人教A版高中数学必修第一册第三章微专题3二次函数的最值问题课件

(2)由图可知，在[0，3]上，函数f (x)在x＝0处取得最大 值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7． (3)由图可知，函数f (x)在[－1，1]上单调递减， 在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1 处取得最小值，最小值为－4．
反思领悟 当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，
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探究3 “轴定区间变”问题 [典例讲评] 3．求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值 g(t)．
[解] f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为 直线x＝1．
图①
图②
图③
反思领悟 “轴定区间变”问题的解题思路
分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的 关系进行分类讨论．
第三章 函数的概念与性质
微专题3 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以 较全面地体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要 训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
探究1 “轴定区间定”问题 [典例讲评] 1．已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围 内取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
又∵x∈[;0．]
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√
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√
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对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．
(－1，3]
探究2 “轴变区间定”问题 [典例讲评] 2．求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值．
图①
(2)当0≤a<1时，由图②可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (2) ＝3－4a． (3)当1≤a≤2时，由图③可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (0) ＝－1．
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√
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3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，0]
√C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
C [令f (x)＝－x2＋2x，
则f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．
√
[1，2]
(2)二次函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，由x2－2x＋4＝4，解得x ＝0或x＝2， 画出二次函数y＝x2－2x＋4(x≥0)的图象如图所示，由图可知，m的 取值范围是[1，2]．
]
微专题强化练(三) 二次函数的最值问题
一、选择题
1．函数f (x)＝－x2＋2x－3在区间[0，＋∞)上( )
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10．已知函数f (x)＝－x2＋2x－3． (1)求f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值．
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图②
图③
图④
[解] (1)因为函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4，对称轴是x＝－m． 因为f (x)在(－∞，1]上单调递减， 所以－m≥1，解得m≤－1， 所以m的取值范围是(－∞，－1]．
【教用·备选题】 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3． (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f (x)的最大值和最小值； (2)若函数f (x)在[1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
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二、填空题 6．已知函数f (x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1，3]， 则b的值为___3_____．
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3 [因为f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当且仅当x＝1时取等号， 所以若x∈[0，b]，f (x)的值域为[－1，3]，则b>1， 因为f (x)的图象是开口向上的抛物线， 所以f (x)在[0，1)上单调递减，(1，b]上单调递增， 因为f (0)＝0≠3， 所以f (b)＝b2－2b＝3，即b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)．]
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－4
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三、解答题 9．若二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝2． (1)求f (x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值 范围．
√A．有最大值－2
C．有最小值－2
B．有最大值－3 D．有最小值－3
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A [因为f (x)＝－x2＋2x－3， 所以函数f (x)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝1，如 图所示： 由此可得函数y＝f (x)在[0，1)上单调递增， 在[1，＋∞)上单调递减， 所以f (x)max＝f (1)＝－1＋2－3＝－2，无最 小值． 故选A．]