小学五年级数学思维专题训练—进位制(含答案解析)

小学五年级数学思维专题训练—进位制
1 在二进制中，1
2不是1；（10）
2
表示2；（11）
2
表示3；（100）
2
表示4；（101）
2
表示5；…
那么在六进制中，（1111）
6
所表示的十进制数为
2 （643721）
8
表示一个八进制中的数。

请问这个数被7除的余数是多少？
3 xy、zw各表示一个两位数，若＋＝139，则x＋y＋z＋w＝
4 有4个数，a、、、，它们的平均数是1837，则＝
5 四位数1234可通过下面的变成1541：
12341541
现在有一个四位数，通过以上方法变成3779，那么原来的这个四位数是。

6 一个两位数，加上45以后，十位数字正好与个位数字互换位置。

原来的这个两位数是多少？
请写出所有可能。

7 将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的倍。

（结果写出分数形式）
8 有一个四位整数。

在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81。

求这个四位数。

9 已知111111222222=k×（k＋1），求k的值。

10 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是。

11 学生问数学老师的年龄。

老师说：“由三个相同的数字组成的三位数除以这个数字的和，所得结果就是我的年龄。

”老师今年岁。

12 一辆汽车以不变的速度在行驶，司机看了三次里程表，如下图所示，由此可知汽车每小
时行驶千米。

13 三位数比三位数小99，若a、b、c彼此不同，则最大是。

14 由3个0~9中的不同数字能组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是5328，则这些三位数中最小的一个是。

，它的六进制表示也是一个三15 十进制的正整数n，它的九进制表示为一个三位数（abc）
9
位数（cba）
.请问n的十进制表示是什么？
6
16 智慧文具公司用以下方式计算原子笔：12支原子笔为1打，12打原子笔为1罗，用记号8°11′6″表示6罗11打又8支原子笔。

请问3°7′10″与6°8′3″相差多少支原子笔？
17 甲数各位数字之和是9，乙数的各位数字之和是10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，
用竖式做减法运算时，有两次借位。

那么甲乙两数的之差的各位数字之和是。

18 有一个四位数，将它的数码顺序排序倒排后得到一个新的四位数，加上原来的四位数后后再加上1，得到计算结果，甲的答案是8988，乙的答案是9998，丙的答案是9988，丁的答案是9888.如果四人中有一个人的计算是正确的，那么这个人是。

19 一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元，她知道实际收钱不会错，只能是记账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是元。

20 一个十位数字是0的三位数，等于它的的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位和百位数字，得到的新的三位数是它的各位数字之和的。

21 一个三位数A的三个非零数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是。

22 一个年龄在13~19岁之间的孩子把自己的年龄写在他父亲年龄的后面成为一个四位数，从这个四位数中减去父子的年龄之差得到4289，孩子与父亲的年龄和等于。

23 2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025，这样的4位数称为“零巧数”，
那么所有的“零巧数”有。

24 在一种猜数游戏中，魔术师让小明随意想一个三位数，再让小明求出、、、、
这五个三位数的和，并把所求得和告诉魔术师，魔术师就能说出小明所想的数是多少。

如果小明所求的五个三位数的和是2003，那么小明所想的三位数是。

25 有一个四位数，它的各位数字中没有0，将它的各位数字重新排列后，可得一些新的四位数。

这些新的数中最大的数比原来的四位数大3834，这些新数中最小的数比原来的四位数小4338.请问原来的四位数是什么？
26 一个人2008年的年龄和恰好等于他出生年的数字的和，那么这个人2008年的年龄
是。

27 正整数3、5、6、15可以分别表示为1×2＋1，1×22＋1,1×22＋1×2,1×23＋1×22＋1×2＋1，它们的上述表示（又称为二进制）中的1的个数分别是2,2,2,4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数（从小到大）的和是。

28 有一架两臂天平1、3、9、27、81、243、729、2187克的砝码，称重时砝码可以任意放在
天平秤盘的两侧。

现在要称一个2009克的物品，当天平平衡时，请问与物品在同一个盘上的砝码重量是多少克？
29 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98.如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是。

