山东省青岛市高三数学下学期第二次模拟考试试题 理

山东省青岛市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知11a
bi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=
A ．3
B ．2
C ．5 D
2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，
22
{|1}N x x y =+=，则M N =
A ．[1,2)-
B ．(0,1)
C ．(0,1]
D ．∅ 3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,
,56，现根据座号，用系统抽样的方法，
抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
4. 已知函数
22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，则使()2f x =的x 的集合是 A ．1{,4}4 B ．{1,4} C ．1{1,}4 D ．1
{1,,4}4
5. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为
其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图， 当输入的值为25时，
则输出的结果为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6. 设
,x y 满足约束条件
2311x x y y x ≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥+⎩
，则下列不等式恒成立的是
A ．3x ≥
B ．4y ≥
C ．280x y +-≥
D ．210x y -+≥ 7. “2-≤a ”是“函数
a
x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．72种
9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]
2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3
(1,)
2内是
A ．减函数且()0f x >
B ．减函数且()0f x <
C ．增函数且()0f x >
D ．增函数且()0f x <
10. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的
渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为22
8a b +，则该双曲线
的离心率为
A
．3 B
．3 C
．3 D
．3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；
12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布
2
(110,10)N ，已知(100110)0.34P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；
13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；
14. 若函数
sin()(
0,0)
6A x A π
ωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积
为 ；
15. 若不等式222
2()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大
值为 ．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
已知向量
2(s i n
,c o s )33x
x a k =,(cos ,)3x
b k =-,实数k 为大于零的常数，函数
()f x a b =⋅,R x ∈，且函数()f x 的最大值为.
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2
A π
π
<<，()0f A =,且
a =求AB AC ⋅的最小值.
17．（本小题满分12分）
为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：
第14题图
6正（主）视图
侧（左）视图
第13题图
其前n 项和
n S ．
20．（本小题满分13分）
已知抛物线
1:C 2
2(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 22
9x y +=上．
（Ⅰ）求抛物线
1C 的方程；
（Ⅱ）已知椭圆2:C 22
22 1 (0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2
C 上存在关于直线:
l 1143y x =
+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数
1
()1ln a f x x x =-
+（a 为实数）．
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11
(,())
2
2f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数2
()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，
且存在a 满足()≥
h a 1
8+
λ，求λ的取值范围； （Ⅲ）已知*
N n ∈，求证：
11111ln(1)12345
n n +<+
+++++．
高三自主诊断试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 12. 8 13.32 14．23
2- 15
．4
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)
333x x x
f x a b k k =⋅=⋅-
221cos
12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x
x x x x
k x x k k k k k
+=-=-=--……2分
222(cos )sin()2232322342x x k x k
π=
--=-- ……………………5分
因为R x ∈，所以()f x
的最大值为
=，则1k = …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
21()sin()342x f x π=
--
，所以21()sin()0342A f A π=--=
化简得
2sin(
)342A π-=
因为2
A π
π
<<，所以2512
3412A π
ππ
<
-<
则23
44A ππ-=，解得34A π= …………………………………………………8分
因为2222240cos 22b c a b c A bc bc +-+-===
，所以
22
40b c +=
则2
2
402b c bc +=≥
，所以
20(2bc ≤
= ……………10分
则
3cos
20(14AB AC AB AC π⋅=
=≥
所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，1
3
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
11111111
4323433P =
⨯+⨯+⨯=
……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率112
1133P P =-=-
=
…………………4分
（Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ=
则
111
(6)4312P ξ==⨯=
11111
(7)43234P ξ==⨯+⨯=
1111111
(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=
11111
(9)23434P ξ==⨯+⨯=
111(10)4312P ξ==
⨯=
………………………………………………………………10分
所以ξ的分布列为
则
11111()67891081243412E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分
18．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B
