最新课标BS北师大版 七年级数学 下册第二学期 教学设计电子教案 第三章 变量之间的关系(第3单元全)

北师大版 七年级数学 下册第二学期 教学设计电子教案
第三章 变量之间的关系
3．1 用表格表示的变量间关系
1．了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量，了解自变量和因变量的关系； 2．能从表格中获得变量间的关系信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步预测．(重点，难点)
一、情境导入
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．
从图中我们可以看到，随着时间t (时)的变化，相应地气温T (℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？
二、合作探究
探究点一：变量与常量
【类型一】 常量与变量的判断
写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
(1)分针旋转一周内，旋转的角度n (度)与旋转所需要的时间t (分)之间的关系式n ＝6t ； (2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s (千米)与行驶时间t (时)之间的关系式s ＝40t .
解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
解：(1)常量：6，变量：n ，t ； (2)常量：40，变量：s ，t .
方法总结：确定在该过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量．
【类型二】自变量、因变量的确定
A，B两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到B地，若他距B地的距离为y，到达时间为x.请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量．
解析：因为这个变化过程中，他距B地的距离为y随时间的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是他距B地的距离y.
解：在这个变化过程中，自变量是时间x，因变量是他距B地的距离y.
方法总结：在判断自变量和因变量时，要分清哪个量是主动变化的，哪个量是被动变化的，主动变化的量是自变量，被动变化的量是因变量．
探究点二：用表格表示数量间的关系
【类型一】利用表格对数据进行分析
弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：
下列说法不正确的是()
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
解析：A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A正确；B.所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm，故B正确；C.弹簧不挂重物时的长度为10cm，故C错误；D.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故D正确．故选C.
方法总结：在解题时可根据给出的表格中的数据进行分析，确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度．
【类型二】从表格中获取信息解决问题
(1)为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？
(2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？
(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？
解析：(1)从表中可以看出电动车的月产量y随时间x的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是电动车的月产量；(2)(3)根据表中信息答题即可．
解：(1)电动车的月产量y为随着时间x的变化而变化，有一个时间x就有唯一一个y
与之对应，月产量y是时间x的因变量；
(2)6月份产量最高，1月份产量最低；
(3)6月份和1月份相差最大，在1月份加紧生产，实现产量的增值．
方法总结：观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小．
三、板书设计
1．常量与变量：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量．
2．用表格表示数量间的关系：
借助表格表示因变量随自变量的变化而变化的情况．
自变量和因变量是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明．本节是学好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知水平，使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来。

3．2用关系式表示的变量间关系
1．理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量；
2．能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式．(重点，难点)
一、情境导入
汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为s km，行驶时间为t h.
先填写下表：
．试用含t的式子表示s：________．
二、合作探究
探究点：用关系式表示变量间关系
【类型一】列关系式表示变量之间的关系
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
写出用t 表示s 的关系式：________．
解析：观察表中给出的t 与s 的对应值，再进行分析，归纳得出关系式．t ＝1时，s ＝
2×12；t ＝2时，s ＝2×22；t ＝
3时，s ＝2×32；t ＝4时，s ＝2×42，…所以s 与t 的关系式为s ＝2t 2，其中t ≥0.故答案为s ＝2t 2(t ≥0)．
方法总结：本题以关系式法表示时间t 与距离s 之间的关系，认真观察分析s 随t 的变化而变化的规律是列出关系式的关键．
【类型二】 用关系式表示图形的变化规律
图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层(n 为正整数)圆点的个
数，则下列函数关系中正确的是( )
A ．y ＝4n －4
B ．y ＝4n
C ．y ＝4n ＋4
D ．y ＝n 2
解析：由图可知n ＝1时，圆点有4个，即y ＝4；n ＝2时，圆点有8个，即y ＝8；n ＝3时，圆点有12个，即y ＝12，∴y ＝4n .故选B.
