成人高考数学公式大全

数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈⇔∉,
U x C A x A
∈⇔∉.
2.德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B
==.
A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R
⇔=
()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C
A card A
B
C ---+.
5．集合
12{,,,}
n a a a 的子集个数共有2n
个；真子集有2n
–1个；非空子集有2n
–1个；非空的
真子集有2n
–2个.
(1)一般式
2
()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式
2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式
12()()()(0)
f x a x x x x a =--≠.
()N f x M <<常有以下转化形式
()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<
⇔|()|22M N M N f x +--<
⇔()0()f x N M f x ->-
⇔11
()f x N M N >
--.
0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分
条件.特别地, 方程
)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且
22211k k a b k +<-
<,或0)(2=k f 且2
2122k a b
k k <-<+.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在
a b
x 2-
=处及区间的两端点处
取得，具体如下：
(1)当a>0时，若
[]q p a b
x ,2∈-
=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=；
[]q p a b
x ,2∉-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}
min min ()(),()f x f p f q =.
(2)当a<0时，若
[]q p a b x ,2∈-
=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b
x ,2∉-=，则
{}
max ()max (),()f x f p f q =，
{}
min ()min (),()f x f p f q =.
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或240
2p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2
()0
()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨
>⎩
或()0
()0f n af m =⎧⎨
>⎩；
（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .
(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式
(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.
(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是
(,)0()
man f x t x L ≤∉.
(3)0)(2
4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0
00a b c ≥⎧⎪
≥⎨⎪>⎩或20
40a b ac <⎧⎨-<⎩.
12.
逆 逆
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]
b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]
b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为
减函数.
)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和
)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. )(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数
2b
a x +=
;两个函数
)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线
2b
a x +=
对称.
)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)
0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)
(x f y =为周期为a 2的周期函数.
22．多项式函数
110
()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-
(2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线
2a b
x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=-
()()f a b mx f mx ⇔+-=.
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m +=
对称.
(3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图
象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =⇔=-)()(1.
)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为]
)([1
1b x f k y -=-,并不是)([1
b kx f y +=-,而函数
)([1
b kx f
y +=-是]
)([1
b x f k y -=的反函数.
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x
f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数
()log a f x x =,()()(),()1(0,1)
f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α=,
'
()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
()
(0)1,lim
1x g x f x →==.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，
或
)0)(()(1
)(≠=
+x f x f a x f ， 或
1
()()f x a f x +=-
(()0)f x ≠,
或[]1(),(()0,1)
2
f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；
(3)
)
0)(()(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4)
)
()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=
+且
1212()1(()()1,0||2)
f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；
(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂
(1)
m n
a =
（0,,a m n N *
>∈，且1n >）. (2)
1
m
n
m n
a a -=
（0,,a m n N *
>∈，且1n >）.
31．根式的性质
（1
）
n a =. （2）当n
a =；
当n
为偶数时，
,0
||,0a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩. 32．有理指数幂的运算性质
(1)
(0,,)r s r s
a a a a r s Q +⋅=>∈. (2)
()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)
()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈. 注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
34.对数的换底公式
log log log m a m N
N a =
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论
log log m n a a n
b b m =
(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).
35．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)
log ()log log a a a MN M N
=+;
(2) log log log a
a a M
M N N =-;
(3)
log log ()
n a a M n M n R =∈.
)
0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)
(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若0a >,0b >,0x >,
1
x a ≠
,则函数log ()ax y bx =
(1)当a b >时,在1(0,)a 和1
(,)a +∞上log ()
ax y bx =为增函数. ， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1
(,)a +∞上log ()
ax y bx =为减函数.
推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）
log ()log m p m n p n
++<.
（2）
2
log log log 2a a a m n m n +<.
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x
y N p =+.
11,
1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨
-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n
s a a a =++
+).
*11(1)()
n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
其前n 项和公式为
1()2n n n a a s +=
1(1)
2n n na d -=+
211()22d n a d n =
+-.
