广东省梅州市华县城镇中学高数学《函数的单调性与导数》练习

广东省梅州市五华县城镇中学高一数学《函数的单调性与导数》练习
学习目标：1、了解函数的单调性与导数的关系； 2、能利用导数研究函数的单调性； 3、会求函数的单调区间。

一、 主要知识：
1、 函数 的单调性与其导数正负的关系：
在某个区间a,b 内，如果 ___________________ ，那么函数y 二f （x ）在这个区间内单调递增； 在某个区间 a,b 内，如果 _______________ ，那么函数y 二f （x ）在这个区间内单调递减； 若恒有 _______________ ，则函数y 二f （x ） 在这个区间内是常用数函数。

2、 利用导数判断函数值的增减快慢： 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个 范围内变化的快，这时函数的图 象比较“陡峭”（向上或向下）；反之，若函数在这范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变 化的慢，这时函数的图象比 较“平缓”。

二、 典例分析：
3
〖例1〗：（1）判断函数y=ax —1（a^R ）在（—旳，址）上的单调性。

（2）讨论函数f x ]=a x ，a 」（a 0且a"）的单调性。

1例2〗：求下列函数的单调区间：
(1)
f x =3x 2 -21 n x ； (2) f x
- 2 1 -aln x, a 0 ；(3) f x = , 2x - x 2。

x
1 2
〖例 3〗：已知函数 f （x ）=lnx — ax —2x （a^0 ）。

2 「、
（1）若函数f x 存在单调递减区间，求 a 的取值范围；（2）若函数f x 在1,41上单调递减，求 a 的取 值范围。

4〗：函数f x =ax 3 bx 2 cx 在0,1上是增函数，在[一匚＜0 , 1,
上是减函数，又f
求f x 的解析式； ⑵ 若在区间1.0, m m 0上恒有f x - x 成立，求m 的取值范围。

1例 (1)
三、课后作业：
1、若 f x i ；=ax 3 bx 2 cx d a 0 为增函数，则（
）
A 、f x j 、0, g x j 、0
B 、f x j 、0, g x :: 0
C 、f x ： 0, g x j 、0
D f x ： 0, g x :: 0 6、设f x ,
g x 在la,b 1上可导，且f > g x ，则当a ■■ x ■ b 时，有(
)
A 、f x
g x B 、f x :： g x
C 、f x g a g x fa
D 、f
x g b g x f b
8、 函数f x 在定义域 R 内可导，若 f x 二f 2-x ，且当x "I —*,1时，r x ：： 0，设a 二f 0， b ^f i 1
，c =f 2，则a,b,c
的大小关系为。

2
9、 若函数y=x 3，x 2，mx 1是R 上的单调增函数，则实数 m 的取值范围是 ____________________ 。

10、已知函数f x =x • P p ・0，讨论函数f x 的单调性。

x
11、设t=0，点P t,0是函数f （x^x 3 ax 与g （x ）二bx 2的图象的一个公共点，两函数 的图象在点P 处
有相同的切线。

A 、 2、函数
A
、 3、函数
A 、 4、函数
2
b -4a
c 0 B b 0, c 0 3
2
f x i ；=2x -9x 12x 1的单调递减区间是（
1,2 B 、 2, ：：
C_：：,1
3
f x =x ・ax-2在区间1,•::内是增函数，则 〔3,亠「］ B 、丨-3,亠「］ C -3, ■■ ■- i
y =xcosx 「sin x 在下面哪个区间上是增函数（ 二 3 二
C 、b = 0, c 、0
)
D 、 D 、 )
2
D b —
I 「1,1 , 2,::
( ) -3
了3兀 兀） C ,3-
U 2 J 5、已知对任意实数 x 有 f —x = - f x , g -x = g x ，且 x . 0 时，「x ］，0,g ■ x ］，0，则 x ：：： 0 时（
A 、
B 、二,2 二 D 、 2二,3二
1
3 2
7
、函数
f x
T
x x 3x 6
的单调减区间是
_____________________ ；单调增区间是 ___________________
（1）用t表示a, b,c ；（2）若函数y = f（x）-g（x）在-1,3上单调递减，求t的取值范围。

解：(I )因为函数f(x), g(x)的图象都过点(t, 0)，所以f(t) = o,
即t3at =0.因为t = 0,所以a - -t2.
g(t) =0,即bt2 c =0,所以c =ab.
又因为f (x) , g(x)在点(t, 0)处有相同的切线，所以 f (t)二g(t).
而f (x) =3x2 a,g (x) = 2bx,所以3t2a = 2bt.
将a = -t 代入上式得b = t.因此c = ab = -t‘.故a = -t ，b=t，c = -tl
(ll )解法一y 二f (x) -g(x)二x3-t2x「tx2 t3, y 二3x2「2tx -t2二(3x t)(x -t). 当y 丄(3x • t)(x -t) ：：： 0 时，函数y = f (x) -g (x)单调递减.
由y ^ ：：：0 ,若t 0,则- -< x ::: t ；若t ：：：0,则t ■. x < --.
3 3
由题意，函数y二f (x) -g(x)在(—1, 3) 上单调递减，则
(-1,3)(-和)或(-1,3) (I*
所以t _3或- 1 _3即亡-9或t -3.
3
又当-9 ::: t ::: 3时，函数y = f (x) -g(x)在(一1, 3) 上单调递减.
所以t的取值范围为(-二，-9] 一[3,=).。