高二下·南昌期末) 从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的m个球有m﹣1个白球和1个黑球，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高三上·滨州期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知2Sn=3n+1+2n﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．18. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．19. （5分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．20. （15分） (2016高一下·盐城期末) 已知圆M的圆心为M（﹣1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为，点P在直线l：y=x﹣1上．（1）求圆M的标准方程；（2）设点Q在圆M上，且满足 =4 ，求点P的坐标；（3）设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标．21. （10分） (2018高二下·衡阳期末) 已知函数。
石家庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷(II)卷
石家庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在复平面内，复数对应点的坐标为（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高三上·天津期末) 设全集 1，2，3，4，5，6，7，8 ，集合 2，3，4，6 ，1，4，7，8 ，则（）A . 4B . 2，3，6C . 2，3，7D . 2，3，4，73. （2分） (2015高二上·昌平期末) 若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∨qC . （￢p）∧qD . （￢p）∨（￢q）4. （2分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A . （6，﹣3）B . （﹣6，3）C . （﹣3，6）D . （3，﹣6）5. （2分） (2019高一下·玉溪月考) 设向量与垂直，则等于（）A .B .C .D . 06. （2分） (2015高一下·新疆开学考) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A . （1，10）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）7. （2分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中心O，以O为球心的球O与正方体的所有棱均相切，以向量为正视图的视图方向，那么该正视图为如图（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·张家界期中) 从双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）A . |MO|﹣|MT|＞b﹣aB . |MO|﹣|MT|=b﹣aC . |MP|﹣|MT|＜b﹣aD . 不确定9. （2分） (2016高一下·蕲春期中) 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为10km和20km，灯塔A 在观察站C的北偏东15°方向上，灯塔B在观察站C的南偏西75°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A . 10 kmB . 10 kmD . 30km10. （2分）要计算1+++的结果，下面的程序框图中的横线上可以填（）A . n＜2016？B . n≤2016？C . n＞2016？D . n≥2016？11. （2分） O为坐标原点，点M的坐标为（1，1），若点N（x，y）的坐标满足，则的最大值为（）A .B . 2C .D . 212. （2分）已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A . [，）B . [，）D . （0，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·青铜峡期末) 在全运会期间，4名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有________．14. （1分） (2017高二下·姚安期中) 已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为________．15. （1分） (2019高一下·上海月考) 内角、、的对边分别是，，，且.当，，的面积为________.16. （1分）(2017·陆川模拟) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB 的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高二上·辽宁月考) 数列满足，（）．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求正整数的最小值．18. （10分）(2017·扶沟模拟) 为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： 学生编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（x ，y ，z ）（2，2，3）（3，2，3）（3，3，3）（1，2，2）（2，3，2）（2，3，3）（2，2，2）（2，3，3）（2，1，1）（2，2，2）（1） 在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2） 从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．19. （10分） (2015高二上·城中期末) 在多面体ABCDE 中，BC=BA ，DE∥BC，AE⊥平面BCDE ，BC=2DE ，F 为AB 的中点．（1） 求证：E F∥平面ACD ；（2） 若EA=EB=CD ，求二面角B ﹣AD ﹣E 的正切值的大小．20. （10分） (2017高二下·大名期中) 已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为（﹣a ，0），点Q （0，y0）在线段AB 的垂直平分线上，且，求y0的值．21. （10分） (2020·洛阳模拟) 设函数 .（1） 若，求 的单调区间；（2）若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明: .22. （10分）(2018高二下·辽宁期末)（1）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数， )，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.①写出的极坐标方程；②若为曲线上的两点，且，求的范围.（2）已知函数， .① 时，解不等式；②若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.23. （10分） (2020·天津模拟) 已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且 .（1）讨论的单调性（2）求实数和a的值（3）证明参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
届石家庄市高中毕业班二模考试理科数学答案
石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次模拟考试试题理科数学答案一. 选择题:1-5BCAAD 6-10BCBCD 11-12DB 二.填空题:13. 28 14. 52-15. 23 16. 3m ≤ 三、解答题：17.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=…………………………….(2分) sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=………….(4分)sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=…………………….(6分)(Ⅱ) 1221sin 22242ABCSbc A bc bc -===∴=- ………………….(8分) 又22222cos 2()(22)a b c bc A b c bc=+-∴=+-+……………….(10分)所以，2……………………………………………….(12分)18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计7525100根据列联表中的数据，得到...............4分所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。
.....6分（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是43，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是43， 由题意知），（435~B X ，从而X 的分布列为X12345P10241 102415102490102427010244051024243415435)(=⨯==np X E ， ..........................................10分 3315()(1)5(1)4416D X np p =-=⨯⨯-=. ..........................................12分19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC .∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ， ┈┈┈┈┈2分 ∴CD ⊥PB . ┈┈┈┈3分 ∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD . ┈┈┈┈4分 ∵PB ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD . ┈┈┈┈┈5分 （2）设BC 中点为O ,连接,PO OE ，,PB PC PO BC =∴⊥，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC 面ABCD BC =，所以PO ⊥面ABCD 。
高考石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学(理)
试卷类型：A2006年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若ibiz +-=22(b ∈R )为纯虚数,则b 的值为． A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．42． 在等差数列{}n a 中，1,16375==+a a a ，则9a 的值是．A ．15B ．30C ． -31D ．64 3． 给出下列命题：① 若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则βα⊥；② 若平面α内的任一直线都平行于平面β，则βα//； ③ 若平面α垂直于平面β，直线l 在平面内α，则β⊥l ； ④ 若平面α平行于平面β，直线l 在平面内α，则β//l ． 其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14． 已知函数121)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=-x x f ，则)(x f 的反函数)(1x f -的图像大致为．5． 定义集合M 与N 的运算：},{N M x N x M x x N M ∉∈∈=*且或，则=**M N M )(A．N M B ．N M C ．MD ．N6． 已知31)4cos(=+πα，其中)2,0(πα∈，则αsin 的值为．A ．624-B ．624+C ．6122-D ．3122-7． 已知平面上不同的四点A 、B 、C 、D ，若0···=++，则三角形ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形 8． 直线：01=++y x 与直线：⎪⎭⎫⎝⎛<<=-+2402cos sin παπααy x 的夹角为．A ．4πα-B ．4πα+C ．απ-4D ．απ-43 9． 设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若33)3(,1)2(2-++=>a a a f f ，则a 的取值范围是．A ．)3,0()2,( --∞B ．),3()0,2(+∞-C ．),0()2,(+∞--∞D ．),3()0,(+∞-∞ 10． 若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a，则321x x x 、、的大小关系为．A ．123x x x <<B ．312x x x <<C ． 231x x x <<D ．132x x x <<11． 点P 是双曲线116922=-x y 的上支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的上、下焦点，则 21F PF ∆的内切圆圆心M 的坐标一定适合的方程是．