微专题 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题(学生版

微专题数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题
【秒杀总结】
1.数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2.函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视
的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的
转化.
3.证明数列a n
单调性的方法：根据a n+1-a n与0的关系判断出数列的单调性(当a n
恒为正或者负
时，可以考虑利用a n+1
a n与1的大小关系判断数列单调性).
4.当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样
的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求S2021，可以令2021=n，将选项中的所有数字用n来表示，然后通过S1、S2来验证哪个选项正确.如果题目问的是S2020、S2018之类的偶数年份，最好是通过S2、S4这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1.(浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题)已知数列a n
满足
a n+1=e a n-2+1(n∈N*，e为自然对数的底数)，且对任意的M>0都存在n∈N*，使得a n-2
<M成立，则数列a n
的首项a1须满足()
A.a1≤1
B.1≤a1≤2
C.a1≤2
D.a1≥2
例2.(2023•新蔡县月考)数列{a n}满足a n+1+(-1)n+1a n=2n，则数列{a n}的前60项和等于( )
A.1830
B.1820
C.1810
D.1800
例3.(2023•江苏模拟)若单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n-6，且a2=1
2a1，则a1的取值范围
是 ．
例4.(广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题)已知S n为数列a n
的前n项和，a1=a2=1，
平面内三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足OC =a n -1+a n +1 OA +1-a n OB
，n ≥2，n ∈N *，若A ，B ，C 在同一直线上，则S 2021=___________.
例5.(江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)数列a n 中，a n =-12a n -1-3
2
n ≥2,n ∈N * ，且a =1，记数列a n 的前n 项和为S n ，若3λ⋅S n +n ≤4对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为__________.
例6.(江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n =2a n -2n +1，若对一切正整数n ，不等式2n 2-n -3<λ-2019 a n 恒成立，则满足条件的最小整数λ为______.
【过关测试】
一、单选题
1.(2023·全国·高三专题练习)设数列a n 的通项公式为a n =-1 n 2n -1 ⋅cos n π
2
+1n ∈N * ，其前n 项和为S n ，则S 120=( )A.-60
B.-120
C.180
D.240
2.(2023·山东潍坊·高三统考期末)已知定义在R 上的函数f x 满足f 0 =1，对∀x ，y ∈R ，有f xy +1 =f x f y -f y -x +2，则2023
i =11
f i f i +1
=
( )
A.
20234050
B.
20242025
C.
20234048
D.
20232024
3.(2023·全国·高三专题练习)设数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1，且2S n =a n +1-1n ∈N * .若对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n -1+a 3b n -2+⋯+a n b 1=3n -n -1成立，则满足等式b 1+b 2+b 3+⋯+b n =a n 的所有正整数n 为( )A.1或3
B.2或3
C.1或4
D.2或4
4.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测)已知数列a n 、b n ，a n +1=a n 2 ，b n +1
=b n 2
，n ∈N +
其中x 为不大于x 的最大整数.若a 1=b 1=m ，m ≤1000，m ∈N +，有且仅有4个不同的
t ，使得a t ≠b t ，则m 一共有( )个不同的取值.A.120
B.126
C.210
D.252
5.(2023·北京朝阳·高三统考期末)在数列a n 中，a 1=1,a n +1=ka 2n +1n ∈N ∗
，
若存在常数c ，对任意的n ∈N ∗，都有a n <c 成立，则正数k 的最大值为( )
A.
15
B.
14
C.
13
D.
12
6.(2023·湖南长沙·统考一模)裴波那契数列F n ，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列F n 满足F 1=F 2=1，且F n +2=F n +1+F n n ∈N * ．卢卡斯数列L n 是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即L 1=1，且L n +1=F n +F n +2n ∈N * ，则F 2023=( )A.
13L 2022+1
6
L 2024 B.
13L 2022+1
7
L 2024 C.
15L 2022+1
5
L 2024 D.-15L 2022+2
5
L 20247.(2023·全国·高三专题练习)已知S n 是数列a n 的前n 项和，且a 1=a 2=1，a n =2a n -1+3a n -2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A.数列a n -a n +1 为等比数列 B.数列a n +1+2a n 为等比数列C.S 40=1
4
320-1
D.a n =
3n -1+-1 n -1
2
8.(2023·山西太原·高三统考期末)如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设f (m ,n )表示该数阵中第m 行、第n 列的数，则下列说法正确的是( )
234567⋯35791112⋯4710131619⋯5913172125⋯6111212631⋯71319253137⋯⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
A.f (3,18)<49
B.f (6,8)>49
C.f (7,7)=49
D.f (12,4)=49
9.(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，向量OP =
n ,S n n ，OP 1 =m ,S m m ，OP 2 =k ,S k k m ,n ,k ∈N ∗ ，且OP =λOP 1 +μOP 2 ，则用n ,m ,k 表示λ，则λ=( )A.
