广西省北海市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

广西省北海市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知单位向量a r ，b r 的夹角为34
π
，若向量2m a =u r r ，4n a b λ=-r r r ，且m n ⊥u r r ，则n =r （ ）
A ．2
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
根据m n ⊥u r r
列方程，由此求得λ的值，进而求得n r .
【详解】
由于m n ⊥u r r
，所以0m n ⋅=u r r ，即
()
23
248282cos 804
a a
b a a b πλλλ⋅-=-⋅=-⋅==r r r r r r ，
解得
λ==-
所以4n a =+r r
所以
4n ====
=r .
故选：C 【点睛】
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 2．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件
【答案】B 【解析】 【分析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】
由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<，
因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<， 所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
3．8
x
⎛- ⎝
的二项展开式中，2
x 的系数是（ ） A ．70 B ．-70 C ．28 D ．-28
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882
18
8((1)r r r
r r r
r T C x
C x --+==-，令38242r r -=⇒=，
所以2x 的系数是44
8(1)70C -=，故选A ．
考点：二项式定理的应用．
4．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.
【详解】
因为直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
5．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】 【分析】
设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】
设数列的公差为,0d d ≠，
125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.
125,,a a a Q 成等比数列，()()2
1114a d a a d ∴+=+②，
解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
6．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F
C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A
B
．
C
．D
．【答案】C 【解析】 【分析】
联立方程解得M(3
，，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】
依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y
－1)
．由2
14y y x
⎧=-⎪
⎨
=⎪⎩得x ＝13或x ＝3. 由M 在x 轴的上方得M(3
，，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形 点M 到直线NF
的距离为4=故选：C. 【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02
x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨
<<⎩，且对任意x ∈R ，都有
()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．2log 3
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】
由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，
∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.
故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.
8．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个
C ．4个
D ．7个
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 9．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】
由“l 22og log a b <”，得2211
log log
a b
<，
得22
log 0
log 0a b <⎧⎨
>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞，
即011a b <<⎧⎨>⎩
或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，
由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，
故“22
log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选C ． 【点睛】
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 10．已知
1111
143579
π≈-+-+-L ，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入
A ．1
21
i n =-
- B ．12
i i =-
+ C ．(1)21
n
i n -=+
D ．(1)2
n
i i -=+
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由于1111
13579
-+-+-L 中正项与负项交替出现，根据S S i =+可排除选项A 、B ；执行第一次循环：
011S =+=，①若图中空白框中填入(1)21
n i n -=
+，则13i =-，②若图中空白框中填入(1)2n
i i -=+，则13i =-，此时20n >不成立，2n =；执行第二次循环：由①②均可得113S =-，③若图中空白框中填入(1)21n
i n -=+，
则15i =，④若图中空白框中填入(1)2n
i i -=+，则35i =，此时20n >不成立，3n =；执行第三次循环：由
③可得11135S =-+，符合题意，由④可得13135S =-+，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21
n
i n -=+，
故选C ．
11．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B
【解析】试题分析：由集合A 中的函数
，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到
，∴集合
，则
，故选B ．
考点：交集及其运算．
12．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；
（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；
（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：对于（1），当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的右上方时，E 到平面BCD 的距离最大，当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的左下方时，E 到平面BCD 的距离最小，
∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；
对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；
对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，
直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），
∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；
对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，
因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．
故选：C．
点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．将底面直径为43__________.
3π
【解析】
【分析】
由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r 3
2
3
r
=，将侧
面积表示成关于r的函数，再利用一元二次函数的性质求最值. 【详解】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r 3
2 3
h r -
=，
所以
3
3
h=.
∴2
22(1)1
S rh r r
ππ
⎫
⎡⎤
===--+≤
⎪⎣⎦
⎭
侧
，
当1
r=时，S侧
.
.
【点睛】
本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.
14．已知数列{}n a是等比数列，13
1,36
a a
==，则
2
a=__________.