A ．3-=yB ．3=yC ．522=+y xD ．232-=x y12． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为6的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条侧棱长是另一条侧棱长的2倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ．354C ．10552D ．2152第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=.1,5,1,,1,2)(x bx x a x x x f 在1=x 处连续，则实数b a ,的值分别为 ． 14．以椭圆14522=+y x 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程为 ． 15．如图，路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人沿穿过路灯的直路以84m/min 的速度行走，人影长度变化速率是 m/min ．16．在直三棱柱111C B A ABC -中，有下列三个条件：①11AC B A ⊥；②C B B A 11⊥；③1111C A C B =．以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是 （填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数∈-=x x x x x f ),cos sin 3(cos )(R ．(Ⅰ)求函数)(x f 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到∈=x x y ,sin R 的 图像？ 18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项21=a ，且)(121*+∈+=N n a a n n ．(Ⅰ) 设n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ；(Ⅱ)求使不等式9110-+<-n n a a 成立的最小正整数n ．(已知3010.02lg =)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为32和21，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率； (Ⅱ)求甲获胜的概率． 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且,,//AD AB CD AB ⊥22===AB CD AD ，侧面APD ∆为等 边三角形，且平面APD ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)若M 为PC 上一动点，当M 在何位置时，⊥PC 平面MDB ，并证明之； (Ⅱ)求直线AB 到平面PDC 的距离；(Ⅲ)若点G 为PBC ∆的重心，求二面角C BD G --的大小．21．（本小题满分12分）如图，已知A 1、A 2为双曲线C ：0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点，过双曲线上一点B 1作x 轴的垂线，交双 曲线于另一点B 2，直线A 1B 1、A 2B 2相交于点M ． (Ⅰ)求点M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若P 、Q 分别为双曲线C 与曲线E 上不同于A 1、A 2的动点，且)(2121A A m A A +=+(∈m R ,且1>m )，设直线A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，试问k 1+k 2+k 3+k 4是否为定值？说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知函数131)(23+-+=bx ax x x f (∈x R, a ,b 为实数)有极值，且1=x 在处的切线与直线01=+-y x 平行． (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由； (Ⅲ)设21=a ，)(x f 的导数为)(x f '，令),0(,3)1()(+∞∈-+'=x xx f x g ，求证： )(221)(*∈-≥--N n xx x g n n n n ．2006年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学(理科)参考答案一、选择题： DABCD ADAAD BC二、填空题： 13．3,2==b a ； 14．)2(122+=x y ； 15．21； 16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)x x x x f 2cos cos sin 3)(-=22cos 12sin 23xx +-=………………………………………（2分） 21)62sin(--=πx …………………………………………（4分）当)(,2262Z k k x ∈+=-πππ，即)(,3Z k k x ∈+=ππ时，)62sin(π-x 有最大值1．此时函数)(x f 的值最大, 最大值为21．……（6分）(Ⅱ) 将21)62sin(--=πx y 的图像依次进行如下变换：① 把函数21)62s i n(--=πx y 的图像向上平移21个单位长度，得到函数)62sin(π-=x y 的图像； …………………………………………（8分）② 把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数)6sin(π-=x y 的图像； …………………………………………（10分）③ 将函数)6sin(π-=x y 的图像向左平移6π个单位长度，就得到函数xy sin =的图像． …………………………………………（12分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由121+=+n n a a 得)1(2111-=-+n n a a 可知数列}1{-n a 是以111=-a 为首项，公比为21的等比数列． )(1211*-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴N n a n n . …………………………………………（4分）从而有n n na b n n n +⎪⎭⎫⎝⎛==-121·．n n b b b T +++= 21)21(21·21·321·221·11210n n T n n ++++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴- ………① 2)1(·2121·21)1(21·221·121121++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴-∙n n n n T nn n ………② ① - ②并整理得2)1(21)24(4++⎪⎭⎫⎝⎛+-=∙n n n T nn ． ………………（8分）(Ⅱ) 911021-+<⎪⎭⎫⎝⎛=-nn n a a两边取常用对数得：9.292lg 9≈>n ∴使不等式成立的最小正整数n 为30． ………………………………（12分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：271213233=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛, …………………………………………（1分）甲、乙各投中两次的概率：61213132323223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C , …………………………………（2分）甲、乙各投中一次的概率：121213132313213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C , …………………………（3分）甲、乙两人均投三次，三次都不中的概率：2161213133=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛, …………………………………………（4分）∴甲、乙平局的概率是：247216112161271=+++． ……………（6分） (Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：277811323=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛, …………………………………（8分）甲投中两球获胜的概率：9221213132313303223=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C C , ………（9分）甲投中一球获胜的概率：3612131323213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C , …………………………（10分） 甲获胜的概率为：1085536192277=++． ………………………（12分） 20．(Ⅰ) 当M 在中点时，⊥PC 平面MDB ………………………………（1分）连结BM 、DM ，取AD 的中点N ，连结PN 、NB ．∵AD PN ⊥且面⊥PAD 面ABCD ， ∴⊥PN 面ABCD ． 在PNB Rt ∆中，,5,2,3=∴==PB NB PN又5=BC ． PC BM ⊥∴ ……………………………………（3分）又PC DM DC PD ⊥∴==,2，又⊥∴=PC M BM DM , 面MDB ． ……………………（4分） (Ⅱ)⊂CD CD AB ,//面PDC ，⊄AB 面PDC ，∴//AB 面PDC ．∴AB 到面PDC 的距离即A 到面PDC 的距离． ………………（6分） ⊥∴=⊥⊥CD N PN DA PN CD DA CD ,,, 面P AD ， 又⊂DC 面PDC ，∴面⊥PAD 面PDC ． 作PD AE ⊥，AE 就是A 到面PDC 的距离，3=∴AE , 即AB 到平面PDC 的距离为3． ………………（8分） (Ⅲ)过M 作BD MF ⊥于F ，连结CF ．⊥PC 面MBD ，MFC ∠∴就是二面角C BD G --的平面角． ………………（10分） 在BDC ∆中，,5,2,5===BC DC BD,554=∴CF 又,2=CM 410sin ==∠∴CF CM MFC ． 即二面角C BD G --的大小是410arcsin． ……………（12分） 21．(Ⅰ) 设),(001y x B 、),(002y x B -且00≠y ，由题意)0,(1a A -、)0,(2a A ，则直线A 1B 1的方程为：a x ax y y ++=00………① 直线A 2B 2的方程为：ax ax y y --=-00………② …………（2分） 由①、②可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．x ay y x a x 020, ………………………………（4分） 又点),(001y x B 在双曲线上，所以有12222224=-bx y a a x a ， 整理得12222=+by a x ，所以点M 的轨迹E 的方程为12222=+by a x （0≠x 且0≠y ）．……（6分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4为定值．设),(11y x P ，则2212221b y a a x =-，则112222111111121·22y x a b a x y x a x y a x y k k =-=-++=+……③ 设),(22y x Q ，则同理可得222243·2y x a b k k -=+ ……④ ………（8分）设O 为原点，则A A A A 2,22121=+=+．)(2121Q A Q A m P A P A +=+ OQ m OP =∴∴O 、P 、Q 三点共线， ………………………………（10分） ∴2211y xy x =, 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 ∴k 1+k 2+k 3+k 4为定值0． ………………………………（12分） 另解：由)(2121A A m A A +=+，得)],(),[(),(),(22221111y a x y a x m y a x y a x -++=-++即),(),(2211y x m y x = ∴2211y xy x =,再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵131)(23+-+=bx ax x x f∴b ax x x f -+='2)(2 由题意121)1(=-+='b a fa b 2=∴ ……① ………………………………………（2分） ∵)(x f 有极值，∴方程02)(2=-+='b ax x x f 有两个不等实根．0442>+=∆∴b a 02>+∴b a ……② 由①、②可得，02022>-<∴>+a a a a 或．故实数a 的取值范围是),0()2,(+∞--∞∈ a …………（4分）(Ⅱ)存在38-=a ， ………………………………………（5分）由(Ⅰ)可知b ax x x f -+='2)(2，令0)(='x f ，a a a a 2,222++2时，取极小值， ………………………………………（7分）则11231)(22322=+-+=ax ax x x f , 02=∴x 或063222=-+a ax x ，若02=x ，即022=++-a a a ，则0=a （舍） ………………（8分） 若063222=-+a ax x ，又0)(2='x f ，022222=-+∴a ax x ,042=-∴a ax , 402=∴≠x a ,422=++-∴a a a 238-<-=∴a ,∴存在实数a =38-，使得函数)(x f 的极小值为1． …………（9分）(Ⅲ) 13)1(1)(,2122++=+'∴-+='=x x x f x x x f a ,xx x x x x f 113)1(2+=+=-+'∴,),0(,1)(+∞∈+=∴x xx x g ． …………………………………（10分） n n nn n n x x x x x x x g 111)(--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--11222222111111------⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n n x x C x x C x x C x x C⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------22144222111121n n n n n n n n n n x x C x x C x x C ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-------221442221·121·21·221n n n n n n n n n n x x C x x C x x C 22121-=+++=-n n n n n C C C∴其中等号成立的条件为1=x ． …………………………………（13分）∴)(221)(*∈-≥--N n xx x g n n n n …………………………（14分）沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
