新人教A版选修2_22020学年高中数学阶段质量检测(三)数系的扩充与复数的引入

阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i 是虚数单位，复数7－i
3＋i ＝( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－2＋i
D ．－2－i
解析：选B
7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )10＝20－10i
10
＝2－i. 2．已知复数z ＝－i
3
(－1＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 因为z ＝i －3－4i ＝i (－3＋4i )(－3－4i )(－3＋4i )＝－4－3i 25＝－425－3
25i ，所以z 在
复平面内所对应的点在第三象限，故选C.
3．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －
为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i
D ．5－i
解析：选D 因为(z －3)(2－i)＝5，所以z －3＝52－i ＝5(2＋i )
(2－i )(2＋i )
＝2＋i ，所以z ＝
5＋i ，所以z －
＝5－i.
4．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i
1＋i (a ∈R)的虚部为－3，则|z |＝( )
A.10 B ．2 3 C.13
D ．5
解析：选C 因为z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ，所以－
a ＋1
2＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ，所以|z |＝(－2)2
＋(－3)2
＝13.
5．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R)，z 2＝1－2i ，若z 1
z 2
为纯虚数，则|z 1|＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5
解析：选D 由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i
5
为纯虚数，则a ＝1，则
|z 1|＝5，故选D.
6．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1
D ．±1或0
解析：选C 因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2
＋4＝4＋1，解得a ＝±1，故选C.
7．已知复数z ＝－12＋3
2
i ，则z －＋|z |＝( )
A ．－12－32i
B ．－12＋32i
C.12＋32
i D.12－32
i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z －
＋|z |＝－12－3
2
i ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋322＝12－32i.
8．设z ＝(2t 2
＋5t －3)＋(t 2
＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数
C.z －
对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数
解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2
＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －
对应的点关于实轴对称．
∴C 项正确． 9．复数2＋i 与复数1
3＋i
在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB 等于( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.
π2
解析：选B ∵
13＋i ＝3－i (3＋i )(3－i )＝310－i 10
， ∴它在复平面上的对应点为B ⎝
⎛⎭
⎪⎫310，－110，
而复数2＋i 在复平面上的对应点是A (2,1)，
显然AO ＝5，BO ＝
1010，AB ＝41010
. 由余弦定理得cos ∠AOB ＝AO 2＋BO 2－AB 22AO ·BO ＝2
2
，
∴∠AOB ＝π
4
.故选B.
10．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x
的最大值是( )
A.32
B.33
C.12
D. 3
解析：选D 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2
＋y 2
＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x
≤ 3.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．若a 为实数，2＋a i
1＋2i ＝－2i ，则a ＝________，2＋a i 在第________象限．
解析：
2＋a i 1＋2i
＝－2i ，可得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ，所以a ＝－2，2
＋a i ＝2－2i 在第四象限．
答案：－ 2 四
12．若复数z ＝(a －2)＋3i(a ∈R)是纯虚数，则a ＝______，a ＋i
1＋a i
＝________.
解析：∵z ＝a －2＋3i(a ∈R)是纯虚数，∴a ＝2， ∴
a ＋i 1＋a i ＝2＋i 1＋2i ＝(2＋i )(1－2i )5＝45－3
5
i. 答案：2 45－35
i
13．已知复数z ＝5i
1＋2i (i 是虚数单位)，则z 的实部是________，|z |＝________.
解析：∵z ＝5i
1＋2i ＝2＋i ，∴z 的实部是2.
|z |＝|2＋i|＝ 5.
答案：2 5
14．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2
＋b 2
＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2
＋b 2＝3. 答案：3
15．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2
＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2
＋2x －2b )
＋(－x －4)i ＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －2b ＝0，
－x －4＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，
b ＝4，∴m ＝4i.
答案：4i
16．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a i 2－i ＝________.
解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i ，
∵
1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12
. 所以⎪⎪
⎪⎪⎪⎪1＋a i 2－i ＝12
.
答案：－12 1
2
17．若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z －
是z 的共轭复数，则z ·z －
＝________. 解析：因为z ·z －
＝|z |2
，且|z |＝|2i||1－i|＝22
＝2，
所以z ·z －
＝2. 答案：2
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？
(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．
(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m 2
＋3m ＋2＝0且m 2
－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2
－2m －2)＝0，且m 2
＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．
(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2
＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．
19．(本小题满分15分)已知复数z 满足(1＋2i)z －
＝4＋3i. (1)求复数z ；
(2)若复数(z ＋a i)2
在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵(1＋2i)z －＝4＋3i ，
∴z －
＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5
＝2－i ，∴z ＝2＋i.
(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2
＋4(a ＋1)i ，
∵复数(z ＋a i)2
在复平面内对应的点在第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4－(a ＋1)2
>0，4(a ＋1)>0，
解得－1<a <1，
即实数a 的取值范围为(－1,1)．
20．(本小题满分15分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为
虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2－
|<|z 1|，求a 的取值范围．
解：因为z 1＝－1＋5i
1＋i
＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2－
＝a －2＋i ，
所以|z 1－z 2－
|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2
＋4，
又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2－
|<|z 1|， 所以(4－a )2
＋4<13， 所以a 2
－8a ＋7<0，解得1<a <7. 所以a 的取值范围是(1,7)．
21．(本小题满分15分)设z －
为复数z 的共轭复数，满足|z －z －
|＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z .
(2)若z －z －
2
为实数，求|z |.
解：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z －
＝－b i ，
因为|z －z －
|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 所以b ＝±3，所以z ＝±3i.
(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －
＝a －b i ，
因为|z －z －
|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 因为z －z －2
＝a ＋b i －(a －b i)2
＝a －a 2
＋b 2
＋(b ＋2ab )i.
z －z －2
为实数，
所以b ＋2ab ＝0.
因为|b |＝3，所以a ＝－1
2，
所以|z |＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(本小题满分15分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2
的虚部是2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z 2
，z －z 2
在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，由题意得a 2
＋b 2
＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2
＝2i ，z －z 2
＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △
ABC
＝1.
当z ＝－1－i 时，z 2
＝2i ，z －z 2
＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.。