1*11()n n
n a a a q q n N q -==
⋅∈；
其前n 项的和公式为
11
(1)
,11,1n n a q q s q
na q ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
或
11
,11,1n n a a q
q q
s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为
1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d
q q -+-=⎧⎪
=+--⎨≠⎪-⎩
；
其前n 项和公式为
(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d
b n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款
(1)(1)1n
n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式
（1）若
(0,)
2x π
∈，则sin tan x x x <<. (2) 若
(0,)
2x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθ
cos sin ，tan 1cot θθ⋅=.
46.正弦、余弦的诱导公式
21
2(1)sin ,sin()2(1)s ,
n
n n co απαα-⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
21
2(1)s ,s()2(1)sin ,
n
n co n co απαα+⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=
.
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ
+-=-.
sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,
tan
b a ϕ=
).
48.二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
22tan tan 21tan ααα=
-.
49. 三倍角公式
3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()
33ππ
θθθθθθ=-=-+. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33
ππ
θθθθθθ=-=-+.
32
3tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππ
θθθθθ-==-+-.
50.三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期
2T π
ω=
；函数tan()y x ωϕ=+，
,2
x k k Z
π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期
T π
ω=
.
2sin sin sin a b c
R A B C ===.
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.
（1）
111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）
111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B =
==.
(3)
OAB S ∆=
54.三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
222C A B π+⇔
=-222()C A B π⇔=-+.
55. 简单的三角方程的通解
sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.
tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.
特别地,有
sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.
s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.
tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈.
cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.
tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z
π
ππ>∈⇒∈++∈. tan ()(,arctan ),2
x a a R x k k a k Z
π
ππ<∈⇒∈-
+∈.
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b=
λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）;
(3)（a+b ）·c= a ·c +b ·c.
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a=
11(,)
x y ,b=
22(,)
x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)
12210
x y x y ⇔-=.
53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a||b|cos θ．
61. a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． (1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)
x x y y ++.
(2)设a=
11(,)
x y ,b=
22(,)
x y ，则a-b=
1212(,)
x x y y --.
(3)设A
11(,)x y ，B
22(,)
x y ,则
2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.
(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a=11(,)
x y ,b=
22(,)
x y ，则a ·b=
1212()
x x y y +.
cos θ=
(a=
11(,)
x y ,b=
22(,)
x y ).
,A B d =
||AB AB AB =⋅
=11(,)
x y ，B
22(,)
x y ).
65.向量的平行与垂直 设a=
11(,)
x y ,b=
22(,)
x y ，且b ≠0，则
A||b ⇔b=λa
12210
x y x y ⇔-=.
a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=0
12120
x x y y ⇔+=.
66.线段的定比分公式 设
111(,)
P x y ，
222(,)
P x y ，(,)P x y 是线段
12
P P 的分点,λ是实数，且
12PP PP λ=，则
1212
11x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩⇔1
2
1OP OP OP λλ+=+
⇔12(1)OP tOP t OP =+-（
1
1t λ=
+）.
67.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为
11A(x ,y )
、
22B(x ,y )
、
33C(x ,y )
,则△ABC 的重心的坐标是
123123
(
,)33x x x y y y G ++++.
68.点的平移公式
''
''
x x h x x h
y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ .
注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'
F 上的对应点为'''
(,)P x y ，且'
PP 的坐标为(,)h k .
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'
C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'
C 的方程为(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心2
2
2
OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.
（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.
（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒22
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +
∈⇒2a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（3）
3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式
22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈
（5）b
a b a b a +≤+≤-.
已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值
p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s
.
推广 已知R y x ∈,，则有
xy y x y x 2)()(2
2+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.
（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.
20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；
如果a 与2
ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212()()0()
x x x x x x x x x <<⇔--<<；
121212,()()0()
x x x x x x x x x x <>⇔--><或.
74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
2
2x a x a a x a
<⇔<⇔-<<.