河北省石家庄市2022届高三数学二模试题 理(含解析)
根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．
【详解】解：圆 的圆心为（1，1），半径 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为2，
所以直线 经过圆心（1，1），
，解得 ．
故答案为3．
【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．
14.已知 ，则 展开式中 的系数为__
【答案】12．
【答案】（1） ．（2） 的方程为 ．
【解析】
【分析】
（1）令 ，则 ，由此能求出点C的轨迹方程．
（2）令 ，令直线 ，联立，
得 ，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程．
【详解】解：设 ，
则 ，
即 为增函数，
又 ， ， ， ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
故选C．
【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
11.已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 为抛物线上任意一点 的平分线与 轴交于 ，则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由补集的运算求得 ，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，集合 ，则 ，
根据集合的并集运算，可得 ，故选B．
【解析】
【分析】
由题意求定积分得到 的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中 的系数．
高考石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学(理)
试卷类型：A2006年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若ibiz +-=22(b ∈R )为纯虚数,则b 的值为． A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．42． 在等差数列{}n a 中，1,16375==+a a a ，则9a 的值是．A ．15B ．30C ． -31D ．64 3． 给出下列命题：① 若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则βα⊥；② 若平面α内的任一直线都平行于平面β，则βα//； ③ 若平面α垂直于平面β，直线l 在平面内α，则β⊥l ； ④ 若平面α平行于平面β，直线l 在平面内α，则β//l ． 其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14． 已知函数121)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=-x x f ，则)(x f 的反函数)(1x f -的图像大致为．5． 定义集合M 与N 的运算：},{N M x N x M x x N M ∉∈∈=*且或，则=**M N M )(A．N M B ．N M C ．MD ．N6． 已知31)4cos(=+πα，其中)2,0(πα∈，则αsin 的值为．A ．624-B ．624+C ．6122-D ．3122-7． 已知平面上不同的四点A 、B 、C 、D ，若0···=++BC DA DC CD DC DB ，则三角形ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形 8． 直线：01=++y x 与直线：⎪⎭⎫⎝⎛<<=-+2402cos sin παπααy x 的夹角为．A ．4πα-B ．4πα+C ．απ-4D ．απ-439． 设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若33)3(,1)2(2-++=>a a a f f ，则a 的取值范围是．A ．)3,0()2,( --∞B ．),3()0,2(+∞-C ．),0()2,(+∞--∞D ．),3()0,(+∞-∞ 10． 若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a，则321x x x 、、的大小关系为．A ．123x x x <<B ．312x x x <<C ． 231x x x <<D ．132x x x <<11． 点P 是双曲线116922=-x y 的上支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的上、下焦点，则21F PF ∆的内切圆圆心M 的坐标一定适合的方程是．A ．3-=yB ．3=yC ．522=+y xD ．232-=x y12． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为6的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条侧棱长是另一条侧棱长的2倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ．354 C ．10552 D ．2152第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=.1,5,1,,1,2)(x bx x a x x x f 在1=x 处连续，则实数b a ,的值分别为 ． 14．以椭圆14522=+y x 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程为 ． 15．如图，路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人沿穿过路灯的直路以84m/min 的速度行走，人影长度变化速率是 m/min ．16．在直三棱柱111C B A ABC -中，有下列三个条件：①11AC B A ⊥；②C B B A 11⊥；③1111C A C B =．以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是 （填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数∈-=x x x x x f ),cos sin 3(cos )(R ．(Ⅰ)求函数)(x f 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到∈=x x y ,sin R 的 图像？ 18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项21=a ，且)(121*+∈+=N n a a n n ．(Ⅰ) 设n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ；(Ⅱ)求使不等式9110-+<-n n a a 成立的最小正整数n ．(已知3010.02lg =)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为32和21，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率； (Ⅱ)求甲获胜的概率． 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且,,//AD AB CD AB ⊥22===AB CD AD ，侧面APD ∆为等 边三角形，且平面APD ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)若M 为PC 上一动点，当M 在何位置时，⊥PC 平面MDB ，并证明之； (Ⅱ)求直线AB 到平面PDC 的距离；(Ⅲ)若点G 为PBC ∆的重心，求二面角C BD G --的大小．21．（本小题满分12分）如图，已知A 1、A 2为双曲线C ：0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点，过双曲线上一点B 1作x 轴的垂线，交双 曲线于另一点B 2，直线A 1B 1、A 2B 2相交于点M ． (Ⅰ)求点M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若P 、Q 分别为双曲线C 与曲线E 上不同于A 1、A 2的动点，且)(2121A A m A A +=+(∈m R ,且1>m )，设直线A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，试问k 1+k 2+k 3+k 4是否为定值？说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知函数131)(23+-+=bx ax x x f (∈x R, a ,b 为实数)有极值，且1=x 在处的切线与直线01=+-y x 平行． (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由； (Ⅲ)设21=a ，)(x f 的导数为)(x f '，令),0(,3)1()(+∞∈-+'=x xx f x g ，求证： )(221)(*∈-≥--N n xx x g n n n n ．2006年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学(理科)参考答案一、选择题： DABCD ADAAD BC二、填空题： 13．3,2==b a ； 14．)2(122+=x y ； 15．21； 16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)x x x x f 2cos cos sin 3)(-=22cos 12sin 23xx +-=………………………………………（2分） 21)62sin(--=πx …………………………………………（4分）当)(,2262Z k k x ∈+=-πππ，即)(,3Z k k x ∈+=ππ时，)62sin(π-x 有最大值1．此时函数)(x f 的值最大, 最大值为21．……（6分）(Ⅱ) 将21)62sin(--=πx y 的图像依次进行如下变换：① 把函数21)62s i n(--=πx y 的图像向上平移21个单位长度，得到函数)62sin(π-=x y 的图像； …………………………………………（8分）② 把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数)6sin(π-=x y 的图像； …………………………………………（10分）③ 将函数)6sin(π-=x y 的图像向左平移6π个单位长度，就得到函数xy sin =的图像． …………………………………………（12分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由121+=+n n a a 得)1(2111-=-+n n a a 可知数列}1{-n a 是以111=-a 为首项，公比为21的等比数列． )(1211*-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴N n a n n . …………………………………………（4分）从而有n n na b n n n +⎪⎭⎫⎝⎛==-121·．