30 一个正整数，如果它的各位数字之和再加上它的各位数字之和恰好等于此数，这样的数叫“奇妙数”，例如39＝3＋9＋3×9就是一个奇妙数。

（1）试求两位数中所有的奇妙数。

（2）三位数中是否存在奇妙数，若有，有几个？若无，请说明理由。

31 老王去银行兑现一张支票，结果银行职员疏忽，在支付款项时把百元和千元的数字弄反了，而老王也没有注意到。

在回家的途中，老王花费152元买了一本杂志，回到家才发现口袋里的钱恰好是要兑领的支票之金额的两倍。

若老王原来的口袋里没有钱，请问原来这张支票的金额是多少？
32 已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且a2＋b＝c。

求满足所有条件的（a，b，c）。

参考答案
1 在二进制中，12不是1；（10）2表示2；（11）2表示3；（100）2表示4；（101）2表示5；…那么在六进制中，（1111）6所表示的十进制数为
【答案】259
【分析】（1111）6＝1×63＋1×62＋1×6＋1＝259.
2 （643721）8表示一个八进制中的数。

请问这个数被7除的余数是多少？
【答案】2
【分析】在八进制中被7除的性质与在十进制中被9除的性质相同，（6＋4＋3＋7＋2＋1）÷7＝3……2.
3 xy、zw各表示一个两位数，若＋＝139，则x＋y＋z＋w＝
【答案】答案22
【分析】和的个位为9，不会发生进位y＋w＝9，十位明显进位x＋z＝13，所以x＋y＋z＋w ＝22。

4 有4个数，a、、、，它们的平均数是1837，则＝
【答案】8957
【分析】＋＋＋＝1837×4
即1000d＋100c＋10b＋a＝1837×4－341－26－3－1000
即＝5978，所以＝8957。

5 四位数1234可通过下面的变成1541：
12341541
现在有一个四位数，通过以上方法变成3779，那么原来的这个四位数是。

【答案】3271
【分析】设原来这个四位数是，则有＋a＋b＝37，＋c＋d＝79，即11a＋2b＝37,11c＋2d＝79，解得a＝3，b＝2，c＝7，d＝1，所以原来这个四位数是3271.
6 一个两位数，加上45以后，十位数字正好与个位数字互换位置。

原来的这个两位数是多少？请写出所有可能。

【答案】16、27、38、49
【分析】设原来这个两位数是，则有＋45＝，即（10b＋a）－（10a＋b）＝45，解得b －a＝5，因此满足条件的所有两位数是16、27、38、49.
7 将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的倍。

（结果写出分数形式）
【答案】101 99
【分析】将A的小数点向右移动两位则A变成100倍，即B＝100A，那么B＋A＝101A，B
－A＝99A，B＋A是B－A的101
99倍。

8 有一个四位整数。

在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，得数是2000.81。

求这个四位数。

【答案】1981
【分析】由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前，如果小数点加在十位数之前，所得的数是原来四位数的百分之一，再加上原来的四位数，得数2000.81应该是原来四位数的1.01倍，原来的四位数是2000.81÷1.01＝1981。

类似地，如果小数点加在百位数之前，得数2000.81应是原来四位数的1.001倍，小数点加在千位之前，得数2000.81应是原来四位数的1.0001倍。

但是（2000.81÷1.001）和（2000.81÷1.0001）都不是整数，所以只有1981是唯一的
答案。

9 已知111111222222=k×（k＋1），求k的值。

【答案】333333
【分析】方法一：利用位值原理直接计算：
111111222222
＝111111×1000000＋111111×2
＝111111×1000002
＝111111×3×333334
＝333333×333334
所以，k＝333333.
方法二：找规律：
3×4＝12
33×34＝1122
333×334＝111222
…
所以111111222222＝333333×333334.所以k＝333333.
10 某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是。

【答案】8571428
【分析】设x＝，则
（20000000＋x）×3＝10x＋4
7x＝59999996
x＝8571428
即七位数应是8571428.
11 学生问数学老师的年龄。