m -k n -k
B.
n -k m -k
C.
m -n k -n
D.
n -m k -m
二、多选题
10.(2023·湖北·校联考模拟预测)数列a n 各项均为正数，其前n 项和S n ，且满足a n ⋅S n =9n ∈N ∗ ，下列四个结论中正确的是( )A.a n 为等比数列
B.a n 为递减数列
C.a n
中存在大于3的项 D.a n
中存在小于
1
2023的项
11.(2023·全国·高三专题练习)若数列a n
满足a2-1
2a1<a3-
1
2a2<⋯<a n-
1
2a n-1<⋯，则称数列
a n
为“差半递增”数列，则( )
A.正项递增数列均为“差半递增”数列
B.若数列a n
的通项公式为a n=q n q>1
，则数列a n
为“差半递增”数列
C.若数列a n
为公差大于0的等差数列，则数列a n
为“差半递增”数列
D.若数列a n
为“差半递增”数列，其前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n+1-t，则实数t的取值范围
为-32
3,+∞
12.(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)以下为自然数从小到大依次排成的数阵：
1
23
4567
89101112131415
⋯⋯
第n行有2n-1个数，则( )A．该数阵第n行第一个数为2n-1
B．该数阵第n行最后一个数为2n-1
C．该数阵前n行共有2n-1个数
D．该数阵前n行所有数的和为22n-2n
13.(2023·山东德州·高三统考期末)已知数列a n
的前n项和为 S n，且a1=1，a n+1+a n=2n则( )
A.S6=18
B.a n=
n,n为奇数
n-1,n为偶数
C.数列a n
为等差数列 D.n为奇数时，S n=n+
n-1 2
2
14.(2023·湖南株洲·高三校联考期末)已知数列a n
满足a1=1，a1=1,a n+1a n2+a n+1=a n(n∈N∗),数列
a n
前n项和为S n，则下列叙述正确的有( )
A.a n+1-a n<0
B.a2023<163
C.a n≤1
3n-2
D.S n≤n
15.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)已知数列a n
满足a n⋅e a n+1=e a n-1，且a1=1，S n
是数列
a n
的前n项和，则( )
A.a2023<a2022
B.S2023<2
C.a2021+a2023<2a2022
D.a2023<23 2022
三、填空题
16.(2023·山西太原·高三统考阶段练习)高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名
的成果有110个.设x∈R，用x 表示不超过x的最大整数，则y=x 称为高斯函数，若用x =x-
x 表示x的非负纯小数，如2
=2-1，已知数列a n
满足a1=3,a n+1=a n
+
1
a n
，则a2021=
__________.
17.(2023春·江苏南通·高三校考开学考试)“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用
广泛.设A是一个“0，1数列”，定义数列f A
：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A：1，0，则数列f A
：0，1，0，1，0，1.已知数列A1：1，0，1，0，1，记数列A k+1=f A k
，k=1，2，3，⋯，则数列A4的所有项之和为______.
18.(2023·全国·高三专题练习)已知数列{a n}满足a n+1=2a n+2a
n
-3，其首项a1=a，若数列{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是______.
19.(2023·全国·高三对口高考)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，对折n次，那么S1+S2+⋯+S n=__ ______dm2．
20.(2023·上海·高三专题练习)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学
习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．
21.(2023·全国·高三专题练习)已知数列{b n}满足b n=3n+(-1)n-1λ2n+1，且对于任意的n∈N*，都有
b n+1>b n恒成立，则实数λ的取值范围______________．
22.(2023春·河南开封·高三统考开学考试)现取长度为2的线段MN的中点M1，以MM1为直径作半圆，
该半圆的面积为S1(图1)，再取线段M1N的中点M2，以M1M2为直径作半圆．所有半圆的面积之和为S2(图2)，再取线段M2N的中点M3，以M2M3为直径作半圆，所有半圆的面积之和为S3，以此类推，则
n i=1iS i
=______．
23.(2023·山东日照·高三校联考期末)设正项等比数列a1,a2,⋅⋅⋅,a5的公比为q，首项a1=1，关于x的方程
a k x2+2x+a k=0有两个不相等的实根x1,x2，且存在唯一的a k k=1,2,⋅⋅⋅,5
<215．
，使得x1-x2则公比q的取值范围为______．
24.(2023·全国·高三专题练习)已知数列a n
满足a1=1，a2=3，a n-a n-1
=n n∈N,n≥3
，a2n-1是递增数列，a2n
是递减数列，则a20=__________．。