22x a x a x a
>⇔>⇔>或x a <-.
（1
）
()0()0
()()f x g x f x g x ≥⎧⎪
>⇔≥⎨⎪>⎩ .
（2
）
2()0
()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪
>⇔≥⎨⎨
<⎩⎪>⎩或. （3
）
2()0()()0
()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪
<⇔>⎨⎪<⎩.
76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;
()0log ()log ()()0
()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪>⎩
.
(2)当01a <<时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;
()0log ()log ()()0
()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪<⎩
77.斜率公式
2121
y y k x x -=
-（
111(,)
P x y 、
222(,)
P x y ）.
78.直线的五种方程 （1）点斜式
11()
y y k x x -=- (直线l 过点
111(,)
P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121y y x x y y x x --=
--(
12y y ≠)(
111(,)
P x y 、
222(,)
P x y (
12
x x ≠)).
(4)截距式 1
x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111
:l y k x b =+，
222
:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠;
②
12121
l l k k ⊥⇔=-.
(2)若
1111:0l A x B y C ++=,
2222:0
l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①111
12222||A B C l l A B C ⇔
=≠
；
②
1212120
l l A A B B ⊥⇔+=；
80.夹角公式
(1)21
21tan |
|
1k k k k α-=+.
(
111:l y k x b =+，
222:l y k x b =+,
121
k k ≠-)
(2)1221
1212tan |
|
A B A B A A B B α-=+.
(
1111:0l A x B y C ++=,
2222:0l A x B y C ++=,
12120
A A
B B +≠).
直线12
l l ⊥时，直线l1与l2的夹角是2π
.
81.
1
l 到2l
的角公式
(1)21
21
tan 1k k k k α-=
+.
(
111:l y k x b =+，
222:l y k x b =+,
121
k k ≠-)
(2)12211212
tan A B A B A A B B α-=
+.
(
1111:0l A x B y C ++=,
2222:0l A x B y C ++=,
12120
A A
B B +≠).
直线12
l l ⊥时，直线l1到l2的角是2π
.
82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)
P x y 的直线系方程为
00()
y y k x x -=-(除直线
x x =),其中k 是待
定的系数; 经过定点
000(,)
P x y 的直线系方程为
00()()0
A x x
B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
1111:0l A x B y C ++=,
2222:0
l A x B y C ++=的交点的直线系方程为
111222()()0
A x
B y
C A x B y C λ+++++=(除2l
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线
0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
83.点到直线的距离
d =
(点
00(,)
P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：
若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85.
111222()()0
A x
B y
C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域
设曲线
111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（
12120
A A
B B ≠），则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0
A x
B y
C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 222
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程
220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨
=+⎩
.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0
x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是
11(,)
A x y 、
22(,)
B x y ).
87. 圆系方程 (1)过点
11(,)A x y ,
22(,)
B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=
1212()()()()()0
x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是
待定的系数．
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :22
0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是
22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．
(3) 过圆
1C :
221110
x y D x E y F ++++=与圆
2C :
222220
x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是
2222111222()0
x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．
点00(,)
P x y 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若
d =
d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .
其中
2
2B A C Bb Aa d +++=
.
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
d
O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;
条公切线
内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线
内含⇔⇔-<<210r r d .
(1)已知圆
220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点
00(,)
x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()
022D x x E y y x x y y F ++++
++=.
当
00(,)
x y 圆外时,
0000()()
022D x x E y y x x y y F ++++
++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()
y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不
要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆222
x y r +=．
①过圆上的
000(,)
P x y 点的切线方程为
2
00x x y y r +=;
②斜率为k
的圆的切线方程为y kx =±.
22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩
. 22
221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)
(2
2x c a e PF -=.
94．椭圆的的内外部
（1）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部22
00221x y a b ⇔+>.
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y
a b +=. （2）过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y
a b +=.
（3）椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=. 22
221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2
2|()|
a PF e x c =-.