n n b b b T +++= 21)21(21·21·321·221·1121n n T n n ++++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴- ………①2)1(·2121·21)1(21·221·121121++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴-∙n n n n T nn n ………② ① - ②并整理得2)1(21)24(4++⎪⎭⎫⎝⎛+-=∙n n n T nn ． ………………（8分）(Ⅱ) 911021-+<⎪⎭⎫⎝⎛=-nn n a a两边取常用对数得：9.292lg 9≈>n∴使不等式成立的最小正整数n 为30． ………………………………（12分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：271213233=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛, …………………………………………（1分）甲、乙各投中两次的概率：61213132323223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C , …………………………………（2分）甲、乙各投中一次的概率：121213132313213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C , …………………………（3分）甲、乙两人均投三次，三次都不中的概率：2161213133=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛, …………………………………………（4分）∴甲、乙平局的概率是：247216112161271=+++． ……………（6分） (Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：277811323=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛, …………………………………（8分）甲投中两球获胜的概率：9221213132313303223=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C C C , ………（9分）甲投中一球获胜的概率：3612131323213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C , …………………………（10分） 甲获胜的概率为：1085536192277=++． ………………………（12分） 20．(Ⅰ) 当M 在中点时，⊥PC 平面MDB ………………………………（1分）连结BM 、DM ，取AD 的中点N ，连结PN 、NB ．∵AD PN ⊥且面⊥PAD 面ABCD ， ∴⊥PN 面ABCD ． 在PNB Rt ∆中，,5,2,3=∴==PB NB PN又5=BC ． PC BM ⊥∴ ……………………………………（3分）又PC DM DC PD ⊥∴==,2， 又⊥∴=PC M BM DM ,面MDB ． ……………………（4分）(Ⅱ)⊂CD CD AB ,//面PDC ，⊄AB 面PDC ，∴//AB 面PDC ．∴AB 到面PDC 的距离即A 到面PDC 的距离． ………………（6分） ⊥∴=⊥⊥CD N PN DA PN CD DA CD ,,, 面P AD ， 又⊂DC 面PDC ，∴面⊥PAD 面PDC ． 作PD AE ⊥，AE 就是A 到面PDC 的距离，3=∴AE , 即AB 到平面PDC 的距离为3． ………………（8分） (Ⅲ)过M 作BD MF ⊥于F ，连结CF ．⊥PC 面MBD ，MFC ∠∴就是二面角C BD G --的平面角． ………………（10分） 在BDC ∆中，,5,2,5===BC DC BD,554=∴CF 又,2=CM 410sin ==∠∴CF CM MFC ． 即二面角C BD G --的大小是410arcsin． ……………（12分） 21．(Ⅰ) 设),(001y x B 、),(002y x B -且00≠y ，由题意)0,(1a A -、)0,(2a A ，则直线A 1B 1的方程为：a x ax y y ++=00………① 直线A 2B 2的方程为：ax ax y y --=-00………② …………（2分） 由①、②可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．x ay y x a x 020,………………………………（4分）又点),(001y x B 在双曲线上，所以有12222224=-bx y a a x a ， 整理得12222=+by a x ，所以点M 的轨迹E 的方程为12222=+by a x （0≠x 且0≠y ）．……（6分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4为定值．设),(11y x P ，则2212221b y a a x =-，则112222111111121·22y x a b a x y x a x y a x y k k =-=-++=+……③ 设),(22y x Q ，则同理可得222243·2y x a b k k -=+ ……④ ………（8分）设O 为原点，则A A A A 2,22121=+=+．)(2121A A m A A +=+ m =∴∴O 、P 、Q 三点共线， ………………………………（10分）∴2211y x y x =, 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 ∴k 1+k 2+k 3+k 4为定值0． ………………………………（12分）另解：由)(2121Q A Q A m P A P A +=+，得)],(),[(),(),(22221111y a x y a x m y a x y a x -++=-++即),(),(2211y x m y x = ∴2211y x y x =, 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵131)(23+-+=bx ax x x f∴b ax x x f -+='2)(2 由题意121)1(=-+='b a fa b 2=∴ ……① ………………………………………（2分） ∵)(x f 有极值，∴方程02)(2=-+='b ax x x f 有两个不等实根． 0442>+=∆∴b a 02>+∴b a ……② 由①、②可得，02022>-<∴>+a a a a 或．故实数a 的取值范围是),0()2,(+∞--∞∈ a …………（4分）(Ⅱ)存在38-=a ， ………………………………………（5分）由(Ⅰ)可知b ax x x f -+='2)(2，令0)(='x f ，a a a a 2,222++2时，取极小值， ………………………………………（7分）则11231)(22322=+-+=ax ax x x f , 02=∴x 或063222=-+a ax x ，若02=x ，即022=++-a a a ，则0=a （舍） ………………（8分）若063222=-+a ax x ，又0)(2='x f ，022222=-+∴a ax x ,042=-∴a ax , 402=∴≠x a ,422=++-∴a a a 238-<-=∴a ,∴存在实数a =38-，使得函数)(x f 的极小值为1． …………（9分）(Ⅲ) 13)1(1)(,2122++=+'∴-+='=x x x f x x x f a ,xx x x x x f 113)1(2+=+=-+'∴, ),0(,1)(+∞∈+=∴x xx x g ． …………………………………（10分）n n nn nnx x x x x x x g 111)(--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--11222222111111------⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n n x x C x x C x x C x x C⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------22144222111121n n n n n n n n n n x x C x x C x x C ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-------221442221·121·21·221n n n n n n n n n n x x C x x C x x C 22121-=+++=-n n n n n C C C∴其中等号成立的条件为1=x ． …………………………………（13分）∴)(221)(*∈-≥--N n xx x g n n n n …………………………（14分）。
河北省石家庄市高三毕业班第二次模拟考试理数试题Word版含答案
2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(1)y x =-的定义域分别为M 、N ，则MN =（ ）A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞+∞2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量(1,)a m =，(,1)b m =，则“1m =”是“//a b ”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ） A ．310B ．25C ．12D ．355.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin 235,cos 235)︒︒，则α=（ ）A ．215︒B ．225︒C ．235︒D ．245︒6.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >>C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>7.如图是计算11113531++++…的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）A ．2n n =+,16?i >B ．2n n =+,16?i ≥C ．1n n =+,16i >?D ．1n n =+,16?i ≥8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．34π B ．24π+ C ．12π+ D ．324π+9.实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45︒，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形''ABB A 为矩形，若沿'AA 将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）11.如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>和22221()()x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为6251-，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．34C ．45D 12.若函数32()233f x x ax bx b =+-+在(0,1)上存在极小值点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若1(3)nx x-的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点(3,4)M -关于一条渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的标准方程为 ．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积S =里1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，其面积取最大值时sin A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，34n T <.18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20.已知圆C ：222(1)x y r -+=（1r >），设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）延长MC 交曲线E 于点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 21.设函数()xf x e ax a =-+，其中e 为自然对数的底数，其图象与x 轴交于A 1(,0)x ，2(,0)B x 两点，且12x x <．（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：122'()03x x f +<（'()f x 为函数()f x 的导函数）． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos a ρθ=（0a >），Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O 、P 、Q 三点按逆时针方向排列.（Ⅰ）当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C ：222x y a +=，经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，试判断点P 的轨迹与曲线'C 是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）答案 一、选择题1-5:DDACA 6-10:DADBA 11、12：AB二、填空题13.540-15.221520x y -= 16.35 三、解答题17.解：（Ⅰ）当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅， 所以2n n a =， 当1n =时，12a =，所以2n n a =，*n N ∈． （Ⅱ）因为2n n a =，22211111()log log (2)22n n n b a a n n n n +===-⋅++.