江苏省普通高等学校2017年高三数学招生考试资源练习：

练习(十五)
1. (2016·汉阳一中调考)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx ，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f(x)＝m·n ＋3
2
. (1) 试求函数f(x)的单调递增区间；
(2) 在锐角△ABC 中，△ABC 的三角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f(C)＝3
2，且
c ＝3，求a －1
2
b 的取值范围．
2.(2016·菏泽月考)如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝4，BC ＝3，AA 1＝4，AC ⊥BC ，点M 在线段AB 上．
(1) 若M 是AB 中点，证明AC 1∥平面B 1CM ；
(2) 当BM 长是多少时，三棱锥B 1BCM 的体积是三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积的1
9
？
3.某种产品的成本为每件30元．现有A 、B 两种销售方式：A 方式是由生产单位门市部销售，每件56元，但每月需支付工时费用和管理费用共5 000元；B 方式是直接批发给商场，每件48元．请根据该单位生产能力情况说明，选择哪种销售方式利润较好．
4. (2016·惠州三调)已知中心在原点的椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1的一个焦点为F 1(0，3)，M(x ，
4)(x ＞0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为3
2
.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
5.(2016·丰台月考)已知数列{a n }是无穷数列，a 1＝a ，a 2＝b(a ，b 是正整数)，a n ＋1＝
⎩⎪⎨⎪⎧a n a n －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a n a n －1>1，a n －1a
n
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n a n －1≤1.
(1) 若a 1＝2，a 2＝1，写出a 4，a 5的值；
(2) 已知数列{a n }中a k ＝1(k∈N *
)，求证：数列{a n }中有无穷项为1；
(3) 已知数列{a n }中任何一项都不等于1，记b n ＝max{a 2n －1，a 2n }(n ＝1，2，3，…；max{m ，n}为m ，n 中较大者)．求证：数列{}b n 是单调递减数列．
6. (2016·朝阳月考)已知函数f(x)＝k ＋x k －x ·e x (k∈R )．
(1) 若k ＝1，求曲线y ＝f(x)在点()0，f （0）处的切线方程； (2) 求函数f(x)的单调区间；
(3) 设k≤0，若函数f(x)在区间()3，22上存在极值点，求k 的取值范围．
练习(十五)
1. 解：(1) m ＝⎝⎛⎭⎫sinx ，12，n ＝⎝⎛⎭⎫cosx ，cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6， f(x)＝m·n ＋32＝⎝⎛⎭⎫sinx ，12·⎝⎛⎭⎫cosx ，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＝sinxcosx ＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32 ＝32＋1
2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3， 函数的单调递增区间2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k π－5π12≤x ≤k π＋π
12，k ∈Z ，
所以单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π
12，k ∈Z .
(2) 由f(C)＝32可得f(C)＝32＋12sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π3＝3
2
，
∴ sin ⎝
⎛⎭⎫2C ＋π
3＝0，∴ 2C ＋π3＝π或2C ＋π3＝2π，可得C ＝π3或C ＝5π6(舍去)．
∵ C ＝π3，c ＝3，∴ a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝3
3
2
＝2，
∴ a ＝2sinA ，b ＝2sinB.
a －1
2b ＝2sinA －sinB ＝2sinA －sin ⎝⎛⎭
⎫2π3－A ＝2sinA －sin 2π3cosA ＋cos 2π3sinA ＝32sinA －3
2cosA
＝3sin ⎝
⎛⎭⎫A －π
6，
∵ ⎩
⎨⎧0＜A ＜π
2
，
0＜2π3－A ＜π2，
∴ π6＜A ＜π2，0＜A －π6＜π3
，
则0＜3sin ⎝
⎛⎭⎫A －π6＜3
2，
故a －1
2
b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，32. 2. (1) 证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连结ME.
因为直三棱柱ABCA 1B 1C 1，M 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，ME 为△ABC 1
的中位线，所以 ME ∥AC 1.
因为ME ⊂平面B 1CM, AC 1⊄ 平面B 1CM ， 所以 AC 1∥平面B 1CM.
(2) 解：因为S △ABC ＝12BA ·BCsin ∠ABC ，S △MBC ＝1
2BM ·BCsin ∠MBC ，
所以VB 1BCM ＝13·1
2BM ·BCsin ∠ABC ·B 1B ，
V ABC 1A 1B 1C 1＝1
2
BA ·BCsin ∠ABC ·B 1B ，
由VB 1BCM ＝1
9V ABC 1A 1B 1C 1，
得BM ＝1
3
BA.∵ AC ⊥BC ，∴ 在Rt △ACB 中，
BA ＝AC 2＋BC 2＝5，所以BM ＝5
3
.
当BM 长为53时，三棱锥B 1BCM 的体积是三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积的1
9
.
3. 解：设销量为x.
A 方式的利润为(56－30)x －5 000，
B 方式的利润为(48－30)x.
① 若(56－30)x －5 000＞(48－30)x ，解得x>625； ② 若(56－30)x －5 000＝(48－30)x ，解得x ＝625； ③ 若(56－30)x －5 000＜(48－30)x ，解得x ＜625.
综上可得：销量为625时，A 、B 两种任选；销量小于625时，选B 种；销量大于625时，选A 种．
4. 解：(1) 因为椭圆C 的焦点为F 1(0，3)，
∴ b 2＝a 2
＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9
＝1.
