仪征市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

仪征市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 奇函数f （x ）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f （6）+f （﹣3）的值为（ ） A ．10
B ．﹣10
C ．9
D ．15
2． 设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．a ＜c ＜b
3． 双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知点F 是抛物线y 2
=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5． 若，[]0,1b ∈，则不等式2
2
1a b +≤成立的概率为（ ）
A ．
16π B ．12π C ．8π D ．4
π
6． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． =0.08x+1.23 7． 已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点M （0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A ．3
B ．
C ．
D ．
8． 已知集合A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则A ∩B=B 成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{a|3≤a ≤4} B ．{a|3＜a ≤4} C ．{a|3＜a ＜4} D ．∅ 9． 已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）
A ．2x
B ．2x ln2
C ．2x +ln2
D ．
10．设数集M={x|m ≤x ≤m+}，N={x|n ﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．250
12．已知a=log 23，b=8﹣0.4，c=sin
π，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
二、填空题
13．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
14．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ． 15．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．
16．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
17．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为 （用数字作答）
18．命题p ：∀x ∈R ，函数
的否定为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0，e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的最小值；
（2）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值．
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=90°． （1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离．
21．（本小题满分12分）
已知函数2
1()cos cos 2
f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,
]2
π
上的最大值和最小值； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]
22．已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3），其中0＜a ＜1．
（1）求函数f （x ）的定义域；
（2）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．
23．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f （x ）＝2x 3－3（a +1）x 2＋6ax ，a ∈R ． （Ⅰ）曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意x ∈（0，+∞），f （x ）＋f （－x ）≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M （a ）、m （a ）， 记h （a ）＝M （a ）－m （a ），求h （a ）的最小值．
24．如图，在四边形ABCD 中,,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠=, 四 边形绕着直线AD 旋转一周.
（1）求所成的封闭几何体的表面积；
（2）求所成的封闭几何体的体积.
仪征市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由于f（x）在[3，6]上为增函数，
f（x）的最大值为f（6）=8，f（x）的最小值为f（3）=﹣1，
f（x）为奇函数，故f（﹣3）=﹣f（3）=1，∴f（6）+f（﹣3）=8+1=9．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1，
∴y=sinx在（0，90°）单调递增，
∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1，
∴a＜b＜c
故选：A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．4．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】
考点：几何概型．
6．【答案】C
【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D
由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，
故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
7．【答案】B
【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，
则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，
则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PM|≥|MF|==．
即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
8．【答案】A
【解析】解：∵A={x|a﹣1≤x≤a+2}
B={x|3＜x＜5}
∵A∩B=B
∴A⊇B
∴
解得：3≤a≤4
故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．9．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
11．【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A ．
12．【答案】B
【解析】解：1＜log 23＜2，0＜8﹣0.4=2﹣1.2
，sin π=sin π，
∴a ＞c ＞b ， 故选：B ．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】B 【
解
析
】
14．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，
∴Π8=a 1•a 2a 3•a 4•a 5a 6•a 7•a 8=（a 4•a 5）4=24
=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
15．【答案】 2x ﹣y+1=0 ．
【解析】解：由题意得，y ′=（x+e x ）′=1+e x
，
∴点A （0，1）处的切线斜率k=1+e 0
=2，
则点A （0，1）处的切线方程是y ﹣1=2x ，即2x ﹣y+1=0，
故答案为：2x ﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于
基础题．
16．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
43 符合，跳出循环．
17．【答案】 15
【解析】解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），
∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，
根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种 故答案为：15．
【点评】本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．
18．
【答案】 ∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2x 0
+sin2x 0＞3 ．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x 0∈R ，函数f
（x 0）=2cos 2
x 0+
sin2x 0＞3，
故答案为：∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2
x 0+sin2x 0＞3，
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=e x
﹣ax ﹣1（a ＞0），
∴f'（x ）=e x
﹣a ，
由f'（x ）=e x
﹣a=0得x=lna ，
由f'（x ）＞0得，x ＞lna ，此时函数单调递增， 由f'（x ）＜0得，x ＜lna ，此时函数单调递减，
即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
等价为f（x）min≥0，
由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，
设g（a）=a﹣alna﹣1，
则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，
由g'（a）=0得a=1，
由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以
．
由PC ⊥BC ，BC=1，得△PBC 的面积．
由V
A ﹣PBC =V P ﹣ABC ，
，得
，
故点A 到平面PBC 的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理
论证能力和运算能力．
21．【答案】（1）最大值为，最小值为32-；（2）14
. 【解析】
试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(2)16
f x x π
=--
再利用()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><
的性质可求在[0,]2
π
上的最值；（2）利用()0f B =,可得B ,再由余弦定理可得AC ,再据正弦定理可得sin A .1
试题解析：
（2）因为()0f B =，即sin(2)16
B π
-
= ∵(0,)B π∈，∴112(,
)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3
B π
= 又在ABC ∆中，由余弦定理得，
2221
2cos 49223732
b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC .
由正弦定理得：
sin sin b a B A =3sin sin 3
A =，所以sin 14A =.
考点：1.辅助角公式；2.()sin()(0,||)2
f x A x b π
ωϕωϕ=++><
性质；3.正余弦定理.
【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 22．【答案】
【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x ＜1，
所以函数f （x ）的定义域为（﹣3，1）．
（2）f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3）=log a （1﹣x ）（x+3）==
，
∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x+1）2
+4≤4，
∵0＜a ＜1，∴
≥log a 4，即f （x ）min =log a 4；
由log a 4=﹣4，得a ﹣4
=4，
∴a==．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．
23．【答案】（1）a ＝
12（2）（－∞，－1－1e ]．（3）827
【解析】（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a ＋1）≥
22ln x
x
． 令g （x ）＝22ln x
x ，x ＞0，则g '（x ）＝()3
212ln x x -．
令g '（x ）＝0，解得x
当x ∈（0g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0
当x ∞）时，g '（x ）＜0，所以g （x ∞）上单调递减．
所以g （x ）max ＝g （1e
， 所以－（a ＋1）≥1e ，即a ≤－1－1
e
，
所以a 的取值范围为（－∞，－1－1
e
]．
（3）因为f （x ）＝2x 3－3（a ＋1）x 2＋6ax ，
所以f ′（x ）＝6x 2－6（a ＋1）x ＋6a ＝6（x －1）（x －a ），f （1）＝3a －1，f （2）＝4． 令f ′（x ）＝0，则x ＝1或a ． f （1）＝3a －1，f （2）＝4．
②当
5
3
＜a ＜2时， 当x ∈（1，a ）时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（1，a ）上单调递减； 当x ∈（a ，2）时，f '（x ）＞0，所以f （x ）在（a ，2）上单调递增．
又因为f （1）＞f （2），所以M （a ）＝f （1）＝3a －1，m （a ）＝f （a ）＝－a 3＋3a 2， 所以h （a ）＝M （a ）－m （a ）＝3a －1－（－a 3＋3a 2）＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h ' （a ）＝3a 2－6a ＋3＝3（a －1）2≥0．
所以h （a ）在（5
3，2）上单调递增， 所以当a ∈（53，2）时，h （a ）＞h （53）＝8
27
．
③当a ≥2时，
当x ∈（1，2）时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在（1，2）上单调递减， 所以M （a ）＝f （1）＝3a －1，m （a ）＝f （2）＝4， 所以h （a ）＝M （a ）－m （a ）＝3a －1－4＝3a －5， 所以h （a ）在[2，＋∞）上的最小值为h （2）＝1． 综上，h （a ）的最小值为
8
27
． 点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.
24．【答案】（1）(8π+；（2）20
3
π． 【解析】
考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.。