二次函数一般式与顶点式互化

4
进而我们就可以求出函数图象与x轴的交点．
课堂小结：
1.函数y=ax 2+bx+c的图象与y=ax 2的图象的位置关系．
２
2.函数y=ax+bx+c的图象在对称轴，顶点坐标等方面 的特点．
3.函数解析式类型的归纳：
(1)一般式 y=ax 2+bx+c
(2) 顶点式
2
y=a(x+m) +k
４.判断二次函数图象与坐标轴的交点情况及求法．
下面我们来对y=ax２ +bx+c进行配方成 y=a(x+m)2 +k
２
• y=ax +bx+c
2
=a(x +
b —a
x)+c
=a﹝x
2+—bx+(
b —)
2
﹞+c-(
—b
)2×a
a 2a
2a
2
=a( x +
—b
2 )+
4ac-b —————
2a
4a
思考：上式中m为多少？k呢？
2
显然，m=—b ,k=—4a—c-b—
2a
4a
结论：二次函数y=ax2 +bx+c的图象是一条抛物
线，它的对称轴是直线x= — —b—，顶点坐标是
(—
—b—,
2a
—4—a4ca—-b——x
2
+3x
—
—5
的对称
轴的顶点坐标．
2
2
解：在函数式y=— —12 x 2 +3x — —52 中，
a=— —1 , b=3, c= — —5 .
2.因为函数图象与y轴交点的横坐标为零,所以求函数 图象与y轴交点的坐标时,可以令自变量x＝０,即
y=—
—5 (0+1)2
4
+2=—34
所以这个二次函数与y轴交点:(0,
3
—)
4
同样，因为函数图象与x轴交点的纵坐标为零，所以求
函数图象与x轴交点的坐标时，可以令自变量y=0,即
— —5 (x+1)2 +2=0
对称轴：x=-m, 顶点坐标：(-m,k)
２
２
3.用配方法将y=x －4x+5化为y=a(x+m) +k的形式，求出
顶点坐标和对称轴？
函数y=x２ 的图象如何平移就可以得到 y=x２－4x+5 的形式. （即 y=(x－2)２ +1 )的图象？
先向右平移２个单位，再向上平移１个单 位．
思考：函数y=ax２ 的图象如何平移就能得到 y=ax ２+bx+c的图象？
y=a(x+1)2 +2. 又因为图象过点（１，－３），即 当x=1时，y=－３，代入
－３＝a(1+1)2 +2, 得a= — —54
所以，所求的二次函数是y=— —5 (x+1)2 +2
4
y=－－54 (x+1)2+2
Y
2
-1 O
X
同学们: 想一想, 在 坐标轴上的点的坐标 有什么特点?
y轴上的横坐标为零,x轴上的纵坐标为零.
二次函数y=ax2 +bx+c的图象
授课教师
实验中学 数学组
y
o
x
y=ax 2
2
y=a(x+m)
2
y=a(x+m)+k
1。什么叫二次函数？它的一般形式是怎样的？
形如y=ax２ +bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数． 它的一般形式y=ax ２+bx+c(a≠0)
２
2.函数y=a(x+m) +k的对称轴是什么？顶点坐标呢？
令x=0,求出函数图象与y轴的坐标.
令y=0,求出函数图象与x轴的坐标.
2
2
所以 — 2—ba = 3,
4ac—b2
—4—a —
=2
因此，原抛物线的对称轴是直线x=3，顶 点坐标是（３，２）
例２．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐 标为（－１，２）,且图象过点（１, －３）．
（１）求这个二次函数的解析式．
（２）求这个二次函数的图象与坐标轴的 交点坐标．
解：１．因为函数图象的顶点坐标为（－１，２） 所以可设所求的二次函数的解析式为：