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22
00221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22
00221x y a b ⇔-<.
(1）若双曲线方程为12
222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2
2
22
b y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，
焦点在y 轴上）.
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y
a b -=.
（3）双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.
100. 抛物线
px y 22
=的焦半径公式 抛物线2
2(0)y px p =>焦半径
02p
CF x =+
.
过焦点弦长
p x x p
x p x CD ++=+++
=212122.
px y 22=上的动点可设为P ),2(2
y p y 或或)2,2(2
pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.
22
24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2
4(,)
24b ac b a a --；（2）
焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是241
4ac b y a --=
.
(1)点00(,)
P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部
22(0)y px p ⇔<>. 点
00(,)
P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)
P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部
2
2(0)y px p ⇔<->. 点
00(,)
P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部
22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)
P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部2
2(0)x py p ⇔<>.
点
00(,)
P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部
22(0)x py p ⇔>>. (4) 点
00(,)
P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部
2
2(0)x py p ⇔<>.
点
00(,)
P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部
22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线
px y 22
=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线
px y 22
=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是
22pB AC =. (1)过曲线
1(,)0f x y =,
2(,)0
f x y =的交点的曲线系方程是
12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22
221x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当
22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当
2222
min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
1212||||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，
由方程⎩
⎨
⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.
（1）曲线(,)0F x y =关于点
00(,)
P x y 成中心对称的曲线是
00(2-,2)0
F x x y y -=.
（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是
22222()2()
(,)0
A Ax By C
B Ax By
C F x y A B A B ++++-
-=++.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线2
2
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2
y ，用00
2x y xy +代
xy ，用02x x +代x ，用02y y
+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y y
Ax x B Cy y D E F ++++⋅
++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方
程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
(1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．
(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．
P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.
||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.
118.共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．
推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.
O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空
间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．
C A B 、、、
D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔
(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．
推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使
OP xOA yOB zOC =++.
已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'
B ，则
''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e
设a ＝
123(,,)
a a a ，
b ＝
123(,,)
b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)
a b a b a b ---；
(3)λa ＝
123(,,)
a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·
b ＝
112233
a b a b a b ++；
111(,,)x y z ，B
222(,,)
x y z ，则
AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.
124．空间的线线平行或垂直 设
111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则
a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪
=⎨⎪
=⎩；
a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.
125.夹角公式 设a ＝
123(,,)
a a a ，
b ＝
123(,,)
b b b ，则
cos 〈a ，b 〉
.
推论
222222
2112233123123()()()
a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则
2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BD θ+-+=
⋅.
127．异面直线所成角
cos |cos ,|
a b θ=
=
21||
||||
a b a b x ⋅=
⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,
所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） AB 与平面所成角
sin
||||AB m
arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).
ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则
2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ
+=+.
特别地,当90ACB ∠=时,有
22212sin sin sin θθθ
+=.
ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、
2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则
222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ
+=+.
特别地,当90AOB ∠=时,有
22212sin sin sin θθθ
+=.
l αβ--的平面角
cos
||||m n arc m n θ⋅=或cos
||||m n
arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.
设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1
θ，AB 与AC 所成的
角为
2
θ，AO 与AC 所成的角为θ．则
12
cos cos cos θθθ=.
133. 三射线定理
若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,
2
θ,与二面角的棱所成的角是
θ，则有
22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ
=+- ;
1212||180()
θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若A
111(,,)
x y z ，B
222(,,)
x y z ，则
,A B d
=||AB AB AB =
⋅=.
Q 到直线l 距离
h =
(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).
136.异面直线间的距离
||
||CD n d n ⋅=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).
B 到平面α的距离 ||
||AB n d n ⋅=
（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.
138.异面直线上两点距离公式
d =',d EA AF
=
d ='E AA F ϕ=--）.
(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'
AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，
'A E m =,AF n =,EF d =).