【答案】6
±
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式，首先求得q，然后求得2a.
【详解】
设{}n a的公比为q，由13
1,36
a a
==，得236,6
q q
==±，故
2
6
a=±.
故答案为：6
±
【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
15．已知,x y满足
1
4
x
x y
ax by c
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪++≤
⎩
且目标函数2
z x y
=+的最大值为7，最小值为1，则
a b c
a
++
=___________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2
z x y
=+表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．
【详解】
由题意得：目标函数2
z x y
=+在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，
∴()
A11
-
，，()
31
B，，
∴直线AB的方程是：20
x y
--=，
∴则
2a b c
a
++=-，故答案为2-.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．
16．设复数z 满足(1i)42i +=-z ，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则z =____________． 【答案】13i + 【解析】 【分析】 【详解】 由于42i (42i)(1i)
13i 1i 2
---=
==-+z ，则13i =+z ． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC ===
==⊥
（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210
【解析】 【分析】
（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==u r u u u r
为平面PAB 的一个法向量，平面PAC
的一个法向量为2,2,1)n =r
，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PA
PB PO AB ∴⊥Q ＝，22AB AC ==，
3PB
AP ==Q ，2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，
PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .
（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),(0,0,2),(0,1,0)A P C ，
可取(0,1,0)m OC ==u r u u u r
为平面PAB 的一个法向量. 设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =r
.
则0,0PA n AC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC =-=-u u u r u u u r
，
120,10.n m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩2,.
n l m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，不妨取2l =，则(2,2,1)n =r . cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=u r r
u r r u r r 22222202120110010221
⨯+⨯+⨯==++⋅++. C PA B --Q 为锐二面角，∴二面角C PA B --的余弦值为
10
5
.
【点睛】
本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18．设数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，
且对任意n *∈N ，都有2
2n n n a S a =-，1b e =，21n n b b +=，ln n n n c a b =⋅（e 是自然对数的底数）.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）n a n =，1
2n n b e -=（2）(1)21n
n T n =-⋅+
【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时,21112n n n a S a ---=-,与22n n n a S a =-作差可得11(2)n n a a n --=≥,即可得到数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n n b b +=取自然对数,则1ln 2ln n n b b +=,即{}ln n b 是以1为首项,
以2为公比的等比数列,即可求解；
（2）由（1）可得1
ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.
【详解】
解:（1）因为0n a >,2
2n n n a S a =-,①
当1n =时,2
1112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有2
1112n n n a S a ---=-,②
由①-②得,()()2
2
11112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,
又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,
即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,
又因为2
1n n b b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以
1
ln 2ln n n
b b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,
所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以1
ln 2n n b -=,即1
2n n b e -=
（2）由（1）知,1
ln 2n n n n c a b n -==⋅,
所以1221
112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③
123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④
③减去④得:2112222n n
n T n --=++++-⨯L
()()121221212121
n n n n n n n n -=
-⨯=--⨯=---,
所以(1)21n
n T n =-⋅+
【点睛】
本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和. 19．记函数1
()212
f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9
ab bc ca a b c
++≥++.
【答案】（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】
解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭
，
当1122x -
<≤，1()12f x f ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
， 当12x >时，1()12f x f ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
，
所以min ()1m f x ==
解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
如图
当1
2
x =
时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =+
+-+-111
222
x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
112
x =+-
≥ 当且仅当1102210
2x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎪-=⎪⎩
即12x =时，等号成立.
当1
2
x =
时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111
ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭， 因为331111()339a b c abc c a b abc ⎛⎫
++++≥=
⎪⎝⎭
成立， 所以原不等式成立.
解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以322230ab bc ca a b c ++≥>，
330a b c abc ++≥>，
又因为1abc =，
所以32223()()339a b c ab bc ac abc a b c ++++≥=，
()()9ab bc ac a b c ++++≥
所以9
ab bc ca a b c
++≥
++，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=
++，
因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭，
由柯西不等式得：2
111()9a b c
a b c ⎛⎫
++++≥= ⎪⎝⎭成立，
所以原不等式成立. 【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力. 20．若函数()()x
x
f x e ae
mx m R -=--∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x .