∵ M(x ，4)(x ＞0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为3
2
，
∴ 12×3×x ＝3
2
，∴ x ＝1，∴ M(1，4)． 代入椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，可得1a 2＋16
a 2＋9
＝1；
∴ a 4－8a 2－9＝0，∴ a 2＝9，
∴ 椭圆C 的方程为x 29＋y 2
18
＝1.
(2) 假设存在符合题意的直线l ，设直线方程为y ＝4x ＋m ，代入椭圆方程，消去y ，可
得18x 2＋8mx ＋m 2
－18＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 18，x 1x 2＝m 2－1818
，
∵ 以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，∴ OA →·OB →
＝0， ∴ x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴ x 1x 2＋16x 1x 2＋4m(x 1＋x 2)＋m 2＝0.
∴ 17×m 2－1818－4m ×8m
18＋m 2＝0，∴ m ＝±102.
此时Δ＝64m 2－72(m 2
－18)＞0， ∴ 直线方程为y ＝4x±102. 5. (1) 解：a 4＝2，a 5＝1.
(2) 证明：a k ＝1(k ∈N *)，假设a k ＋1＝m ，
① 当m ＝1时，依题意有a k ＋2＝a k ＋3＝…＝1； ② 当m>1时，依题意有a k ＋2＝m ，a k ＋3＝1；
③ 当m<1时，依题意有a k ＋2＝1m ，a k ＋3＝1m 2，a k ＋4＝1m ，a k ＋5＝1
m
，a k ＋6＝1.
由以上过程可知：若a k ＝1(k ∈N *)，在无穷数列{a n }中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{a n }中有无穷项为1.
(3) 证明：由条件可知a n >1(n ＝1，2，3，…)，
因为{a n }中任何一项不等于1，所以a n ≠a n ＋1(n ＝1，2，3，…)． ① 若a 2n －1>a 2n ，则b n ＝a 2n －1.
因为a 2n ＋1＝a 2n －1
a 2n
，所以a 2n －1>a 2n ＋1.
若a 2n －1a 22n >1，则a 2n ＋2＝a 2n －1
a 22n
<a 2n －1，于是a 2n －1>a 2n ＋2；
若a 2n －1a 22n <1，则a 2n ＋2＝a 2n a 2n －1a 2n
＝a 22n a 2n －1＝a 2n a 2n －1·a 2n <a 2n <a 2n －1
，于是a 2n －1>a 2n ＋2； 若a 2n －1
a 22n
＝1，则a 2n ＋2＝1，于题意不符； 所以a 2n －1>max{a 2n ＋1，a 2n ＋2}，即b n >b n ＋1. ② 若a 2n －1<a 2n ，则b n ＝a 2n .
因为a 2n ＋1＝a 2n
a 2n －1，所以a 2n >a 2n ＋1；
因为a 2n ＋2＝a 2n
a 2n ＋1
，所以a 2n >a 2n ＋2；
所以a 2n >max{a 2n ＋1，a 2n ＋2}，即b n >b n ＋1.
综上所述，对于一切正整数n ，总有b n >b n ＋1，所以数列{}b n 是单调递减数列．
6. 解：(1) 若k ＝1，函数f(x)的定义域为{}x |x ≠1，f ′(x)＝e x （3－x 2）
（1－x ）2
.
则曲线y ＝f(x)在点()0，f （0）处切线的斜率为f′(0)＝3.
而f(0)＝1，则曲线y ＝f(x)在点()0，f （0）处切线的方程为y ＝3x ＋1. (2) 函数f(x)的定义域为{}x |x ≠k ，
f ′(x)＝e x （2k ＋k 2－x 2）
（k －x ）2
.
① 当k>0时，由x ≠k ，且此时k 2＋2k>k ，可得－k 2＋2k<k<k 2＋2k. 令f′(x)<0，解得x<－k 2＋2k 或x>k 2＋2k ，函数f(x)为减函数； 令f′(x)>0，解得－k 2＋2k<x<k 2＋2k ，但x ≠k ，
所以当－k 2＋2k<x<k ，k<x<k 2＋2k 时，函数f(x)也为增函数．
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－k 2＋2k)，(k 2＋2k ，＋∞)，单调增区间为(－k 2＋2k ，k)，(k ，k 2＋2k)．
② 当k ＝0时，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 当k ＝－2时，函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(－2，＋∞)．
当－2<k<0时，由2k ＋k 2<0，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，k)，(k ，＋∞)． 即当－2≤k ≤0时，函数f(x)的单调减区间为(－∞，k)，(k ，＋∞)． ③ 当k<－2时，此时－k 2＋2k>k.
令f′(x)<0，解得x<－k 2＋2k 或x>k 2＋2k ，但x ≠k ，所以当x<k ，k<x<－k 2＋2k ，x>k 2＋2k 时，函数f(x)为减函数；
令f′(x)>0，解得－k 2＋2k<x<k 2＋2k ，函数f(x)为增函数．
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，k)，(k ，－k 2＋2k)，(k 2＋2k ，＋∞)，函数f(x)的单调增区间为(－k 2＋2k ，k 2＋2k)．
(3) ① 当－2≤k ≤0时，由(2)问可知，函数f(x)在(3，22)上为减函数，所以不存在极值点；
② 当k<－2时，由(2)可知，f(x)在(－k 2＋2k ，k 2＋2k)上为增函数，在(k 2＋2k ，＋∞)上为减函数．
若函数f(x)在区间(3，22)上存在极值点，则3<k 2＋2k<22，解得－4<k<－3或1<k<2，
所以－4<k<－3.
综上所述，当－4<k<－3时，函数f(x)在区间()3，22上存在极值点．。