20152016学年高中数学 第一章 导数及其应用测评B 新人教A版选修22

【优化设计】2015-2016学年高中数学第一章导数及其应用测评B
新人教A版选修2-2
(高考体验卷)
(时间:90分钟满分:100分)
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分、在每小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的)
1、(2014·课标全国Ⅱ高考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()
A、0
B、1
C、2
D、3
解析:∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-、
∴y'|x=0=a-1=2,得a=3、
答案:D
2、(2014·陕西高考)定积分(2x+e x)d x的值为()
A、e+2
B、e+1
C、e
D、e-1
解析:因为(x2+e x)'=2x+e x,
所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e、
答案:C
3、(2014·山东高考)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()
A、2
B、4
C、2
D、4
解析:由解得x=-2或x=0或x=2,
所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=(4x-x3)d x=-0=4、答案:D
4、(2014·课标全国Ⅱ高考)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围就是()
A、(-∞,-2]
B、(-∞,-1]
C、[2,+∞)
D、[1,+∞)
解析:由f'(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,
则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,
即k≥在x∈(1,+∞)上恒成立、
又当x∈(1,+∞)时,0<<1,故k≥1、故选D、
答案:D
5、(2014·江西高考)若f(x)=x2+2f(x)d x,则f(x)d x=()
A、-1
B、-
C、
D、1
解析:∵f(x)d x=x2d x+d x
=x3
=+2f(x)d x,
∴f(x)d x=-、故选B、
答案:B
6、(2014·湖北高考)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)d x=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数、给出三组函数:
①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2、
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数就是()
A、0
B、1
C、2
D、3
解析:对于①,sin x·cos x d x=sin x d x=sin x d x
=(-cos x){-cos 1-[-cos(-1)]}
=(-cos 1+cos 1)
=0、
故①为一组正交函数;
对于②,(x+1)(x-1)d x=(x2-1)d x
=-1-
=-2=-≠0,
故②不就是一组正交函数;
对于③,x·x2d x=x3d x==0、
故③为一组正交函数,故选C、
答案:C
7、(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的就是()
A、f
B、f
C、f
D、f
解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,
则F'(x)=f'(x)-k>0,
∴函数F(x)在R上为单调递增函数、
∵>0,∴F>F(0)、
∵F(0)=f(0)=-1,∴f>-1,
即f-1=,
∴f,故C错误、
答案:C
8、(2015·课标全国Ⅱ高考)设函数f'(x)就是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围就是()
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-1,0)∪(1,+∞)
C、(-∞,-1)∪(-1,0)
D、(0,1)∪(1,+∞)
解析:当x>0时,令F(x)=,则F'(x)=<0,∴当x>0时,F(x)=为减函数、
∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0、
在区间(0,1)上,F(x)>0;
在(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;
当x>1时,f(x)<0、
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0、
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)、故选A、
答案:A
9、(2015·课标全国Ⅰ高考)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围就是()
A、B、
C、D、
解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x)、因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),
当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增、
所以g(x)的最小值为g、
而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线、
如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像、
显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个、
函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D、
取点C、
由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA、
而k PC=,k PA==1,
所以≤a<1、故选D、
答案:D
10、(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论就是错误的,则错误的结论就是()
A、-1就是f(x)的零点
B、1就是f(x)的极值点
C、3就是f(x)的极值
D、点(2,8)在曲线y=f(x)上
解析:f'(x)=2ax+b、
若A正确,则f(-1)=0,即a-b+c=0,①
若B正确,则f'(1)=0,即2a+b=0,②
若C正确,则f'(x0)=0,且f(x0)=3,
即f=3,即c-=3、③
若D项正确,则f(2)=8,即4a+2b+c=8、④
假设②③④正确,则由②得b=-2a,代入④得c=8,代入③得8-=3,解得a=5,b=-10,c=8、此时f(x)=5x2-10x+8,f(-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A不成立、
故B,C,D可同时成立,而A不成立、故选A、
答案:A
第Ⅱ卷(非选择题共70分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分、把答案填在题中的横线上)
11、(2015·湖南高考)(x-1)d x=、
解析:(x-1)d x==0、
答案:0
12、(2015·天津高考)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为、
解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S、
由故所求面积S=(x-x2)d x=、
答案:
13、(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值就是、
解析:由曲线y=ax2+过点P(2,-5),
得4a+=-5、①
又y'=2ax-,
所以当x=2时,4a-=-,②
由①②得所以a+b=-3、
答案:-3
14、(2014·安徽高考)若直线l与曲线C满足下列两个条件:
(1)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;
(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C、
下列命题正确的就是(写出所有正确命题的编号)、
①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3
②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2
③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x
④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x
⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x
解析:由题意结合函数的图象知,①③④满足条件,而②⑤中曲线在点P附近都在切线的同一边,故不满足条件、
答案:①③④
15、(2015·陕西高考)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为、
解析:以梯形的下底为x轴,上、下底边的中点连线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=,故抛物线的方程为y=x2、
最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为=16,而当前的截面面积为2d x=2,故原始流量与当前流量的比为=1、2、
答案:1、2
三、解答题(本大题共5小题,共50分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、(本小题8分)(2014·山东高考)设函数f(x)=-k(k为常数,e=2、718 28…就是自然对数的底数)、
