2017届高三数学文二轮复习教师用书：大题练规范 六函

(六)函数、导数与不等式专练
1．设函数f (x )＝1
x ＋2ln x .
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝
2x －1
x 2
， 所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >1
2
时，f ′(x )>0，
故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1
x 2，
令h (x )＝2ln x x ＋1
x 2(x ≥1)，
则h ′(x )＝
2－2ln x x 2－2x 3＝2（x －x ln x －1）
x 3
， 令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，
当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，
所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1， 即a 的取值范围是[1，＋∞)．
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2
，x <1，
a ln x ，x ≥1.
(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2
3
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↘
所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝2
3
.
(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝⎛⎭⎫23，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，2
3上单调递增．
因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝4
27，f (0)＝0， 所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；
当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .
所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.
3．已知函数f (x )＝a ＋ln x x 的图象在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．
(1)求实数a 的值及f (x )的极值； (2)若对任意x 1，x 2∈[e 2，＋∞)，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>k x 1·x 2
，求实数k 的取值范围．
解：(1)由题意得f ′(x )＝
1－a －ln x x 2
，f ′(1)＝0，解得a ＝1.令f ′(x )＝－ln x
x
2＝0，解得x ＝1， 即f (x )有极大值为f (1)＝1. (2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>k x 1·x 2
， 可得⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－
1x 2>k ， 令g ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )，则g (x )＝x －x ln x ，其中x ∈(0，e －2]，g ′(x )＝－ln x ，又x ∈(0，e －2
]，则g ′(x )＝－ln x ≥2，
即⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
f （x 1）－f （x 2）1x 1－
1x 2>2， 因此实数k 的取值范围是(－∞，2]． 4．设函数f (x )＝ln x ＋m
x
，m ∈R .
(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x
3
零点的个数．
解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e
x ，则f ′(x )＝x －e x
2，
∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e
e ＝2，
∴f (x )的极小值为2.
(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x
3(x >0)，
令g (x )＝0，得m ＝－1
3
x 3＋x (x >0)．
设φ(x )＝－1
3x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，
当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．
∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝2
3 .
结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，
①当m >2
3
时，函数g (x )无零点；
②当m ＝2
3时，函数g (x )有且只有一个零点；
③当0<m <2
3时，函数g (x )有两个零点；
④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．
综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝2
3或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零
点；当0<m <2
3
时，函数g (x )有两个零点．。