2016-2017年山东省烟台二中高二(下)6月月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年山东省烟台二中高二（下）6月月考数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x}，N＝{x|y＝log a（x﹣1）}，则M∩∁R N＝（）A．（0，1]B．（﹣∞，1）C．R D．∅
2．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+m（m为常数），则f（m）＝（）
A．e﹣1B．1﹣e C．D．
4．（5分）函数f（x）＝（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
5．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．2B．﹣2C．﹣D．
6．（5分）函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）
A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＞2，或x＜﹣2}
C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＞4，或x＜0}
7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x﹣2﹣x+2，则f（2）等于（）
A．2B．C．4D．
8．（5分）若函数f（x）＝（）x，g（x）＝|log3（x﹣1）|，则方程f（x）﹣g（x）＝0的实根个数为（）
A．3B．2C．1D．0
9．（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（）
A．[，3）B．（0，3）C．（1，3）D．（1，+∞）10．（5分）函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）＝f （x﹣2）；②函数y＝f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）＝e x﹣，a＝f（﹣5），b＝f（）．c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 12．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f （x）为“局部奇函数”，已知f（x）＝4x﹣m2x+1+m﹣3为定义R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）
A．B．[﹣2，+∞）C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为．
14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是．15．（5分）函数y＝log2（﹣x2+3x+4）的单调减区间为．
16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有两个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确的命题为（把所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题：本大题共6小题，第17题满分70分，其余答题满分均为12分，共70分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算：（1）﹣（）0++（•）6
（2）log3.19.61+lg+ln（e2•）+log3（log327）．
18．（12分）函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a＝2时，求函数f（x）在x∈[0，1）上的值域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；
若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．
20．（12分）罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？
21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R
（I）当m＝e（e为自然对数的底数）时，若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f′（x）﹣有两个零点，试求m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．
2016-2017学年山东省烟台二中高二（下）6月月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x}，N＝{x|y＝log a（x﹣1）}，则M∩∁R N＝（）A．（0，1]B．（﹣∞，1）C．R D．∅
【解答】解：集合M＝{y|y＝2x}＝（0，+∞），N＝{x|y＝log a（x﹣1）}＝（1，+∞），
则∁R N＝（﹣∞，1]，
则M∩∁R N＝（0，1]，
故选：A．
2．（5分）函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）
【解答】解：∵数f（x）＝（x﹣3）e x
∴f′（x）＝（x﹣2）e x，
根据单调性与不等式的关系可得：
（x﹣2）e x＜0，即x＜2
所以函数f（x）＝（x﹣3）e x的单调递减区间是（﹣∞，2）
故选：A．
3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+m（m为常数），则f（m）＝（）
A．e﹣1B．1﹣e C．D．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝0，
又由当x≥0时，f（x）＝e x+m，则有f（0）＝e0+m＝1+m＝0，解可得m＝﹣1，
即当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，
f（m）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（e1﹣1）＝1﹣e；
故选：B．
4．（5分）函数f（x）＝（）x﹣x+2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【解答】解：函数，
可得：f（﹣1）＝5＞0，
f（0）＝3＞0，
f（1）＝＞0，
f（2）＝＞0，
f（3）＝﹣0，
由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．
故选：D．
5．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．2B．﹣2C．﹣D．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（）＝log2＝﹣2，
f（f（））＝f（﹣2）＝﹣＝．
故选：D．
6．（5分）函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）
