九年级数学上册 第7课时 解一元二次方程——公式法导学案(2) 新人教版

【问 题】用公式法 解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
⑴2x2-3x=0⑵3x2-2 x+1=0⑶4x2+x+1=0
二、自主交流探究新知
【探究】根据问题填写下表：
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
9
>0
不相等
3x2-2 x+1=0
0
⊿=b2-4ac=0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；
⊿=b2-4ac<0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其应用。
五 、课堂作业P42 4（《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思
第7课时解一元二次方程——公式法（2）
学习
目标
使学生能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学习重点
使学生能用的值判定一元二次方程的根 的情况。
学习难点
从具体题目来推出一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠ 0）的⊿=b2-4ac的情况与根的情况的关系。
教学互动设 计
设计意图
一、自主学习感受新知
⑶方程没有实数根？
解：
【例3】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。
解：
【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
⑵方程有两个相等的实数根？
⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立。
学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知 识解决上述问题，同时熟悉一元二次方程的两种解法——公式法和配方法，进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系．
三、自主应用巩固新知
【例1】 不解方程，判定方程根的情况
⑴16x2+8x=-3⑵9x2+6x+1=0⑶2x2-9x+8=0⑷x2-7x-18=0
=0
相等
4x2+x+1=0
-15
<0
不存在
【猜想】请观察 上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从 前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x= ，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义， 等于一个具体数，所以一元一次方程的x1= ≠x1= ，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义 =0，所以x1=x2= ，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解 ．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
四、自主总结拓展新知
⊿=b2-4ac>0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；
【结论】⑴当⊿=b2-4 ac>0时，一元二次 方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1= ，x2= 。
⑵当⊿=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2= 。
⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。