2019-2020学年广东省揭阳市高二上学期第一次月考数学试题

揭阳第三中学2019—2020学年度第一学期第一次阶段考
高二数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )
A ．3＋1
B ．23＋1
C ．2 6
D ．2＋2 3
2.在ABC ∆中，已知0120A =，a =b =，则B 的度数是（ ）
A. 45或 135
B. 135
C. 45
D. 75 3.等差数列{}n a 中，5210853=+++a a a a ，则=+76a a （ ）
A.13
B.24
C.26
D.48
4．在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( )
A ．－2
B ．1或－2
C ．1
D ．1或2
5.等差数列{}n a 的前m 项的和是40，前m 2项的和是100，则它的前m 3项的和是（ ）
A ．130
B ．180
C ．210
D ．260
6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222,a c b ac +-=则角B 的值为 （ ）
A ．
6π B.3π C.6π或56π D.3
π
或23π
7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若427=S ，则4a =（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
8.在ABC ∆中，已知cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 9．在等差数列{a n }中，a 9＝1
2a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )
A ．24
B ．48
C ．66
D ．132
10.已知{a n }是公差为1的等差数列，n S 为{a n }的前n 项和，若484S S =，则=10a ( )
A ．
217 B ． 10 C ．2
19
D ．12
11.已知数列}{n a 满足112021211
2
n
n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨
⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2011a 为 （ ） A ．
7
1
B ．
73 C ．75 D ． 7
6 12.设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且
sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=,若,,a b c 成等差数列且18CA CB ⋅=，则c 边长为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．
14.在ABC ∆
中3,2,AB AC BC ===BA AC ⋅的值为________．
15.一船以每小时km 15的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行
驶h 4后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东︒15，这时船与灯塔的距离为
km ．
16.数列{n a }的前n 项和为n S ，若51
,(1)
n a S n n =
=+则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17. (本小题满分10分) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =。

（1）求角B 的大小；
（2）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c 的值.
18.（本小题满分12分） 设{}n a 为等差数列，n S 是等差数列的前n 项和，已知
262a a +=，1575S =.
(1)求数列的通项公式n a ；
(2)n T 为数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T .
19. (本小题满分12分) 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、
c ，若2
1
sin sin cos cos =
-C B C B ． （1）求A ；
（2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．
20. (本小题满分12分) 如图，某河段的两岸可视为平行线 l m ，．有一名学生为了测量该河段的宽度，他在河段的一岸边选取相距120米的A 、B 两点，并观察对岸的点C ，测得75CAB ∠=，45CBA ∠=.（
sin 75o =
A B
（1）求线段BC 的长度； （2）求该河段的宽度．
21.（本小题满分12分）如果数列{}n a 的前n 项和为n n S n 482-=．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最小值.
22.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 中，5
3
1=
a ，),2(12*1N n n a a n n ∈≥-=-，数列}{n
b 满足)(1
1
*N n a b n n ∈-=
；
(1)求证：数列}{n b 是等差数列；
(2)求数列}{n a 中的最大值和最小值，并说明理由.
揭阳第三中学2019—2020学年第一学期第一次阶段答案
高二数学
一、选择题
二、填空题
13. 3
14.32- 15. 16.5
6
三、解答题
17. (本小题满分10分) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B a A b cos 3sin =。

（1）求角B 的大小；
（2）若3=b ，A C sin 2sin =，求a ，c 的值. 解：（1）∵
B
a A
b cos 3sin =，由正弦定理可得
sin sin cos B A A B =， ……2分
即得tan B =，……3分
∴3
π
=
B . ……5分
（2）
A C sin 2sin =，由正弦定理得2c a =， ……6分
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得229422cos
3
a a a a π
=+-⋅， (8)
分
解得a = ……9分
2c a ∴== ……10分
18.（本小题满分12分） 设{}n a 为等差数列，n S 是等差数列的前n 项和，已知
262a a +=，1575S =.
(1)求数列的通项公式n a ；
(2)n T 为数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T .
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ……1分
则262162=+=+d a a a ①，又1511510575S a d =+= ② ……3分 联立①②，解得21-=a ，1=d ，……5分 ∴数列的通项公式3-=n a n . ……6分 （2）∵3-=n a n ，∴2
)5(2)(1n
n n a a S n n -=+=
， ……7分 ∴
15
22
n S n n =-，……8分 又
21
1
-=S ， ……9分 ∴数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为首项是-2，公差是21等差数列，……10分
∴2(1)119
22244
n n n T n n n -=-+
⨯=-. ……12分 19. (本小题满分12分) 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、
c ，若2
1
sin sin cos cos =
-C B C B ． （1）求A ；
（2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）2
1
sin sin cos cos =
-C B C B 2
1
)cos(=
+∴C B ……2分 又π<+<C B 0 ，3
π
=+∴C B ……4分
π=++C B A ，3
2π
=
∴A ……6分 （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=
得 3
2cos
22)()32(22π
⋅--+=bc bc c b
即：)2
1
(221612-⋅--=bc bc ， ……9分
4=∴bc ……10分 ∴32
3421sin 21=⋅⋅=⋅=∆A bc S ABC ……12分
20. (本小题满分12分) 如图，某河段的两岸可视为平行线l m ，．有一名学生为了测量该河段的宽度，他在河段的一岸边选取相距120米的A 、B 两点，并观察对岸的点C ，测得75CAB ∠=，45CBA ∠=. （1）求线段BC 的长度； （2）求该河段的宽度． 解：（1）∵75CAB ∠=，45CBA ∠=
∴18060ACB CAB CBA ∠=-∠-∠= …… 2分 由正弦定理得：
sin sin AB BC
ACB CAB
=
∠∠ ∴6202602
342612060sin 75sin +=+⨯
=
︒
︒
=
AB BC (米) …… 6分 （2）如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度． …… 7分
在Rt BDC ∆中，∵45BCD CBA ∠=∠=,sin ,BD
BCD BC
∠= ∴sin 45BD BC =＝320602
2
)620260(+=⋅
+ ……11分 ∴该河段的宽度为32060+米 …… 12分
21.（本小题满分12分）如果数列{}n a 的前n 项和为n n S n 482-=．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最小值.
A
B
C
m
l
D
解：(1)当1=n 时，4748111-=-==S a ……2分
当2≥n 时，492)]1(48)1[()48(221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ， ……5分 经检验，471-=a 满足此式 ……6分 ∴492-=n a n …… 7分
(2)∵576)24(4822--=-=n n n S n ，…… 10分 ∴当24=n 时，n S 取得最小值-576. ……12分 22.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 中，5
3
1=
a ，),2(12*1N n n a a n n ∈≥-=-，数列}{n
b 满足)(1
1
*N n a b n n ∈-=
； (1)求证：数列}{n b 是等差数列；
(2)求数列}{n a 中的最大值和最小值，并说明理由. (1)证明：∵111
1
1211
1
1
111=----=---=
-++n n
n n n n a a a a b b ……3分 又2
5
15
311111-=-=-=
a b ∴数列}{n b 是首项为2
5
-
，公差为1的等差数列。

……5分 (2) 解：由（1）可得：2
7
125-=-+-=n n b n ， ……7分
∴722
1725212
7111-+
=--=+-
=+=n n n n b a n n ， ……9分 ∴当31≤≤n 时，数列}{n a 单调递减且1<n a ，当4≥n 时，数列}{n a 单调递减且
1>n a ，……10分
∴数列}{n a 的最大值为34=a ，最小值为13-=a 。

……12分。