【类型三】 列关系式并求值
已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q (立方米)与时间t (小时)之间的函数关系式； (2)6小时后池中还有多少水？
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
解析：(1)根据“抽水时间×抽水速度＝抽水量”，“蓄水量－抽水量＝剩余水量”解题即可；(2)根据自变量与因变量的关系式，可得自变量相应的值；(3)根据自变量与因变量的关系式，可得相应自变量的值．
解：(1)Q ＝800－50t (0≤t ≤16)；
(2)当t ＝6时，Q ＝800－50×6＝500(立方米)． 答：6小时后，池中还剩500立方米的水； (3)当Q ＝200时，800－50t ＝200，解得t ＝12. 答：12小时后，池中还有200立方米的水．
方法总结：利用关系式，根据任何一个自变量的值求出相应因变量的值，其实质是代数式求值，根据因变量的值求出相应自变量的值，其实质是解方程．
【类型四】关系式与表格的综合
一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的
请你根据表格，解答下列问题：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势是怎样的？
(3)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量；
(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？
解析：(1)认真分析表中数据可知，油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，再根据自变量、因变量的定义找出自变量和因变量；(2)由表中数据可知随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势；(3)由分析表中数据可知，每行驶1h消耗油量为7.5L.然后根据此关系写出油箱中剩余油量Q
(L)与行驶时间t(h)的代数式；(4)根据图表可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时．
解：(1)表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量；
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中的剩余油量在不断减小；
(3)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，Q＝54－7.5t；把t＝6代入得Q＝54－7.5×6＝9(L)；
(4)由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱中原有54L汽油，可以供汽车行驶54÷7.5＝7.2(h)．
答：最多能连续行驶7.2h.
方法总结：观察表中的数据，发现其中的变化规律，然后根据其增减趋势写出自变量与因变量之间的关系式．
三、板书设计
1．用关系式表示变量间关系
2．表格和关系式的区别与联系：
表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求出自变量为任意一个值时，相对应的因变量的值，但是需计算．
本节课的教学内容是变量间关系的另一种表示方法，这种表示方法学生才接触到，学生感觉有点难．这节课的重点是让学生掌握用关系式与表格表示变量间的关系，难点是理解这
两种表示方法的优缺点．就此问题，通过让学生对几个例子比较、讨论、总结、归纳两种方法的优点来解决，这样学生就能很好地区分这两种表示方法，并能对不同的问题选择恰当的方法
3．3 用图象表示的变量间关系
第1课时 曲线型图象
1．理解两个变量之间的关系的曲线图象，了解图象中各个部分所表示的意义；
2．能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息．(重点，难点)
一、情境导入
观察下图，你能从中获取怎样的信息？
二、合作探究
探究点：用曲线型图象表示变量间关系
【类型一】 用曲线型图象表示两个变量间的关系
水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时
间变化的，请选择分别与A 、B 、C 、D 匹配的图象(
)
A．(3)(2)(4)(1) B．(2)(3)(1)(4)
C．(2)(3)(4)(1) D．(3)(2)(1)(4)
解析：A.容器的直径小，水上升的速度最快，故A应是图(3)，B.容器直径大，上升速度慢，故B应是图(2)；C.容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，故C应是图(4)；D.先最快，再速度放慢然后速度又变快，最后速度不变，故D应是图(1)．故选A.
方法总结：对于题目中有不规则容器，图象多为不规则变化，要确定这种变化关系，可以从容器横截面的变化情况进行判断．
【类型二】从曲线型图象中获取变量信息
如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(
)
A．这天15时温度最高
B．这天3时温度最低
C．这天最高温度与最低温度的差是13℃
D．这天0～3时，15～24时温度在下降
解析：横轴表示时间，纵轴表示温度．温度最高应找到图象的最高点所对应的x值，即15时，A对；温度最低应找到图象的最低点所对应的x值，即3时，B对；这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38－22＝16(℃)，C错；从图象看出，这天0～3时，15～24时温度在下降，D对．故选C.