因此1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭ 所以，对任意*n N ∈，34n T <． 18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，2AF EF DE ===，4AD =，可知12EM AD =， ∴AE DE ⊥，又AE EC ⊥，DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE ， ∴AE CD ⊥， 又CD AD ⊥，AD AE A =，∴CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ． （Ⅱ）如图，作EO AD ⊥，则EO ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，分别以,,OA DC OE 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得E ，(3,0,0)A ，(1,4,0)C -，F ，所以(3,)EA = ， (4,4,0)AC =-，(3,CF =-．设(,,)n x y z = 为平面EAC 的法向量，则00n EA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30440x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 不妨设1x =， 可得(1,1,3)n =，所以cos ,||||285CF n CF n CFn <>==== 直线CF 与平面EAC 所成角的正弦值为3535．19.解：（Ⅰ）四天均不降雨的概率41381()5625P ==， 四天中恰有一天降雨的概率132432216()55625P C =⨯⨯=，所以四天中至少有两天降雨的概率128121632811625625625P P P =--=--=. （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50851151401601105y ++++==， 51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx =+． 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．20.解：（Ⅰ）设(,)M x y ，由题意可知，(1,0)A r -，AM 的中点(0,)2yD ，0x >， 因为(1,0)C ，(1,)2y DC =-，(,)2y DM x =． 在⊙C 中，因为CD DM ⊥，∴0DC DM ⋅=，所以204y x -=，即24y x =（0x >）， 所以点M 的轨迹E 的方程为：24y x =（0x >）．（Ⅱ） 设直线MN 的方程为1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线BN 的方程为222()4y y k x y =-+，2214404x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，可得12124,4y y m y y +==-， 11r x -=，则点A 1(,0)x -，所以直线AM 的方程为1122y y x y =+， 22222222()44044y y k x y ky y y ky y x ⎧=-+⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，0∆=，可得22k y =， 直线BN 的方程为2222y y x y =+， 联立11222,22,2y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可得21111441,222B B y my x y m y y -=-===， 所以点(1,2)B m -，||BC =，2d ===∴B e 与直线MN 相切． 21.解：（Ⅰ）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a >，令()0f x'=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数； 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；（或寻找f （0））存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围．（Ⅱ）因为1212e 0e 0x x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-． 记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )x x x x x x s s x x f s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦， 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e 02x x s +>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且3222121x x x x +>+， 所以0)32('21<+x x f ． 22.解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)ρθ，则由题意可得点Q 的坐标为(,)3πρθ+，再由点Q 的横坐标等于a ，0a >， 可得cos()3a πρθ+=，可得1cos sin 2a ρθθ=， 故当点Q 在l 上运动时点P的直角坐标方程为20x a -=．（Ⅱ)曲线C ：222x y a +=， '2'x x y y =⎧⎨=⎩，即'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入22''4x y a +=，即2224x y a +=， 联立点P 的轨迹方程，消去x得270y +=，0,0a >∴∆>有交点，坐标分别为2(,),(2,0)7a a ． 23.解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)，故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=． （Ⅱ）ab b a 62=+ ,621=+∴ab 844244)21)(2(=+≥++=++ab b a a b b a ， 当且仅当ab b a 4=， 可得31,32==b a 时等号成立， b a 2+∴的最小值是34。
河北省石家庄市高三下学期第二次质量检测数学(理)试题
2022年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测〔二〕高三数学(理科〕(时间120分钟，总分值150分〕本卷须知：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两局部，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 答复第I 卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 答复第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷(选择题，共60分〕一、选择题:本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 复数i2110-= A. -4+2iB. 4-2iC. 2-4iD. 2+4i2. 命题R x p ∈∃0:，022020≤++x x 那么p ⌝为A.022,020>++∈∃x x R x B.022,0200<++∈∃x x R xC.022,0200≤++∈∀x x R x D.022,0200>++∈∀x x R x3.中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，那么该椭圆的方程为A.1121622=+y xB.181222=+y xC. 141222=+y xD.14822=+y x4. 设(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，是变量x:和y 的n 个样本点，直线Z 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图〕，以下结论中正确的选项是A. x;和y 正相关B. y 和y 的相关系数为直线I 的斜率C. x 和y 的相关系数在-1到O 之间D. 当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同5.在ΔABC 中，角uC 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sinA 、sinB 、sinC 成等比数列，且c= 2a ，那么cosB 的值为A.41B.43C.42D.326.等差数列{a n }满足a 2=3，S n -S n-3=51(n>3) ,Sn= 100，那么n 的值为A. 8B. 9C. 10D. 117.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，那么其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为A.41B.31 C.21D.238.阅读程序框图(如右图〕，如果输出的函数值在区间[1，3]上，那么输入的实数x 的取值范围是A.}3log 0|{2≤≤∈x R x B.}22|{≤≤-∈x R x C.}2,3log 0|{2=≤≤∈x x R x 或 D.}2,3log 2|{2=≤≤-∈x x R x 或 9.以下列图是两个全等的正三角形.给定以下三个命题:①存在四棱锥，其正视图、侧视图如右图;②存在三棱锥，其正视图、侧视图如右图;③存在圆锥，其正视图、侧视图如右图.其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. O支分别交于A 、B 两点.假设ΔABF 2是等边三角形，那么该双曲线的离心率为11.设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2，那么A. x 1 x 2<0B. x 1 x 2=1C. X i X 2>1 D0<x 1 x 2<112.直线l 垂直平面a ，垂足为O.在矩形ABCD 中AD=1，AB=2，假设点A 在l 上移动，点B 在平面a 上移动，那么O 、D 两点间的最大距离为第II 卷(非选择题，共90分〕二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.13.⎰+23)1(dx x 的值为_________.14.有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，那么不同的参赛方案的种数为_____(用数字作答).15.在矩形ABCD 中，AB=2,BC=1,E 为BC 的中点，假设F 为该矩形内〔含边界〕任意一点，那么：AF AE .的最大值为______:16.对于一切实数x 、令[x]为不大于x 的最大整数，那么函数f(x)=[x]称为高斯函数或三、解答题:本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题总分值12分〕(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)求函数f(x)在区间]4,6[ππ-上的最大值和最小值. 18.(本小题总分值12分〕某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了局部学生的成绩，得到如下列图的成绩频率分布直方图.(I )估计全市学生综合素质成绩的平均值；(II)假设评定成绩不低于8o 分为优秀.视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有放回的抽样〕，变量ξ表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望)(ξE19.(本小题总分值12分〕如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1丄底面ABC. (I)假设M 、N 分别是AB,A 1C 的中点，求证:MN//平面BCC 1B 1(II)假设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱BB 1与底面ABC 所成的角为60°.问在线段A 1C 1上是否存在一点P ，使得平面B 1CP 丄平面ACC 1A 1，假设存在，求C 1P 与PA 1的比值，假设不存在，说明理由.20.(本小题总分值12分〕直线l 1:4x:-3y+6=0和直线l 2x=-p/2:.假设拋物线C:y 2=2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(I )求抛物线C 的方程；(II)假设以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，假设存在，求出点Q 的坐标，假设不存在，请说明理由.21.(本小题总分值12分〕 函數f(x)=ln+mx 2(m ∈R) (I)求函数f(x)的单调区间；(II)假设m=0，A(a,f(a))、B(b ，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点，且a>b>0,)(x f '为f(x)的导函数，求证：)()()()2(b f ba b f a f b a f '<--<+' (III)求证*)(1...31211)1ln(122...725232N n nn n ∈++++<+<+++++ 请考生在22〜24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分. 22.