2
2
2
2
()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅
222
2||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a
=+++⋅+⋅+⋅
140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123
l l l 、、，夹角分别为
123θθθ、、,
则有
2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2
θθθ⇔++=.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理
'
cos S S θ=
.
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'
S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧
和
V 斜棱柱
,它的直截面的周长和面积分别是
1
c 和
1
S ,
则 ①1S c l =斜棱柱侧.
②
1V S l
=斜棱柱.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).
（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：
12E nF =
；
（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：1
2E mV =
.
146.球的半径是R ，则
其体积3
4
3V R π=,
其表面积2
4S R π=．
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a
的正四面体的内切球的半径为,
外接球的半径为a
.
148．柱体、锥体的体积
13V Sh
=柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh
=锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
149.分类计数原理（加法原理）
12n
N m m m =+++.
150.分步计数原理（乘法原理）
12n
N m m m =⨯⨯
⨯.
151.排列数公式
m n A =)1()1(+--m n n n =！！
)(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．
注:规定1!0=. 152.排列恒等式
(1）1(1)m m n n
A n m A -=-+;
（2）1
m m
n n n A A n m -=
-;
（3）1
1
m m n n A nA --=;
（4）11n n n n n n
nA A A ++=-; （5）
11m m m n n n
A A mA -+=+.
(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.
153.组合数公式
m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤).
(1)
m n C =m
n n
C - ; (2)
m n C +
1-m n C =
m n C 1
+.
注:规定1
=n C .
（1）
1
1m m n n
n m C C m --+=
; （2）
1
m m
n n n C C n m -=
-; （3）
1
1m m n n n C C m --=
;
（4）∑=n
r r n
C
0=n
2;
（5）11
21++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n
n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .
(7)
14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .
(8)1
321232-=++++n n n n n n n nC C C C .
(9)r n
m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 .
(10)n n
n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .
m m n n
A m C =⋅！ .
157．单条件排列
以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有1
1
--m n A 种；②某（特）元不在某位有
1
1
---m n m n A A （补集思想）
1
1
11---=m n n A A （着眼
位置）
1
1
111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k
m k n k k A
A --种.
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k
k k n k n A
A 1
1+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有
k
h h h A A 1
+种.
（3）两组元素各相同的插空
m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n n
m C A A 11
++=种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n
n
m C +.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有
m n
n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!
(22=
⋅⋅⋅⋅⋅=-- .
（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有
m n n
n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=
⋅⋅⋅⋅=--.
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)
12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别
得到
1
n ，
2
n ，…，
m
n 件，且
1
n ，
2
n ，…，
m
n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有
!
!...!!
!! (212)
11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =
⋅⋅=-.
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)
12m P(P=n +n +
+n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，
分别得到
1
n ，
2
n ，…，
m
n 件，且
1n ，
2
n ，…，
m
n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方
法数有
!...
!!!
...2
11c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=
-
12!!
!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =
.
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的
)
12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的
1
n ，
2
n ，…，
m
n 件无记
号的m 堆，且
1
n ，
2
n ，…，
m
n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有
!
!...!!21m n n n p N =
. （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)
12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的
1
n ，
2n ，…，
m
n 件
无记号的m 堆，且
1
n ，
2
n ，…，
m
n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有
!...)
!!(!!...!!
21c b a n n n p N m =
.
（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （
2m p n n n =1++
+）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，
物体必须被分完，如果指定甲得
1
n 件，乙得
2
n 件，丙得3
n 件，…时，则无论
1
n ，
2
n ，…，
m
n 等m 个数
是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
!
!...!!
(212)
11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =
⋅=-.
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为
111
1()![
(1)]2!3!4!
!n
f n n n =-+-+-.
推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为
1234
(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!
(1)()!(1)()!
m m m m p p
m m
m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--
+--++--
1234
1224![1(1)(1)]
p m p
m
m m m m
m
m
p m n n n n n
n C C C C C C n A A A A A A =-+-+-
+-+
+-.
160．不定方程
2n x x x m
=1+++的解的个数。