D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥
11B D
因为BD ⊄平面
11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分
又因为
11,2A B a AB a ==
，所以
11112MC AC =
=
又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，
所以14NP AC a
==
所以
1MC NP =
又因为AC ∥11AC ，所以
1MC ∥NP
所以四边形1MC PN 为平行四边形
所以1PC ∥MN
因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D 因为
1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分
（Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形
1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N
由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥
因为
11A B a =，2AB a =
，1AA
，所以
12A N a MP ==
=
因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥ 所以，以,,PA PB PM 分别为
,,x y z 轴建立如图所示的坐标系
则,0)B
，(0,,0)D
，(,0,0)C
，
1()C
所以(0,,0)BD =-u u u r
，1(,,)22BC a a =uuu r
，(,,0)BC =u u u
r
………………………………………………………7分
00== ……………………………………………9分 100==r r ………………………………11分 ………………………………………12分
，则依题意有0q >
……………………………………2分 ……………………………………4分
（Ⅱ）
12n n b -= 21log n b n +∴=
811()2n n n d d -++∴= ， 7121
()2n
n n d d -+++=
两式相除：21
2n n
d d +=，
由116d =，81121
()128
2d d -+==可得：2
8d = 135,,,
d d d ∴是以116d =为首项，以1
2为公比的等比数列；246
,,,d d d 是以
28d =为首项，
以1
2为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分
∴当n 为偶数时，
1218()16(22n n
n d -=⨯= ……………………………………………………………7分
13124()()n n n S d d d d d d -=++
++++
+
222
211
16[1()]8[1()]
112232[1()]16[1()]4811221122n
n
n n n
⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分
∴当n 为奇数时，
112116()2()22n n
n d +-=⨯=…………………………………………………………10分
13241()()n n n S d d d d d d -=++++++
+
112
2
11221
1
16[1()
]8[1()
]
112232[1()]16[1()]4822112
2
n n n n n
+-+-⨯-⨯-=
+
=-+-=---
∴,,n n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩
，48,48,
n
n n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分
20．（本小题满分13分）
n 为奇数 n 为偶数 n 为偶数 n 为奇数
解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知0220020
03
29
2p x x y y px ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ ………………………2分
解得：001,4,x y p ==±=
所以抛物线1C 的方程为：
28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线
1C 的焦点(2,0)F 椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合
∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分
设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ 由22
22 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*）
则
42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->， 得：222
160m n λ+->……②………………………………………………………………7分 对于（*），由韦达定理得：
21222816m x x m n λ+=+ 2
12122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+
MN 中点Q 的坐标为22
22224(,)1616m n m n m n λλ++
将其代入直线:l 1143y x =+得：
2
22222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分 由①②③消去λ
，可得：2m <<，
椭圆2
C
的离心率
2
c
e
m m
==
，
∴
1
37
e
<<
………………………………………………………………………13分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当1
a=时，
11
()1ln
f x
x x
=-+
，
2
11
()
f x
x x
'=-
，
则
1
()422
2
f'=-=
，
1
()12ln2ln21
2
f=-+=-
∴函数()
f x的图象在点
11
(,())
22
f
的切线方程为：
1
(ln21)2()
2
y x
--=-
，
即
2ln220
x y
-+-=…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）22
1
()
a a x
f x
x x x
-
'=-=
，由
()0
f x
'=x a
⇒=
由于函数
()
f x在区间(0,2)上不存在极值，所以0
≤
a或2
≥
a………………………5分由于存在a满足()≥
h a
1
8
+
λ
，所以max
()≥
h a
1
8
+
λ
……………………………………6分
对于函数
2
()32
h a a a
λ
=-，对称轴
3
4
aλ
=
①当
3
4
λ
≤
或
3
2
4
λ
≥
，即0
λ≤或
8
3
λ≥
时，
2
max
39
()()
48
h a hλλ
==
，
由max
()≥
h a
1
8
+
λ2
91
88
⇒≥+
λλ
，结合0
λ≤或
8
3
λ≥
可得：
1
9
≤-
λ
或
8
3
λ≥
②当
3
01
4
λ
<≤
，即
4
3
λ
<≤
时，max
()(0)0
h a h
==
，
由max
()≥
h a
1
8
+
λ
1
8
⇒≥+
λ
，结合
4
3
λ
<≤
可知：λ不存在；
③当3124λ<
<，即483
3λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分
（Ⅲ）当1a =时，21()x
f x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)
∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴
11()1ln f x x x =-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-
+≤=，∴11ln x x
x -≤，……………………………………11分 令 1n x n =
+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<，
∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++- 111112
1n n n <++++--． 故
11111ln(1)12345n n +<++++++． ………………………………………………14分。