(本小题总分值10分)选修4-1几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，BE 为圆0的切线，点c 为o 上不同于A 、B 的一点，AD 为BAC ∠的平分线，且分别与BC 交于H ，与O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD.(I )求证:BD 平分CBE ∠〔II 〕求证：AH.BH=AE.HC23.(本小题总分值10分〕选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为：)0(10cos 1332>-=ρθρρ (I)求曲线C 1的普通方程；(II)曲线C 2的方程为141622=+y x ，设P 、Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ|的最小值.24.(本小题总分值10分)选修4-5:不等式选讲 函数f(x)=|x-1| (I )解关于x ;的不等式f (x )+x2-1>0;(II )假设f(x)=-|x+3|m,f(x)<g(x)的解集非空，求实数m 的取值范围.2022年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)高三数学〔理科答案〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1-5 ADDCB 6-10 CCCAB 11-12DB二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 6 14. 24 15．92 16．23122n n - 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．(原那么上只给出一种标准答案,其他解法请老师根据评分标准酌情处理) 17.〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕因为()4cos cos()23f x x x π=--3sin 2cos 21x x =+-……………2分2sin(2)16x π=+-………………4分所以)(x f 的最小正周期为π.……………6分 〔Ⅱ〕因为,64x ππ-≤≤22.663x πππ-≤+≤所以……………8分于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值1；…………10分当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—2.……………12分18. 〔本小题总分值12分〕(Ⅰ)依题意可知550.12650.18+750.40+850.22+950.08⨯+⨯⨯⨯⨯……………3分所以综合素质成绩的的平均值为74.6.……………5分 (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为100008+0022=03⨯（..）., 由题意知3(3,)10B ξ，3337()()()1010k k k p k C ξ-== 故其分布列为p123ξ34310004411000 1891000 271000………………9分39()31010E ξ=⨯=.………………12分 19．〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：连接，，11BC AC 那么1NC AN =,因为AM=MB,所以MN .//1BC ……………2分 又111.B BCC BC 平面⊂,所以MN//11.B BCC 平面.…………4分 〔Ⅱ〕作O BC O B 于⊥1, 因为面11B BCC ⊥底面ABC 所以ABC O B 面⊥1以O 为原点，建立如下列图空间直角坐 标系，那么)0,30(，A ,B(-1,0,0),C(1,0,0))300(1，，B .由，111BB CC AA ==可求出)30,2(),331(11，，，C A…………6分设P(x,y,z),P A C A 111λ= .解得)3,3311(λλ-+，P ,=CP )3,331(λλ-，,)30,1(1，-=CB .设平面CP B 1的法向量为1(,,)x y z =n1110,0,CP CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩由n n 解得11(3,,1)1-λλ+=n ………8分同理可求出平面11A ACC 的法向量2(3,1,-1)=n .…………10分 由面⊥CP B 1平面11A ACC ，得120⋅=n n ，即01--113=++λλ解得：.2:3,311111===PA P C P A C A ，从而所以λ………………12分 20. 〔本小题总分值12分〕解: 〔Ⅰ〕由定义知2l 为抛物线的准线，抛物线焦点坐标)0,2(p F 由抛物线定义知抛物线上点到直线2l 的距离等于其到焦点F 的距离.所以抛物线上的点到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1l 的距离.…………2分 所以5622+=p ，那么p =2,所以，抛物线方程为x y 42=.………………4分〔Ⅱ〕设M ),(00y x ，由题意知直线l 斜率存在，设为k,且0k ≠,所以直线l 方程为)x -(-00x k y y =,代入x y 42=消x 得：.0-44-2002=+ky y y ky由2000216-4(4-)0,.k y ky k y ∆===得………………6分 所以直线l 方程为)x -(2-000x y y y =，令x=-1,又由0204x y =得)24-,1(020y y N - 设)0,1x Q （那么)24-,-1(-),,-(0201010y y x QN y x x QM ==由题意知0,QM QN ⋅=……………8分20011-4-)(-1-)02y x x x +=即（，把024x y =代入左式, 得：02-x x )x -112101=++x （，……………10分 因为对任意的0x 等式恒成立， 所以12111-0,x x -20.x =⎧⎨+=⎩ 所以11=x 即在x 轴上存在定点Q 〔1,0〕在以MN 为直径的圆上.……………12分 21. 〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕f(x)的定义域为），（∞+0，x mx mx x x f 22121)('+=+= )21-(0x m ，∈时，)('x f >0, )(x f 在)21-(0m，上单调递增；),21-(x +∞∈m 时，)('x f <0, )(x f 在),21-(+∞m上单调递减.综上所述：0()(0,)m f x ≥+∞当时，在单调递增.时，当0<m )(x f 在)21-(0m ，上单调递增,在),21-(+∞m上单调递减.…………3分〔Ⅱ〕要证()()1f a f b a b b -<-，只需证ln 1a a b b <-,令1,at b=>即证ln 10t t -+<，令1()ln 1,()10g t t t g t t'=-+=-<，因此()(1)0g t g <=得证.…………………6分要证ln ln 2a b a b a b ->-+，只要证2(1)ln 1a a b a b b->+， 令1at b=>，只要证(1)ln 2(1)0t t t +-->， 令1()(1)ln 22,()ln 1h t t t t h t t t'=+-+=+-，211()0h t t t''=->因此()(1)0h t h ''>=，所以()(1)0h t h >=得证.………………9分 另一种的解法: 令a b =>1t ,2(-1)()=ln -+1t h t t t ,那么2214+2-3()=-=>0+1(+1)t t h t t t t t '>0t , 所以()h t 在(1,+)∞单调递增，即2(-1)ln >,+1a ab a b b得证.(Ⅲ)由〔Ⅱ〕知2ln ln 1a b a b a b b -<<+-,〔0a b >>〕，那么21ln(1)ln 21n n n n<+-<+所以2222111.........ln(1)1......3572123n n n+++<+<++++.………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分22．〔本小题总分值10分〕选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)由弦切角定理知DAB DBE ∠=∠…………2分 由DAC DBC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠所以DBC DBE ∠=∠, 即.CBE BD ∠平分…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知.BH BE =所以BE AH BH AH ⋅=⋅,……………7分 因为DAC DAB ∠=∠，ABE ACB ∠=∠, 所以AHC ∆∽AEB ∆,所以BEHC AE AH =,即HC AE BE AH ⋅=⋅…………10分 即：HC AE BH AH ⋅=⋅.23．〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)原式可化为10-12)322x y x =+（，…………2分 即.32)2-(22=+y x ……………4分 (Ⅱ)依题意可设),sin 2,cos 4(θθQ 由(Ⅰ)知圆C 圆心坐标〔2,0〕。
河北省石家庄市第二中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题.(解析版)
石家庄二中高三模拟考试（3月15日）数学试题（理）一、单项选择题：（每题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，根据对数函数的定义域可得集合，然后进行交集的运算即可.【详解】由题意得，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了集合的运算及性质，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.设复数满足（其中为虚数单位），则下列结论正确的是（）A. B. 的虚部为C. D. 的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由，得，∴，的虚部为1，，的共轭复数为，故选D．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若函数，则（）A. 9B. 1C.D. 0【答案】B【解析】【分析】根据的解析式即可求出，进而求出的值．【详解】∵，∴，故，故选B.【点睛】本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.4.某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好，那么的值为（）（）A. B. C.或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．【详解】如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°．由余弦定理得9＝x2+27﹣2×3x×cos30°．解得x＝3或x＝6．故答案为：3或6．【点睛】本题考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解，是基础题．5.为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据程序的功能，寻找分子与分母之间的关系进行求解即可．【详解】根据式子的特征每个分式的分母比分子多2，即，故选C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据分式特点是解决本题的关键，属于基础题.6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】该几何体的直观图如图所示，体积为的圆锥体积与三棱锥的体积之和，即选D.7.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造g（x）＝f（x）-（e+e﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【详解】函数f（x）＝e x﹣1+e1﹣x，令g（x）＝＝e x﹣1+e1﹣x﹣（e+e﹣1），g′（x）＝e x﹣1-e1﹣x，令g′（x）＝0，解得x＝1．可得：函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．g（x）min＝g（1）＝2﹣（e+e﹣1）＜0，又g（0）＝g（2）＝0．∴0＜x＜2．故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为，，，，正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，四边形的面积为，阴影部分的面积为，所以该点落在阴影区域内的概率是，故选B ．考点：几何概型及其概率的求解． 9.如图， 直线经过函数（，） 图象的最高点和最低点，则（ ）A.， B. ， C. ， D. ，【答案】A 【解析】 【分析】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，代入直线得横坐标，即可得，从而得到的值，把点代入得到的值．【详解】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，代入直线得其横坐标分别为和，故，，得，故，故，代入得，故，所以因为，所以，故选A ．