安徽高三高中数学期末考试带答案解析

安徽高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知复数满足（其中为虚数单位），则=（）
A．B．
C．D．5
2.在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件
3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．
C．D．
4.公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于（）A．18B．24
C．60D．90
5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．4B．
C．D．8
6.已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）
A．B．
C．D．
7.设满足约束条件，若的最小值为，则的值为（）
A．1B．2
C．3D．4
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记
，则（）
A．B．
C．D．
9.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则
（）
A．4B．
C．D．0
10.用6种颜色给右图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（）种
A．4080B．3360
C．1920D．720
11.设当时，函数取得最大值，则=（）
A．B．
C．D．
12.已知正方体，则下列说法不正确的是（）
A．若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
B．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线
C．若点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变
D．若点在直线上运动时，二面角的大小不变
二、填空题
1.设是周期为的偶函数，当时, ,则 .
2.展开式中的常数项为 .
3.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点.如果的斜率与的斜率的乘积为，则的大小等
于 .
4.用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列满足，，则
_____________.
三、解答题
1.已知函数为奇
函数，且相邻两对称轴间的距离为.
（Ⅰ）当时，求的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得到函数的图象.当时，求函数的值域.
2.在中，角所对的边为，且满足.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
3.已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.
4.已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
5.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求a的取值范围.(其中，e=2.718…为自然对数的底数).
6.选修4—4：极坐标与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相
同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.
（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.
7.选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.
安徽高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知复数满足（其中为虚数单位），则=（）
A．B．
C．D．5
【答案】C
【解析】,所以，故选C.
【考点】复数的运算.
2.在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（）
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由正弦定理可知,所以是的充分必要条件，故选A.
【考点】充要条件的判断.
3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】椭圆的焦点坐标为，所以，所以双曲线方程为，渐近线
方程为.
【考点】双曲线的简单几何性质.
4.公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于（）
A．18B．24
C．60D．90
【答案】C
【解析】由题意可知，整理得，因为，所以，所以
，故选C.
【考点】等差数列的通项公式与前项和公式.
5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．4B．
C．D．8
【答案】D
【解析】根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为的长方体，被一个平面截去一部分剩余的，如图所示，所以该几何体的体积为，故选D.
【考点】三视图与几何体的体积.
6.已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】运行程序可知：，是，是；，是，是；，
是，否；，是，否；，是，是；所以该程序的运行周期为，当运行
个周期后重复上面的运算得到，是，否；此时不满足，推出程序，此时输出的,故选A.
【考点】程序框图中的循环结构.
7.设满足约束条件，若的最小值为，则的值为（）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】A
【解析】因为，而表示可行域内点与点连线的斜率，由选项可知，作出可行域，如下图，由图可知的最小值为，即，
所以，故选A.
【考点】简单得线性规划.
【方法点睛】本题主要考查了简单得线性规划，属于中档题.本题解答的关键是通过分离常数把分式型目标函数化成，从而找到目标函数的几何意义——可行域内点与点连线的斜率，结合图形找出最值点，在高考中对分式结构的处理方式一般是分离变形，找出其意义.
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记
，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，则，所以在上单调递减，又
，所以，故选A.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
9.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则
（）
A．4B．
C．D．0
【答案】A
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，,,当时，
，所以当时，同
样可得，故选A.
【考点】平面向量的数量积运算.
10.用6种颜色给右图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不
同的染色方法共有（）种
A．4080B．3360
C．1920D．720
【答案】A
【解析】四面体的对棱可涂同一种颜色，也可以涂不同的颜色，按照相对棱颜色相同的对数分类：①若所有相对的棱都涂同一种颜色，一共需要三种颜色，不同的涂色方案共有种；②若相对的棱中有对涂同一种颜色，
一共需要四种颜色，不同的涂色方案共有种；③若相对的棱中有对涂同一种颜色，一共需要五种颜色，不同的涂色方案共有种；④若所有相对的棱都涂不同颜色，一共需要六种颜色，不同的涂色方案
共有种，所以共有种不同的涂色方案，故选A.
【考点】排列、组合与基本的计数原理.
11.设当时，函数取得最大值，则=（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，其中，因为
当时，函数取得最大值，所以，即，又，联立方程组可得，故选C.
【考点】两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式.
【方法点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式，属于中档题.解答本题的关键
是根据辅助角公式把函数化成正弦型函数的形式，根据题意得到关系式，再结合同角三角函数的基本关系式，解方程组求得的值.
12.已知正方体，则下列说法不正确的是（）
A．若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
B．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线
C．若点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变
D．若点在直线上运动时，二面角的大小不变
【答案】C
【解析】A选项中，由正方体的性质可得：,于是平面,因此直线上的点到平面的
距离不变，点在直线上运动时，的面积不变，因此三棱锥的体积不变；B选项中，设正方
体的棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，由可得
，整理可得，所以点的轨迹是过点的直线，故B正确；当点在直线上运动时，由A可知：直线上的点到平面的距离不变，而的大小在改变，因此直线与平面所成角的大小会随点的移动而变化，故C错误；D选项中，当点在直线上运动时，由A可知：直
线上的点到平面的距离不变，到的距离不变，因此二面角的大小不变，故D正确，
故选C.
【考点】空间直线与平面的平行关系，线面角及二面角及几何体的体积.
【方法点睛】本题主要考查了空间直线与平面的平行关系，线面角及二面角及几何体的体积，考查了考生的空间想象能力、推理能力，属于难题.本题解答的关键是发现平面，从而点在直线上运动时，直线
上的点到平面的距离不变，这样就容易判断A,C,D三个命题的真假，对于B命题可通过建立空间直角坐标，利用向量求解点的轨迹方程，从而判断其真假.