老师说：“由三个相同的数字组成的三位数除以这个数字的和，所得结果就是我的年龄。

”老师今年岁。

【答案】答案37
【分析】设这个三位数为，
÷3a＝（100a＋10a＋a）÷3a＝111a÷3a＝37岁。

12 一辆汽车以不变的速度在行驶，司机看了三次里程表，如下图所示，由此可知汽车每小时行驶千米。

【答案】45
【分析】汽车每小时行驶的路程＝－＝10y＋x－10x－y＝9y－9x；
又有汽车每小时行驶的路程＝（－）÷2＝（100x－10x）÷2＝45x。

于是有9y－9x＝45x，即y＝6x。

又根据题意可知x、y肯定是0—9的整数，且不提3为0，所以，只能是x＝1，y＝6.
所以汽车每小时行驶45千米。

13 三位数比三位数小99，若a、b、c彼此不同，则最大是。

【答案】879
【分析】由题意
a b c
＋9 9
c b a
则有a＋1＝c，要最大，如果a＝8，那么c＝9，剩下b最大取7，所以最大是879。

14 由3个0~9中的不同数字能组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是5328，则这些三位数中最小的一个是。

【答案】789
【分析】能组成六个三位数说明里面没有0，三个数字不重复，由位值原理，5328÷222＝24，所以这三个数字为7、8、9，则这些三位数中最小的是789。

15 十进制的正整数n，它的九进制表示为一个三位数（abc）9，它的六进制表示也是一个三位数（cba）6.请问n的十进制表示是什么？
【答案】212
【分析】（abc）9＝a×92＋b×9＋c＝81a＋9b＋c；（cba）6＝c×62＋b×6＋a＝36c＋6b＋a。

所以81a＋9b＋c＝36c＋6b＋a，于是35c＝3b＋80a。

因为35c是5的倍数，80a也是5的倍数。

所以3b也必须是5的倍数，则b也是5的倍数，所以，b＝0或5.
○1若b＝0，则35c＝80a，即7c＝16a；由于（7,16）＝1，并且a、c都不为0，所以c＝16，a ＝7，但是在6、9进制下，不可以有一个数字为16.
○2若b＝5，则35c＝3×5＋80a，即7c＝3＋16a；考虑两边除以7的余数，可知2a除以7余4，那么a除以7余2，所以a＝2或者2＋7k（k为整数）。

因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数字，于是a＝2.
那么35c＝15＋80×2，可得c＝5.
于是（cba）6＝（552）6＝5×62＋5×6＋2＝212.
16 智慧文具公司用以下方式计算原子笔：12支原子笔为1打，12打原子笔为1罗，用记号
8°11′6″表示6罗11打又8支原子笔。

请问3°7′10″与6°8′3″相差多少支原子笔？
【答案】993
【分析】方法一：本题实际上是一个十二进制计算问题，我们可以将其转化为十进制数计算问题来做，相差的原子笔支数是（10－3）×12×12－（8－7）×12－（6－3）＝993（支）。

方法二：直接用十二进制进行竖式减法后再转化为十进制
10″7′3°
－3″8′6°
6″10′9°
（6″10′9°）12＝6×122＋10×12＋9＝993（支）。

17 甲数各位数字之和是9，乙数的各位数字之和是10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有两次借位。

那么甲乙两数的之差的各位数字之和是。

【答案】17
【分析】甲有两次借位，每次借位，数字和加9.所以甲乙两数之差的各位数字之和是9＋9×2－10＝17.
18 有一个四位数，将它的数码顺序排序倒排后得到一个新的四位数，加上原来的四位数后后再加上1，得到计算结果，甲的答案是8988，乙的答案是9998，丙的答案是9988，丁的答案是9888.如果四人中有一个人的计算是正确的，那么这个人是。

【答案】甲
【分析】设原来的四位数是，根据题意有＋＝1001a＋110b＋110c＋1001d，是11的倍数，所以四人答案减1后应是11的倍数，经检验只有甲正确。

19 一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元，她知道实际收钱不会错，只
能是记账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是元。

【答案】17
【分析】说明账面比现金小数点右移了
若右移1位，则增加9倍，恰好153÷9＝17，
若右移2位，则增加99倍，但99不能整除153，所以实际收到的现金17元。

20 一个十位数字是0的三位数，等于它的的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位和百位数字，得到的新的三位数是它的各位数字之和的。