【点睛】本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.10.已知双曲线：，，分别为 的左.右焦点，过的直线交 的左. 右支分别于，，且，则（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】求得双曲线的，设，运用双曲线的定义可得，即可得到所求值．【详解】由双曲线，可得，设，由双曲线的定义可得，，可得，故选C．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．11.设函数，有且只有一个零点，则实数的值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数有且只有一个零点，转化为方程，，有且只有一个实数根，构造函数g（x），求导求得极值与端点处的值，分析得到a的值.【详解】∵函数，有且只有一个零点，∴方程，，有且只有一个实数根，令g（x）=，则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了函数与方程的转化，利用了构造法，属于中档题.12.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半，而物体新位置高度的最大值为体对角线，进而可得解.【详解】正方体的对角线长为，故当正方体旋转的新位置的最大高度为，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为，故选C．【点睛】本题考查了几何体的体积计算，理解液面高度为物体新位置高度的一半是解题的关键，属于基础题．二、填空题：（每题5分，共20分）13.已知向量，，，则__________【答案】5【解析】分析：将平方，代入条件即可得解.详解：由平方可得：.向量，所以.又.所以.所以.故答案为：5.点睛：向量模的求法通常是求得向量的平方即可.14.甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为__________【答案】【解析】【分析】找到满足题意的所有情况，分别求得每种情况下的概率，由分类计数原理进行加法运算即可.【详解】甲乙两人合起来共猜对三个谜语的所有情况包括：甲猜对2个，乙猜对1个和甲猜对1个，乙猜对2个，若甲猜对2个，乙猜对1个，则有=，若甲猜对1个，乙猜对2个，则有，∴比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为+.故答案为.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率的求法，考查了分类计数原理的应用，属于基础题.15.已知数列的前项和为，满足，则__________．【答案】【解析】【分析】由数列递推式求得数列的通项公式，得到数列的奇数项和偶数项，代入所求式，分组后利用等比数列求和公式得答案. 【详解】∵，当n时，，n为偶数时，，即；n为奇数时，，即；又，∴；∴，∴∴===故答案为.【点睛】本题考查了由数列递推式求数列的通项公式，考查了等比数列求和公式，考查了分类讨论的思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.已知为坐标原点，圆：，圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】如图所示，以为直径作圆，延长交新圆于点，交新圆于点，首先证得，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.【详解】如图所示，以为直径作圆，延长交新圆于点，交新圆于点，连接，，则与垂直，又，所以为中点，由对称性可知，∵，所以，因此当最大值时，最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接圆的面积最大值，圆内接三角形的面积，由正弦定理得，，∴由于，时为上凸函数，由琴声不等式得即即，当且仅当时等号成立，进而可得的最大值为，故答案为【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.三、解答题17.已知等比数列满足，且是的等差中项.求数列的通项公式；若，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知条件，列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和，列出不等式，通过求解表达式的最小值，求解m的取值范围．【详解】设等比数列的首项为，公比为.依题意，有，代入，得.因此即有，解得或又数列单调递增，则故.，，，得.，对任意正整数恒成立，对任意正整数恒成立，即恒成立.，，即的取值范围是.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，错位相减法的应用，数列与不等式以及函数的最值的求法．考查计算能力．18.如图，中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，所以，因为，所以，，又因为，所以平面，所以平面．（2）取的中点，连接，由（1）知平面，平面，所以平面平面，因为，所以，又因为平面，平面平面，所以平面，过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，．，，设平面的法向量为，则即则，易知为平面的一个法向量，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单. 若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：，，，，，，，，）【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：根据已知条件写出函数关系式，分别求出分布列，然后算出数学期望与方差运用不同的比较方法求出最优解解析：（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：，乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：，①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以的分布列为：所以，，所以的分布列为：所以，，②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.20.已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接. （1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.【答案】（1）（2）.【解析】分析：（1）由题意可知，则，即可求得椭圆方程.（2）由题意设，，，设直线的方程为，代入椭圆方程，写出韦达定理关系式，再根据三点共线，得到，然后计算的值为定值.详解：（1）设椭圆方程为，由题意可知：，所以，所以椭圆的方程为（2）是定值，定值为.设，，因为直线过点，设直线的方程为：，联立所以，，因为点在直线上，所以可设，又在直线上，所以：所以点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：设动点和动直线、即引入参数；结合已知条件将目标式用参变量表示，（3）通过化简消参求得定值.设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.21.已知函数，．（1）若，求的取值范围；（2）若的图像与相切，求的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）由题意可得，设，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求范围；（2）设的图象与相切于点，求得的导数，可得切线的斜率和切点满足曲线方程，解方程即可得到所求值．【详解】（1）由得. ，从而，即．设. ，则，（）所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以当时，取得最大值，故的取值范围是．（2）设的图像与相切于点，依题意可得因为，所以消去可得．令，则，显然在上单调递减，且，所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以当且仅当时．故．【点睛】本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在改点处切线的斜率，导数与函数单调性、极值和最值的关系，由，得函数单调递增，得函数单调递减，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）若与相交于两点，且，求．【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果；（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．【详解】（1）当时，当时，．由得，因为，，所以的直角坐标方程．（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，则，，因为，所以或，因为，所以，故或．【点睛】本题主要参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，属于中档题．23.已知是正实数，且，证明：；.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式证明即可．（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可．【详解】是正实数，，，∴，当且仅当时，取∴∴∴当且仅当即时，取【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．。
石家庄市二模数学有答案(理科)
2019年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }，N={5，7，8 }，则A. B. C. D.2. 若F(5，0)是双曲线(m是常数）的一个焦点，则m的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059. 程序框图如右图，若输出的s值为位，则n的值为A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知a是实数，则函数_的图象不可能是11. 已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB 边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是A.不论边长AB，CD如何变化，P为定值；B.若-的值越大，P越大；C.当且仅当AB=CD时，P最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.12. 设不等式组表示的平面区域为D n a n表示区域D n中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2019C. 3021D. 4001第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数（i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_________.14. 在ΔABC 中，，，则 BC 的长度为________.15. 己知F1F2是椭圆（a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为________.16. 在平行四边形ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A 1B1C1D1中有=________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，A B=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0丄侧面ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l于Q点，且•(I )求动点P的轨迹E的方程；(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y0>4时，试用y0表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.21. (本小题满分12分）已知函数(A ,B R，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a>0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE2=DE-EC.(I)求证:；(I I)求证：A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C1的参数方程为：（为参数）；射线C2的极坐标方程为：,且射线C2与曲线C1的交点的横坐标为(I )求曲线C1的普通方程；(II)设A、B为曲线C1与y轴的两个交点，M为曲线C1上不同于A、B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点，求证|OP|.|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设函数(I)画出函数的图象；(II )若不等式，恒成立，求实数a 的取值范围.2019年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. 1或2 15. