蓝田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

蓝田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（
）
A ．
B ．y=x 2
C ．y=﹣x|x|
D ．y=x ﹣22． 已知命题p ：∀x ∈R ，32x+1＞0，有命题q ：0＜x ＜2是log 2x ＜1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．￢p
B ．p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∨q
3． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（
）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
4． 若集合M={y|y=2x ，x ≤1}，
N={x|
≤0}，则 N ∩M （ ）
A ．（1﹣1，]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（﹣1，2]　5． 设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a 5359a a =95S S =A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6． 下列命题中错误的是（
）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
7． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
　8． 椭圆的左右顶点分别为，点是上异于的任意一点，且直线斜率的22
:143
x y C +=12,A A P C 12,A A 1PA 取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
[]1,22PA A ． B ． C ． D ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
9． 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得e 1[,1]x e ∈[1,1]y ∈-2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数的取值范围是（
）a A. B. C. D.1
[,]e e 2
(,]e e 2
(,)e +∞21(,)e e e
+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
10．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（
）
A ．20种
B ．24种
C ．26种
D ．30种
11．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．y=
C ．y=（x 2﹣2x ）e x
D ．y=
12．已知数列是各项为正数的等比数列，点、都在直线上，则数列{}n a 22(2,log )M a 25(5,log )N a 1y x =-的前项和为（
）{}n a n A ． B ． C ． D ．22n -122n +-21n -121
n +-二、填空题13．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为
，则圆的方程为 ．
14．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1，4），D （5，0），则直线l 的方程为 ．
15．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为21()sin cos sin 2f x a x x x =-+
6x π=()f x （ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；BM ED CN BE ③与成角；④与是异面直线．
CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．
17．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．
18．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα+=（1）求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值．20．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的数学期望与方差．
21．（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，，
ABC ∆,,A B C ,,a b c 1)cos 2cos a B b A c +-=（Ⅰ）求的值； tan tan A B
（Ⅱ）若，，求的面积．
a =4B π
=ABC ∆
22．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
23．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=7，S4=16．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
24．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
蓝田县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；
函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；
函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；
故选：D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】解：∵命题p：∀x∈R，32x+1＞0，∴命题p为真，
由log2x＜1，解得：0＜x＜2，∴0＜x＜2是log2x＜1的充分必要条件，
∴命题q为假，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道基础题．
3．【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
4． 【答案】B
【解析】解：由M 中y=2x ，x ≤1，得到0＜y ≤2，即M=（0，2]，
由N 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0，
解得：﹣1＜x ≤1，即N=（﹣1，1]，
则M ∩N=（0，1]，
故选：B ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
5． 【答案】A
【解析】1111]试题分析：．故选A ．111]199515539()
9215()52
a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．
6． 【答案】 B
【解析】解：对于A ，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a ，则截面面积S=ah ≤2rh ．
∴当a=2r 时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A 正确．
对于B ，设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a ，则O 到AB 的距离为
，
∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积S==≤
=．
故截面的最大面积为．故B错误．
对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．
对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．
7．【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可
∴中位数是13
故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
8．【答案】B
9．【答案】B
【解析】
10．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
11．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
12．【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前项和公式．，，∴
n 22log 1a =25log 4a =,,∴,，数列的前项和为，选C ．
22a =516a =11a =2q ={}n a n 21n -二、填空题
13．【答案】　（x ﹣1）2+（y+1）2=5　．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ，
∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上，
∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上，
∴a+b=0，①
且（2﹣a ）2+（1﹣b ）2=r 2；②
又直线x ﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a ，b ）到直线x ﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r 2﹣d 2=
，
即r 2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得
；
∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2=5．
14．【答案】 ． 【解析】解：∵直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点（3，2），故斜率为=，
∴由斜截式可得直线l 的方程为
，故答案为．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
15．【答案】A
【解析】
16．【答案】③④
【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误BM ED 的；②与是平行直线，所以是错误的；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC ANC 为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．,AN AC 60 DM BN
考点：空间中直线与直线的位置关系．
17．【答案】﹣280
解：∵（
﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．
∴x 2的系数是
．故答案为：﹣280．
18．【答案】　[﹣1，3]　．
【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx ≤1，
∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1；（2．【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=．
试题解析：（1αα+∴
sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．……………………………………10分∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=．………………………………………………………………………………12分考点：三角恒等变换．
20．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n ，前三个小组的频率为p 1，p 2，p 3，则，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：
p=，
由题意知X 服从二项分布，即：X ～B （3，
），…∴P （X=k ）=
，k=0，1，2，3，∴EX==，DX==．…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）由
及正弦定理得
1)cos 2cos a B b A c +-=， （3
分）
1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==
，∴（6
分）cos 3sin cos A B B A
=tan tan
A B
=（Ⅱ），，， （8分）tan
A B ==3A π
=sin 2sin a B b A
===， （10分）sin sin()C
A B =+=
∴的面积为（12
分）ABC
∆111sin 2(3222ab C ==+22．【答案】
【解析】解：（I ）a=﹣2时，f （x ）=xlnx ﹣2x ，则f ′（x ）=lnx ﹣1．
令f ′（x ）=0得x=e ，
当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，
∴f （x ）的单调递减区间是（0，e ），单调递增区间为（e ，+∞）．
（II ）若对任意x ∈（1，+∞），f （x ）＞k （x ﹣1）+ax ﹣x 恒成立，
则xlnx+ax ＞k （x ﹣1）+ax ﹣x 恒成立，即k （x ﹣1）＜xlnx+ax ﹣ax+x 恒成立，
又x ﹣1＞0，则k ＜
对任意x ∈（1，+∞）恒成立，设h （x ）=，则h ′（x ）=．
设m （x ）=x ﹣lnx ﹣2，则m ′（x ）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．
∴k＜h min（x）=x0．
∵3＜x0＜4，
∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
23．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）
解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…
（2）由①得…（7分）
∴…（11分）
∴…（12分）
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．　
24．【答案】
【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，
解得n=9；
设T r+1为常数项，则：
T r+1=C9r=C9r2r，
由﹣r=0，得r=3，
∴常数项为：C9323=672；
（2）令x=1，得（1+2）9=39．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．。