A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＞2，或x＜﹣2}
C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＞4，或x＜0}
【解答】解：f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b，
∵函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），即ax2﹣（b﹣2a）x﹣2b＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b，
得﹣（b﹣2a）＝（b﹣2a），即b﹣2a＝0，则b＝2a，
则f（x）＝ax2﹣4a，
∵f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴a＞0，
由f（2﹣x）＞0得a（2﹣x）2﹣4a＞0，
即（2﹣x）2﹣4＞0，
得x2﹣4x＞0，得x＞4或x＜0，
即不等式的解集为{x|x＞4，或x＜0}，
故选：D．
7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x﹣2﹣x+2，则f（2）等于（）
A．2B．C．4D．
【解答】解：∵f（x）+g（x）＝2x﹣2﹣x+2，①
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x﹣2x+2，
∵定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），
∴﹣f（x）+g（x）＝2﹣x﹣2x+2，②
∴f（x）＝2×2x﹣2×2﹣x，
∴2f（2）＝2×4﹣2×＝．
∴f（2）＝．
故选：B．
8．（5分）若函数f（x）＝（）x，g（x）＝|log3（x﹣1）|，则方程f（x）﹣g（x）＝0的实根个数为（）
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：在同一个坐标系中画出两个函数f（x）＝（）x，g（x）＝|log3（x﹣1）|的图象，如图：
可知两个函数的图象有2个交点，
则方程f（x）﹣g（x）＝0的实根个数为2．
故选：B．
9．（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（）
A．[，3）B．（0，3）C．（1，3）D．（1，+∞）
【解答】解：∵f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴x＜1时，f（x）＝（3﹣a）x﹣a是增函数
∴3﹣a＞0，解得a＜3；
x≥1时，f（x）＝log a x是增函数，解得a＞1．
∵f（1）＝log a1＝0
∴x＜1时，f（x）＜0
∵x＝1，（3﹣a）x﹣a＝3﹣2a
∵x＜1时，f（x）＝（3﹣a）x﹣a递增
∴3﹣2a≤f（1）＝0，解得a．
所以≤a＜3．
故选：A．
10．（5分）函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．
B．
C．
D．
【解答】解：当x≥0时，函数y＝＝，y′＝，有且只有一个极大值点
是x＝2，
故选：A．
11．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）＝f （x﹣2）；②函数y＝f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）＝e x﹣，a＝f（﹣5），b＝f（）．c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【解答】解：由f（x+2）＝f（x﹣2）得f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4，
∵函数y＝f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2），即函数关于x＝2对称，
当x∈（0，2]时，f（x）＝e x﹣为增函数，
则f（﹣5）＝f（﹣5+8）＝f（3）＝f（1），
f（）＝f（﹣8）＝f（），
f（）＝f（﹣8）＝f（）＝f（+2）＝f（﹣+2）＝f（），
∵1＜＜，∴f（1）＜f（）＜f（），
即a＜b＜c，
故选：A．
12．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f （x）为“局部奇函数”，已知f（x）＝4x﹣m2x+1+m﹣3为定义R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）
A．B．[﹣2，+∞）C．D．
【解答】解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）＝﹣f（x）有解即可，
即f（﹣x）＝4﹣x﹣m•2﹣x+1+m﹣3＝﹣（4x﹣m2x+1+m﹣3），
∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m﹣6＝0，
即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m﹣8＝0有解即可．
设t＝2x+2﹣x，则t＝2x+2﹣x≥2，
∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m﹣8＝0在t≥2时有解，
则g（t）＝t2﹣2m⋅t+2m﹣8，其对称轴为t＝m，
①若m≥2，有△＝4m2﹣4（2m﹣8）＝4（m2﹣2m+8）≥0恒成立，
即m≥4时，满足题意，
②若m＜4，要使t2﹣2m⋅t+2m﹣8＝0在t≥2时有解，
令g（t）＝t2﹣2m⋅t+2m﹣8，
则有
解得﹣2≤m＜2，
综上：m≥﹣2，即m的取值范围是[2，+∞）；
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数f（x）＝的定义域为（﹣1，0）∪（0，1]．
【解答】解：函数有意义，则：，
求解不等式有：，
据此可得，函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，1]．
故答案为：：（﹣1，0）∪（0，1]．
14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣3x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2x+y+1＝0．
【解答】解：由函数f（x）＝lnx﹣3x知f′（x）＝﹣3，把x＝1代入得到切线的斜率k ＝﹣2，
∵f（1）＝﹣3，
∴切线方程为：y+3＝﹣2（x﹣1），即2x+y+1＝0．
故答案为2x+y+1＝0
15．（5分）函数y＝log2（﹣x2+3x+4）的单调减区间为[，4）．
【解答】解：由﹣x2+3x+4＞0，得x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4．
函数y＝﹣x2+3x+4是开口向下的抛物线，且对称轴方程为x＝，
∴函数y＝﹣x2+3x+4在[，4）上为减函数，
而外函数y＝log2t为增函数，
∴函数y＝log2（﹣x2+3x+4）的单调减区间为[，4）．
故答案为：[，4）．