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16. 22214()AB AD AA ++.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ）当1q =时，10472S S S ≠+所以1q ≠ ………………………………………………..2分10472S S S =+由,得()()1074111211(1)111a q a q a q q q q---=+--- 104710,12a q q q q ≠≠∴=+ ， ………………………….4分则8251112a q a q a q =+，9362a a a ∴=+，所以3,9,6a a a 成等差数列. ………………………6分(Ⅱ)依题意设数列{}3n a 的前n 项的积为n T ,n T =3333123n a a a a ⋅⋅3323131()()n q q q -=⋅⋅=33231()()n q q q -⋅3123(1)()n q ++-==(1)32()n n q -，…………………8分又由（Ⅰ）得10472q q q =+，63210q q ∴--=，解得3311(,2q q ==-舍）.…………………10分 所以()1212n n n T -⎛⎫=-⎪⎝⎭. …………………………………………….12分18. 解: （Ⅰ）………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.……………………………………………6分 （Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是45，则4~(3,)5X B ， 311(0)()5125P X === 1234112(1)()55125P X C ===2234148(2)()()55125P X C === 3464(3)()5125P X ===………………8分分布列为412()355E X =⨯=………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，1AA，2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,11tan AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,1tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠, 又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， …………………………………………………………………………3分 又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………5分 （Ⅱ） 解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ABD中，可求得3OB =,6OD =,3OC OA ==，在1Rt ABB中，可求得1OB = ，故D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,C ⎛ ⎝⎭,13B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,BC ⎛= ⎝⎭,1BB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭可得，11BC BC BB ⎛=+= ⎝⎭…………………………………8分 设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即03330x y z y ⎧-++=⎪⎪=，取1,0,2x y z ===， 则()1,0,2=m ， …………………………………10分又BCD 面()1,0,0=n ，故cos ,==m n ， 所以，二面角1C BD C --12分 解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ， 因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥ 所以E O C ∠为二面角1C BD C --的平面角…………………………………8分BD =，1AB ，1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==,113OC OA AB ===， 在1Rt COB中，1B C ===，……………………10分 又EOC OCE ∠=∠1cos OC EOC CB ∠==， 故二面角1C BD C --的余弦值为…………………………12分 20.解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． …………………2分 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹E 的方程24x y =． …………………………4分 （Ⅱ）解法一：设00(,),(,0),(,0)P x y B b C c ，不妨设b c >． 直线PB 的方程:00()y y x b x b=--，化简得 000()0y x x b y y b ---=． 又圆心(0,2)到PB 的距离为22= ，故222220000004[()]4()4()y x b x b x b y b y b +-=-+-+，易知04y >，上式化简得2000(4)440y b x b y -+-=， 同理有2000(4)440y c x c y -+-=． …………6分所以0044x b c y -+=-，0044y bc y -=-，…………………8分 则2220002016(4)()(4)x y y b c y +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2004x y =，则 2202016()(4)y b c y -=-，0044y b c y -=-． ………………10分所以0000002116()2[(4)8]244PBC y S b c y y y y y ∆=-⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==． 因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分解法二：设),(00y x P , 则420x y =，PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k ，则PB ：2010()4x y k x x -=-，令0y =得20014B x x x k =-，同理得20024C x x x k =-；所以||4|44|||||212120120220k k k k x k x k x x x BC C B -⋅=-=-=，……………6分下面求||2121k k k k -,由(0,2)到PB ：2010()4x y k x x -=-的距离为22010|2|2x k x +-=， 因为04y >，所以2016x >，化简得2222220001010(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=，同理得2222220002020(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=…………………8分所以1k 、2k 是22222200000(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=的两个根.所以2001220(4)2,4x x k k x -+=-222220000122200(1)()164,44x x x x k k x x --==--21220||4x k k x -==-，1220121||116k k x k k -=-， 22000120200120411||||44411416B C x x y k k x x y y x k k y --=⋅=⋅=⋅=---，……………10分 所以0000002116||2[(4)8]244PBC y S BC y y y y y ∆=⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分21.解:（Ⅰ）当2b =时，若2()()()2x x F x f x g x ae e x =-=+-，则2()221x x F x ae e '=+-，原命题等价于2()2210x x F x ae e '=+-…在R 上有解．……………2分 法一：当0a …时，显然成立； 当0a <时，2211()2212()(1)22xx x F x ae e a e a a'=+-=+-+ ∴ 1(1)02a -+>，即102a -<<． 综合所述 12a >-．…………………5分法二：等价于2111()2x x a e e>⋅-在R 上有解，即∴ 12a >-．………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，不妨设12x x <，则2102x x x +=， 2222x x ae be x +=，1121x x ae be x +=，两式相减得：21212221()()x x x x a e e b e e x x -+-=-，……………7分整理得212121212121221()()()()2()x x x x x x x x x x x x x x a e e e e b e e a e e eb e e +-=-++--+-…则21212122x x xxx x ae b e e +-+-…，于是 21212121212202()x x x x x x x x x x e ae be f x e e+++-'⋅+=-…，…………………9分 而212121212121221x x x x x x x x x x x x e e e e e +----⋅=⋅--令210t x x =->，则设22()tt G t e et -=--，则22111()1210222t t G t e e -'=+->⋅=，∴ ()y G t =在(0,)+∞上单调递增，则22()(0)0t t G t e e t G -=-->=，于是有22t t e et -->，即21t te te ->，且10te ->，∴ 211ttt e e <-， 即0()1f x '<．…………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．选修4-1几何证明选讲 证明：(Ⅰ)依题意，DE BEBE EC=，11∠=∠ ， 所以DEB BEC ∆∆,………………2分得34∠=∠, 因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆，所以ED BD AD CD =,即ED ADBD CD =,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆,所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=，因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠， 所以01745180,∠+∠+∠+∠= 即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分 23．选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=，射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x , 因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点， 所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分 由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+,所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分 24.选修4-5：不等式选讲 解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知, 当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。
届石家庄二模理科数学答案
1．C
2．B
2020 届石家庄市高中毕业班综合训练（一） 数学理科答案
3．A
4．C
5．A 6．A
7．D 8．B
9．D【解析】由题意， f x 2sinx acosx = 4 a2 sin(x ) ， 为辅助角，
因为对称轴为 x π ，所以 f 1 3 a ，即 4 a2 | 1 3 a | ,解得 a 2 3
在△ ACD 中， CD AC tan A = 5 . …………………………12 分 2
解法 2：
在 △ ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ：
21 9 b2 23bcos C ，
将（Ⅰ）中所求代入整理得： b2 4b 12 0 ，
解得 b 2 或 b 6 （舍），即 AC 2 ………………………6 分 在△ ABC 中，由余弦定理可知：
6
6
2
2
所以 f x 4sin x
3
,对称轴方程为
x
6
kk
Z ，又因为
f
x 在 x1,
x2
上具有单调
性，且
f
x1
f
x2
0 ，设
x
x1, x
x2
为相邻对称轴,当
x1
6
, x2
5 6
时取最小值
7π 6
,
也可解: 设 A(x1, f (x1)), B(x2, f (x2 )) ，则线段 AB 的中点为函数 f (x) 的对称中心，即
所以 MG∥平面 DEF. ………………2 分
在菱形 ABCD 中，BM∥DE，
因为 DE 平面 DEF，BM 平面 DEF，
所以 BM∥平面 DEF. ……………………4 分