【答案】34
【分析】令这个三位数为，则由题意可知，100a＋b＝67（a＋b），可得a＝2b，而调换个位和百位之后变为：＝100b＋a＝102b，而a＋b＝3b，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102b÷3b＝34（倍）。

21 一个三位数A的三个非零数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是。

【答案】495
【分析】设这个最大三位数为，那么最小三位数为，于是A＝－＝99（a－c），三位数A是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A＝495.
22 一个年龄在13~19岁之间的孩子把自己的年龄写在他父亲年龄的后面成为一个四位数，从这个四位数中减去父子的年龄之差得到4289，孩子与父亲的年龄和等于。

【答案】59
【分析】设孩子的年龄为，父亲的年龄为，根据题意有＝（－）＋4289，所以＝43，＝16，所以孩子和父亲的年龄和为43＋16＝59.
23 2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025，这样的4位数称为“零巧数”，
那么所有的“零巧数”有。

【答案】2025、4050、6075
【分析】设零巧数为，因此有＝9×，即1000a＋＝900a＋，2bc＝25a，因此a
是小于8的偶数，因此所有零巧数是2025、4050、6075.
24 在一种猜数游戏中，魔术师让小明随意想一个三位数，再让小明求出、、、、
这五个三位数的和，并把所求得和告诉魔术师，魔术师就能说出小明所想的数是多少。

如果小明所求的五个三位数的和是2003，那么小明所想的三位数是。

【答案】217
【分析】＋＋＋＋＝2003，即＋＋＋＋＋＝2003＋
222（a＋b＋c）＝2003＋，而3003＞222×（a＋b＋c）＞2003，所以14＞a＋b＋c≥10
当a＋b＋c＝10，＝2220－2003＝217，
当a＋b＋c＝11，＝222×11－2003＝439，4＋3＋9＝16≠11（舍）
当a＋b＋c＝12，＝222×12－2003＝661，（舍）
当a＋b＋c＝13，＝222×13－2003＝883，（舍）
当a＋b＋c＝14，＝222×14－2003＝1105，（舍）
所以小明想的三位数是217。

25 有一个四位数，它的各位数字中没有0，将它的各位数字重新排列后，可得一些新的四位数。

这些新的数中最大的数比原来的四位数大3834，这些新数中最小的数比原来的四位数小4338.请问原来的四位数是什么？
【答案】5917
【分析】设原来的四位数是m，最大的四位数为，则最小的四位数是，根据题意有
－m＝3834
m－＝4338 ，所以有－＝3834＋4338＝8172，可得999（a－d）＋90×（b－c）＝8172＝7992＋180，
则a－d＝8，b－c＝2，a＝9，d＝1，m＝＋4338，且m的四位数字分别为1、c、b、9，由于8＋9的个位数字为7，故b＝7，c＝5，m＝1579＋4338＝5917。

26 一个人2008年的年龄和恰好等于他出生年的数字的和，那么这个人2008年的年龄
是。

【答案】23岁或5岁
【分析】1设这个人的出生年为，根据题意
1＋9＋a＋b＝2008－
10＋a＋b＝2008－1900－10a－b
化简得：11a＋2b＝98。

所以11a＝98－2b，因为b≤9，所以11a≥98－18＝80.从而a≥8推出a＝8，b＝5.
这个人年龄为2008－1985＝23（岁）。

2设这个人的出生年为，根据题意
2＋0＋0＋a＝2008－
2＋a＝8－a
a＝3.
这个人的年龄为2008－2003＝5（岁）。

27 正整数3、5、6、15可以分别表示为1×2＋1，1×22＋1,1×22＋1×2,1×23＋1×22＋1×2＋1，它们的上述表示（又称为二进制）中的1的个数分别是2,2,2,4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数（从小到大）的和是。

【答案】115
【分析】魔数从小到大排列：11,101,110,1001,1010,1100,1111,10001,10010,10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4为，3个1在倒数第5位，和为5×1＋5×2＋5×22＋4×23＋3×24＝115.
28 有一架两臂天平1、3、9、27、81、243、729、2187克的砝码，称重时砝码可以任意放在天平秤盘的两侧。