16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有两个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确的命题为①③④（把所有正确命题的序号都填上）．
【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣f（x），∴f（x）＝e﹣x（x﹣1），①正确；
对于②，∵f（﹣1）＝0，f（1）＝0，且f（0）＝0，
∴f（x）有3个零点，②错误；
对于③，x＜0时，f（x）＝e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；
x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；
∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；
对于④，x＜0时，f′（x）＝e x（x+2），得
x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；
∴x＝﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）＝1；
即﹣e﹣2＜f（x）＜1；
x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）＝﹣1；
∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；
∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；
∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；
综上，正确的命题是①③④．
故答案为①③④．
三、解答题：本大题共6小题，第17题满分70分，其余答题满分均为12分，共70分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）计算：（1）﹣（）0++（•）6
（2）log3.19.61+lg+ln（e2•）+log3（log327）．
【解答】解：（1）原式＝10﹣1+8+8×9＝89；
（2）原式＝2﹣3+2++1＝．
18．（12分）函数f（x）＝log a（3﹣ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a＝2时，求函数f（x）在x∈[0，1）上的值域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；
若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意：f（x）＝log2（3﹣2x），
由复合函数的单调性可知f（x）在[0，1）上单调递减，
所以函数f（x）的值域为（0，log23]．
（2）假设存在实数a符合题意，则f（1）＝1，即log a（3﹣a）＝1，
∴3﹣a＝a，解得a＝．
此时，f（x）＝（3﹣），显然当x＝2时，f（x）无意义，矛盾．
∴不存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1．
19．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
所以．
又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1＝0平行，
所以f'（1）＝1﹣a＝1，即a＝0．
（Ⅱ）令f'（x）＝0，得x＝e1﹣a．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e1﹣a），单调递减区间是（e1﹣a，+∞）．
所以f（x）在x＝e1﹣a处取得极大值，f（x）极大值＝f（e1﹣a）＝e a﹣1．
20．（12分）罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？
【解答】解：（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x＝m，即n＝﹣1，…（2分）
所以y＝f（x）＝32n+（n+1）（2+）x＝32（﹣1）+（2+）m
＝m（+）+2m﹣32，（0＜x＜m）…（6分）
（2）当m＝96时，f（x）＝96（+）+160
则f′（x）＝．…（8分）
令f′（x）＝0，得＝64，所以x＝16
当0＜x＜16时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；
当16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在区间（16，96）内为增函数．
所以f（x）在x＝16处取得最小值．此时n＝﹣1＝5…（10分）
故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小．…（12分）
21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R
（I）当m＝e（e为自然对数的底数）时，若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f′（x）﹣有两个零点，试求m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝e时，，其定义域为（0，+∞）…（1分）
，
当0＜x＜e时，；当x＞e时，，
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
若函数f（x）在（a﹣1，a+1）（a＞1）上有极值点，
须，解得e﹣1＜a＜e+1，
（Ⅱ）＝＝，其定义域为（0，+∞）
令g（x）＝0，得
设，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点为h（x）与y＝m的交点．h'（x）＝﹣x2+1＝﹣（x+1）（x﹣1）
故当x＝1时，h（x）取得最大值时
作出h（x）的图象，可得当时，g（x）有两个零点．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx．
（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．
【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝lnx+﹣1的导数为g′（x）＝﹣，
可得在点（2，g（2））处的切线斜率为﹣，
由在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，可得：
﹣＝﹣，解得a＝4；
（Ⅱ）h（x）＝lnx﹣的导数为h′（x）＝﹣，
由h（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，可得h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即有2b≤＝x++2在（0，+∞）上恒成立，
由x++2≥2+2＝4，当且仅当x＝1时取得最小值4，
则2b≤4，可得b的取值范围是（﹣∞，2]；
（Ⅲ）证明：若m＞n＞0，要证，
即证＜ln，
令＝t（t＞1），h（t）＝lnt﹣，
h′（t）＝﹣＝＞0，
可得h（t）在（1，+∞）递增，即有h（t）＞h（1）＝0，
即为lnt＞，
可得．。