方法总结：认真观察图象，弄清楚时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值．
三、板书设计
1．用曲线型图象表示变量间关系
2．从曲线型图象中获取变量信息
图象法能直观形象地表示因变量随自变量变化的变化趋势，可通过图象来研究变量的某些性质，这也是数形结合的优点，但是它也存在感性观察不够准确，画面局限性大的缺点．教学中让学生自己归纳总结，回顾反思，将知识点串连起来，完成对该部分内容的完整认识和意义建构．这对学生在实际情境中根据不同需要选择恰当的方法表示变量间的关系，发展与深化思维能力是大有裨益的
第2课时 折线型图象
1．理解分段图象的意义，掌握分段图象各个部分的含义；
2．复习巩固运用图象表示变量间关系的方法，能够运用其解决实际问题．(重点，难点)
一、情境导入
小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y (米)与爬山所用时间x (分钟)的关系(从小强开始爬山时计时)．
问：图中的横轴(x 轴)和纵轴(y 轴)各表示什么？
答：横轴(x 轴)表示两人爬山所用时间，纵轴(y 轴)表示两人离开山脚的距离． 问：如图，线段上有一点P ，则P 的坐标是多少？表示的实际意义是什么？ 答：P 的坐标是(3，90)．表示小强爬山3分钟时，离开山脚的距离是90米． 我们能否从图象中看出其他信息呢？ 二、合作探究
探究点：用折线型图象表示变量间关系
【类型一】 用折线型图象表示两个变量间的关系
小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一
会儿，小明搭轻轨回到家，下面能反映在此过程中小明与家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是(
)
解析：根据从学校回家，可得与家的距离是越来越近．根据步行的速度慢，可得离家的距离变化小，根据搭轻轨的速度快，可得离家的距离变化大．A.随着时间的变化，离家的距
离越来越远，故A、B错误；C.随着时间的变化，步行离家的距离变化快，搭轻轨的距离变化慢，不符合题意，故C错误；D.随着时间的变化，步行离家的距离变化慢，搭轻轨的距离变化快，符合题意，故D正确．故选D.
方法总结：路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，要掌握这类问题，就要对图像中各个线段的意义正确理解．
【类型二】利用折线型图象解决图形问题
用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OAB为折线)，这个容器的形状是图中(
)
解析：由图象可得容器形状不是粗细均匀的物体．相比较而言，前一个阶段，用时较多，高度增加较慢，那么下面的物体应较粗．故选C.
【类型三】通过折线型图象获取信息
星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？
(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？
解析：(1)利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案；(2)休息是路程不随时间的增加而增加；(3)用距离除以所用时间求出速度，再比较大小即可；(4)用玲玲全程所行的路程除以所用的时间即可．
解：观察图象可知：(1)玲玲到离家最远的地方需要3小时，此时离家30千米；
(2)10点半时开始第一次休息，休息了半小时；
(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9时～10时，速度为10÷(10－9)＝10(千米/时)；10时～10时30分，速度约为(17.5－10)÷(10.5－10)＝(15千米/时)；10时30分～11时，速度为0；11时～12时，速度为(30－17.5)÷(12－11)＝12.5(千米/时)；12时～13时，速度为0；13时～15时，在返回的途中，速度为30÷(15－13)＝15(千米/时)；可见骑行最快有两段时间：10时～10时30分；13时～15时．两段时间的速度都是15千米/时；
(4)玲玲全程骑车的平均速度为(30＋30)÷(15－9)＝10(千米/时)．
答：玲玲全程骑车的平均速度是10千米/时．方法总结：准确理解图象上的点所表示的意义是解决问题的关键，解题时可通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息．
【类型四】双图象问题
端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
(1)这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？
(2)求乙与甲相遇时乙的速度．
解析：(1)根据图象的纵坐标，可得比赛的路程．根据图象的横坐标，可得比赛的结果；
(2)根据乙加速后行驶的路程除以加速后的时间，可得答案．
解：(1)由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米；由横坐标看出，乙队先到达终点；
(2)由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000－400＝600(米)，加速后用的时间是3.8－2.2＝1.6(分钟)，乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6＝375(米/分钟)．方法总结：解决双图象问题时，正确识别图象，弄清楚两图象所代表的意义，从中挖掘有用的信息，明确实际意义．
三、板书设计
1．用折线型图象表示变量间关系
2．根据折线型图象获取信息解决问题
经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。