现在要称一个2009克的物品，当天平平衡时，请问与物品在同一个盘上的砝码重量是多少克？
【答案】271克
【分析】利用三进制。

因
2009
＝（2202102）3
＝2×36＋2×35＋0×34＋2×33＋1×32＋0×31＋2×30
＝（3×36－1×36）＋（3×35－1×35）＋0×34＋（3×33－1×33）＋1×32＋0×31＋（3×30－1×30）＝1×37＋0×36－1×35＋1×34－1×33＋1×32＋1×31－1×30
即2009＋243＋27＋1＝2187＋81＋9＋3
故与物品在同一秤盘上的砝码243克、27克与1克，总重为271克。

29 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98.如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是。

【答案】37
【分析】设这个两位数为，则其逆序数为，根据题意有：＝（＋1）÷2，
所以＋1＝2，即10b＋a＋1＝20a＋2b，得8b＋1＝19a。

可见a为奇数，而且19a≤8×9＋1＝73，得到a＜4。

A可能为1或3.
代入8b＋1＝19a，可知只有当a＝3时b＝7是整数，所以所求的两位数为37.
30 一个正整数，如果它的各位数字之和再加上它的各位数字之和恰好等于此数，这样的数叫“奇妙数”，例如39＝3＋9＋3×9就是一个奇妙数。

（1）试求两位数中所有的奇妙数。

（2）三位数中是否存在奇妙数，若有，有几个？若无，请说明理由。

【答案】（1）19、29、39、49、59、69、79、89和99；（2）无
【分析】（1）设两位奇妙数＝10a＋b（a≠0）。

则a＋b＋ab＝10a＋b，从而＝9a，所以b＝9.
因此两位数中的奇妙数为19、29、39、49、59、69、79、89和99。

（2）判断：三位数中没有奇妙数。

说明：设三位奇妙数＝100a＋10b＋c（a≠0）。

由a＋b＋c＋abc＝100a＋10b＋c，得abc＝9（11a＋b）。

所以9|abc。

○1a、b、c中有一个等于9，若c＝9.则ab＝11a＋b，（a≠1，否则11＝0）
即b(a－1)＝11a，从而11|b或11|（a－1）。

不可能。

同理：a＝9或b＝9均不可能。

○2若a、b、c中有两个为3的倍数，如a＝3k1,b＝3k2（k1,k2＝1或2）。

则k1k2c＝33k1＋3k2≥36，又k1k2c≤4c，从而4c≥36，c＝9.
由○1知，这不可能。

31 老王去银行兑现一张支票，结果银行职员疏忽，在支付款项时把百元和千元的数字弄反了，而老王也没有注意到。

在回家的途中，老王花费152元买了一本杂志，回到家才发现口袋里的钱恰好是要兑领的支票之金额的两倍。

若老王原来的口袋里没有钱，请问原来这张支票的金
额是多少？
【答案】2548元
【分析】设原支票的面额是元，其中a、b、c、d均为0~9的数字，并且ab≠0，A是整数。

于是根据题意得：－152＝2×，展开变形得到：＋152＝－。

即
＋152＝100（－）。

因为等式右边是100的倍数，要使等式成立，必定有＝48，于是＋2＝9（b－a），因为此式右边大小不会超过100，所A＝0，所以化简得19a＝8b－2。

于是a是偶数，并且
19a≤8×9－2＝70，于是a＝2，于是b＝5。

于是原支票的面额是2548元。

32 已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且a2＋b＝c。

求满足所有条件的（a，b，c）。

【答案】所有满足条件的数组（a，b，c）为（88,33,7777），（33,22,1111）和（66,88,4444）。

【分析】设a＝10x＋x，b＝10y＋y，c＝1000z＋100z＋10z＋z，其中x，y，z是非零数码，则由a2＋b＝c，可得整数方程：
121x2＋11y＝1111z，即11x2＋y＝101z，即2z－y＝11x2－99z＝11（x2－9z）.
因为x，y，z是非零数码
12z－y＝11，x2－9z＝1，由x，y，z是非零数码之条件，解出z＝7，x＝8，y＝3；
22z－y＝0，x2－9z＝0，由x，y，z是非零数码之条件，解出z＝1或4，x相应为3、6，y相应为2或8.
故所有满足条件的数组（a，b，c）为（88,33,7777），（33,22,1111）和（66,88,4444）。