二、填空题
1.设是周期为的偶函数，当时, ,则 .
【答案】
【解析】因为是周期为的偶函数，所以
【考点】函数的奇偶性与周期性.
2.展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】因为，所以展开式的通项公式为
，令可得，所以展开式中的常数项为.
【考点】二项式定理.
3.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点.如果的斜率与的斜率的乘积为，则的大小等
于 .
【答案】
【解析】设直线的方程为，由可得，由韦达定理可得，，所以
，即，又，解方程组可得
，所以.
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，最常用的技巧是设而不解，通过韦达定理进行整体代换，设出直线的方程及两点的坐标，联立方程组得到两点坐标与参数的关系，通过计算发现的斜率互为相反数是解答本题的关键.
4.用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列满足，，则
_____________.
【答案】
【解析】因为，所以，因此数列是递增数列，且，由得，所以
，所以.
【考点】数列的递推公式、数列求和.
【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式、数列求和，考查了考生的推理能力，属于中档题.解答本题的关键是根据条件进行变形，得到数列数列是递增数列，且，进一步变形得到递推公式
，从而对进行裂项相消，求出前项的和.
三、解答题
1.已知函数为奇
函数，且相邻两对称轴间的距离为.
（Ⅰ）当时，求的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）通过三角恒等变换把化成，由题意得到周期，求得，根据函数的奇偶性和的范围求出其值，得到，由得到的范围，找到单调递减区间，求出的范
围即可；（II）根据函数图象的变换法则得到，由得，求出的范围.
试题解析：（I）由题意得：，
因为相邻两对称轴间的距离为，所以，，
又因为函数为奇函数，所以，且，所以，
故函数为.
要使单调减，需满足，所以函数的减区间为.
（II）由题意可得：，
，，
，，即函数的值域为.
【考点】三角恒等变换与正弦函数的图象与性质.
2.在中，角所对的边为，且满足.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）根据条件和两角和与差的正、余弦公式可得，整理可得，求得角的值；（II）由正弦定理把用角表示，通过三角恒等变换化成正弦型函数
，结合角的范围，求得的取值范围.
试题解析：（I）由已知
得，化简得
故
（II）因为，所以，
由正弦定理，
得a=2sinA,c=2sinC，
因为，所以，
所以
【考点】正弦定理解三角形和三角函数的值域.
3.已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：.
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】（I）由等差中项可得，即，分别求出时，，验证可得；（II）把（I）的结论代入可得，采用裂项相消法即可求得
.
试题解析：（I）时，
时，，又，两式相减得
为是以1为首项，2为公差的等差数列，即
.
（II）
，
又，
综上成立.
【考点】递推公式求通项和裂项法求和.
4.已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（I）；（II）
【解析】（I）求出时，，根据直线方程的点斜式可得切线方程；（II）当时，若不等式恒成立等价于，通过讨论的范围，得到其在上的单调性，分别求出求出最小值，得
到的范围，最后取并集即得实数的取值范围.
试题解析：（I）当时，，
即曲线在处的切线的斜率为，又，
所以所求切线方程为.
（II）当时，若不等式恒成立
易知
1若，则恒成立，在R上单调递增；
又，所以当时，，符合题意.
2若，由，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以时，函数取得最小值.
则当，即时，则当时，，符合题意.
当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意.
综上，实数的取值范围是
【考点】导数的几何意义和利用导数研究函数在给定区间上的单调性、最值.
【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义和利用导数研究函数在给定区间上的单调性、最值，考查了分类讨论和转化的数学思想，属于中档题.求切线方程，通常根据导数求出切线斜率和切点坐标，结合直线方程的点斜式求解；对于不等式在某个区间上恒成立问题，通常转化为函数的最值，通过分类讨论参数与区间的关系，研究其单调性，转化为解不等式求解.
5.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当时，恒成立，求a的取值范围.(其中，e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）.
【解析】（I）求出函数的导函数，分和两种情况，判断在上的符号变化情况，
得到其单调性；（II）令，只需在上恒大于即可，又，故在处必大于等于.构造函数，由可得，对函数求导，判断其符号得其单调性，求出其值域，可得到函数单调性递增，所以.
试题解析：（I）由题意得：
当时，上单调递减.
当时，，当时，，
当时，故在上单调递减，在上单调递增.
（II）原不等式等价于在上恒成立，
一方面，令
只需在上恒大于0即可，
又，故在处必大于等于0.
令可得.
另一方面，当时，
又，，，故在时恒大于0，
当时，在单调递增.
故也在单调递增.
即在上恒大于0..
综上，.
【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立.
【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的恒成立，考查了分类讨论和转化与化归的数学思想方法，考查了考生分析问题和处理问题的能力，属于难题.解答本题时，最常见的错误是部分考生忽略了函数的定义域，应该牢固把握研究函数定义域优先的选择；解答的难点是第二问构造新函数转化后，导函数的零点不能直接求出，再次构造新函数，二次求导判断导函数的符号，充分体现了导数在研究函数单调性中的工具作用.
6.选修4—4：极坐标与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.
（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.
【答案】（I）；（II）
【解析】（I）通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数，得到曲线的直角坐标方程，在根据化简可得曲线在极坐标系中的方程；（II）利用普通方程求出交点坐标，得到弦长.
试题解析：（I）曲线的普通方程为，
即，将代入方程化简得.
所以，曲线的极坐标方程是.
（II）直线的直角坐标方程为，
由得直线与曲线C的交点坐标为，
所以弦长.
【考点】参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用.
7.选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）分，，三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II）移项可得，根据绝对值的几何意义，求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 试题解析：(I)①当时，，所以
②当时，，所以为
③当时，，所以
综合①②③不等式的解集
(II)即
由绝对值的几何意义，只需
【考点】绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.。