（1）求实数a 的值与实数m 的取值范围； （2）若()02
f x e
≥-
恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =， ()2,+∞；（2）12,e e ⎛⎤+ ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
（1）由奇函数可知()()0f x f x +-= 在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数a 的值；对函
数进行求导，()'()x x
g x f x e e m -==+-，通过导数求出()min (0)2g x g m ==-，若20m -≥，则
()0g x ≥恒成立不符合题意，当20m -<，可证明，此时0x x =时()f x 有极小值0()f x .
（2）可知00x x e e m -+=，进而得到()()()00
00011x
x f x x e x e
-=--+，令()()()11x
x
h x x e x e
-=--+，
通过导数可知()h x 在[)0,+∞上为单调减函数，由2
(1)h e
=-可得01x ≤，从而可求实数m 的取值范围. 【详解】
（1）由函数()f x 为奇函数，得()()0f x f x +-=在定义域上恒成立， 所以0x x x x e ae mx e ae mx ----+-+=，化简可得()(
)10x
x
a e e
--⋅+=，所以1a =.
则()x x
f x e e
mx -=--，令()'()x x
g x f x e e m -==+-，则21
'()x x
x
x
e g e e
e
x ---==. 故当0x ≥时，'()0g x ≥；当0x <时，)'(0g x <，
故()g x 在(),0-∞上递减，在()0,∞+上递增，()min (0)2g x g m ∴==- 若20m -≥，则()0g x ≥恒成立，()f x 单调递增，无极值点；
所以(0)20g m =-<，解得2m >，取ln t m =，则1
()0g t m
=
> 又函数()g x 的图象在区间[]0,t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间()0,t 上， 存在0x 为函数()g x 的零点，()0f x 为()f x 极小值，所以，m 的取值范围是()2,+∞. （2）由0x 满足00x x e e m -+=，代入()x
x
f x e e
mx -=--，消去m 可得
()()()0000011x x f x x e x e -=--+.构造函数()()()11x x h x x e x e -=--+，
所以()'()x
x
h x x e e -=-，当0x ≥时，210x
x
x
x
e e e e
---=≤，即'()0h x ≤恒成立， 故()h x 在[)0,+∞上为单调减函数，其中2(1)h e =-
.则()02
f x e
≥-可转化为()0()1h x h ≥， 故01x ≤，由00x x e e m -+=，设x x
y e e -=+，可得当0x ≥时，'0x x y e e -=-≥
则x
x
y e e -=+在(]0,1上递增，故1m e e
≤+
. 综上，m 的取值范围是12,e e ⎛⎤+ ⎥⎝
⎦. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于()f x a ≥ 恒成立的问题，常转化为求()f x 的最小值，使()min f x a ≥；对于()f x a ≤ 恒成立的问题，常转化为求()f x 的最大值，使()max f x a ≤.
21．若不等式1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，则a 的取值范围是__________. 【答案】3
4
a >- 【解析】 【分析】
原不等式等价于1142x x a ⎛⎫>-+
⎪⎝⎭在(]0,1恒成立，令12x t =，()2
f t t t =+，求出()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的最小值后可得a 的取值范围. 【详解】
因为1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，故1142x x a ⎛⎫
>-+
⎪⎝
⎭在(]0,1恒成立. 令12x
t =
，由(]0,1x ∈可得1,12t ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
令()2
f t t t =+，1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()f t 为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的增函数，故()min 34
f t =
. 故34
a >-
. 故答案为：34
a >-. 【点睛】
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.
22．记抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,D E 在抛物线C 上，且直线DE 的斜率为1，当直线DE
过点F 时，||4DE =. （1）求抛物线C 的方程；
（2）若(2,2)G ，直线DO 与EG 交于点H ，0+=u u u r u u r r
DI EI ，求直线HI 的斜率.