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围、
解:(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)、
f'(x)=-k
=、
由k≤0可得e x-kx>0,
所以当x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增、
所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞)、
(2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;
当k>0时,设函数g(x)=e x-kx,x∈[0,+∞)、
因为g'(x)=e x-k=e x-e ln k,
当0<k≤1时,当x∈(0,2)时,g'(x)=e x-k>0,y=g(x)单调递增,
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;
当k>1时,得x∈(0,ln k)时,g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减,
x∈(ln k,+∞)时,g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增、
所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k)、
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,
当且仅当解得e<k<、
综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为、
17、(本小题10分)(2015·北京高考)已知函数f(x)=ln 、
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值、
解:(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
所以f'(x)=,f'(0)=2、
又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x、
(2)令g(x)=f(x)-2,
则g'(x)=f'(x)-2(1+x2)=、
因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增、
所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),
即当x∈(0,1)时,f(x)>2、
(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立、
当k>2时,令h(x)=f(x)-k,
则h'(x)=f'(x)-k(1+x2)=、
所以当0<x<时,h'(x)<0,
因此h(x)在区间上单调递减、
当0<x<时,h(x)<h(0)=0,
即f(x)<k、
所以当k>2时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立、
综上可知,k的最大值为2、
18、(本小题10分)(2015·广东高考)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a、
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;
(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O就是坐标原点),证明:m≤-1、
解:(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(1+x2)'e x+(1+x2)(e x)'=(1+x)2e x≥0, 故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间、
(2)∵a>1,
∴f(0)=1-a<0,且f(a)=(1+a2)e a-a>1+a2-a>2a-a=a>0、
∴函数f(x)在区间(0,a)上存在零点、
又由(1)知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点、
(3)由(1)及f'(x)=0,得x=-1、
又f(-1)=-a,即P,
∴k OP==a-、
又f'(m)=(1+m)2e m,∴(1+m)2e m=a-、
令g(m)=e m-m-1,则g'(m)=e m-1,
∴由g'(m)>0,得m>0,由g'(m)<0,得m<0、
∴函数g(m)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增、
∴g(m)min=g(0)=0,即g(m)≥0在R上恒成立,
即e m≥m+1、
∴a-=(1+m)2e m≥(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即≥1+m、
故m≤-1、
19、(本小题10分)(2015·重庆高考)设函数f(x)=(a∈R)、
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围、
解:(1)对f(x)求导得f'(x)=、
因为f(x)在x=0处取得极值,
所以f'(0)=0,即a=0、
当a=0时,f(x)=,f'(x)=,
故f(1)=,f'(1)=,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(x-1),化简得3x-e y=0、
(2)由(1)知f'(x)=、
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=,x2=、
当x<x1时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数;
当x1<x<x2时,g(x)>0,即f'(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f'(x)<0,故f(x)为减函数、
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,
故a的取值范围为、
20、(本小题12分)(2014·福建高考)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1、
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2<e x;
(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x、解法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a、
又f'(0)=1-a=-1,得a=2、
所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2、
令f'(x)=0,得x=ln 2、
当x<ln 2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x>ln 2时,f'(x)>0,f(x)单调递增、
所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,
且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,
f(x)无极大值、
(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x、
由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0,
故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,
因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x、
(3)①若c≥1,则e x≤c e x、
又由(2)知,当x>0时,x2<e x、
所以当x>0时,x2<c e x、
取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x、
②若0<c<1,令k=>1,要使不等式x2<c e x成立,只要e x>kx2成立、
而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立、
令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-、
所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增、
取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,
又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,
易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0、
即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x、
综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x、
解法二:(1)同解法一、
(2)同解法一、
(3)对任意给定的正数c,取x0=,
由(2)知,当x>0时,e x>x2,所以e x=,
当x>x0时,e x>x2,
因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x、
解法三:(1)同解法一、
(2)同解法一、
(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<e x、
证明如下:
令h(x)=x3-e x,则h'(x)=x2-e x、
由(2)知,当x>0时,x2<e x,
从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)单调递减,
所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<e x、
取x0=,当x>x0时,有x2<x3<e x、
因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x、。