【答案】（1）2
2y x =（2）0 【解析】 【分析】
（1）根据题意，设直线:2
p DE y x =-
，与2:2(0)C y px p =>联立，得22
20y py p --=，再由弦长
公式，12||4=-=DE y 求解. （2）设22
1212,,,22y y D y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据直线DE 的斜率为1，则212
22121
2122
y y y y y y -==+-，得到212y y +=，再由0DI EI +=u u r u u r
，所以线段DE 中点I 的纵坐标为1I y =，然后直线DO 的方程1
2
y x y =
与直线EG 的方程22
(2)2
y x y =
-+ 联立解得交点H 的纵坐标1H y =，说明直线//HI x 轴，直线HI 的斜率为0. 【详解】 （1）依题意，,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则直线:2p DE y x =-，
联立22,
,
2y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
得22
20y py p --=；
设()()1122,,,D x y E x y ，
则
12||4DE y y =-===，
解得1p =，故抛物线C 的方程为2
2y x =. （2）22
1212,,,22y y D y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为直线DE 的斜率为1，则212
22121
2
122
y y y y y y -==+-，所以212y y +=， 因为0DI EI +=u u r u u r
，所以线段DE 中点I 的纵坐标为1I y =.
直线DO 的方程为1
21
2
y y x y =
，即1
2y x y = ① 直线EG 的方程为222
2
2(2)2
2
y y x y --=--，即22(2)2y x y =-+ ② 联立①②解得1,21.
y x y ⎧=⎪
⎨⎪=⎩即点H 的纵坐标为1H y =，即直线//HI x 轴，
故直线HI 的斜率为0.
如果直线EG 的斜率不存在，结论也显然成立， 综上所述，直线HI 的斜率为0. 【点睛】
本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
23．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为
“(),m p ﹣数列”．
（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？ （2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得
1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为
1
2
. 【答案】（1）16；（2）115. 【解析】 【分析】
(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“
1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.
(2)易得“
1,1,1﹣﹣”共有2
1m p C C 种,“1,1,1”共有3P
C 种.再根据古典概型的方法可知2133
1
2
m p p
m p
C C C C ++=
,利用组合数的计算公式可得()()
2232320p
m p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有
()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；
当2
2
32320p p mp m m +﹣
﹣﹣﹣＝时求得(
)232
m p +±
＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的
方法求解满足的正整数对即可. 【详解】
解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“
1,1,1﹣﹣”共有：2
1
3412C C ＝种, “1,1,1”共有：3
44C =种,
利用分类计数原理得：
(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,
则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．
（2）与(1)同理,“
1,1,1﹣﹣”共有21
m p C C 种, “1,1,1”共有3
P C 种,
而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3
m p C +种,
根据古典概型有：
21
33
1
2
m p p
m p
C C C C ++=
, 再根据组合数的计算公式能得到：
()()2232320p
m p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足1100
3m p m p p m ≤≤≤⎧⎪
+≥⎨⎪=⎩
,
()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,
2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,
应满足221100
3
32320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪
+≥⎨⎪--+--=⎩
,
视m 为常数,可解得()232
m p +＝
,
1,m ≥Q
5≥,
根据p m ≥可知,()232
m p ++＝
,
1m ≥Q ,
5≥,
根据p m ≥可知,()232
m p ++＝
,（否则1p m
≤﹣）,
下设k ,
则由于p 为正整数知k 必为正整数,
1100m ≤≤Q , 549k ∴≤≤,
化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()
*21,k t t N +∈＝,
则224,t ≤≤
()211246
t t k m +-∴=
＝, 由于,1t t +中必存在偶数,
∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,
2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．
检验：()()()23114850100,2
24
24
m k k p +-++=
≤＝
＝ 符合题意,
∴共有16个,
综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意．
【点睛】
本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。