2021届高考数学一轮复习 第八章60定点、定值、探索性问题 练案【含解析】

2021届高考数学一轮复习 第八章60定点、定值、探索性问题 练案
【含解析】
A 组基础巩固
一、单选题
1．(2020·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率3
2，则双
曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为( D )
A ．2
B ． 3
C ． 2
D ．
52
[解析] 椭圆离心率e 1＝c a ＝
32
， ∴e 2
1
＝1－b 2a 2＝34，即b 2a 2＝1
4
，
∴双曲线的离心率e ＝c
a ＝
1＋b 2a 2＝5
2
.故选D. 2．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π
3，记椭
圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1
e 22
＝( A )
A ．4
B ．2 3
C ．2
D ．3
[解析] 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，不妨设点P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝
2π3
，所以在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 2
1
＋a 22＝4c 2，两边同除以c 2
，得3e 21＋1e 22
＝4.故选A.
3．直线l 与抛物线C ：y 2
＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝2
3
，则直线l 过定点( A )
A ．(－3,0)
B ．(0，－3)
C ．(3,0)
D ．(0,3)
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 2
2＝2x 2，所
以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2
＝2x 得y 2
－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．
4．(2019·长春监测)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
＝1的左、右焦点，
P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( A )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．12
[解析] 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.故选A.
5．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上存在两点M 、N 关
于直线2x －3y －1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为2
3
，则椭圆C 的离心率是( B )
A ．13
B ．
33
C ．23
D ．223
[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21
b 2＝1，
x 22a 2＋y 22
b 2＝1，两式相减可得 x 1＋x 2
x 1－x 2
a
2
＋
y 1＋y 2
y 1－y 2
b
2
＝0，
即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2
. ∵线段MN 中点的纵坐标为23，∴2x －3×2
3
－1＝0，
解得x ＝32，于是－32＝－b 2a 2·94，解得b 2
a 2＝2
3，
∴椭圆C 的离心率e ＝
1－b 2a 2＝3
3
，故选B. (或直接利用性质k MN ·k OP )＝－b 2
a
2，其中P 为线段MN 的中点)．
6．(2020·福建莆田质检)已知直线l 过抛物线C ：x 2
＝6y 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →
，则|AB |＝( A )
A ．8
B ．9
C ．11
D ．16
[解析] 过A 作准线的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AH |， 又AF →＝FP →
，∴|AH |＝12|AP |，
∴k AP ＝
33，又F (0，3
2
)， ∴AB 的方程为y ＝
33x ＋3
2
， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝33x ＋3
2x 2＝6y
，得y 2
－5y ＋94
＝0，∴y A ＋y B ＝5，
∴|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝5＋3＝8，故选A.
7．(2020·广东惠州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点
为B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，点P 为椭圆上的任意一点，则
1
|PF 1|＋
1
|PF 2|
的取值范围是( D )
A ．[1,2]
B ．[2，3]
C ．[2，4]
D ．[1,4]
[解析] 由已知得2b ＝2，故b ＝1， ∵△F 1AB 的面积为2－3
2
，
∴12(a －c )b ＝2－32
，∴a －c ＝2－3， 又a 2
－c 2
＝(a －c )(a ＋c )＝b 2
＝1，∴a ＝2，c ＝3，
∴
1
|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a |PF 1|4－|PF 1|＝4－|PF 1|2
＋4|PF 1|， 又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2
＋4|PF 1|≤4， ∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4.
即
1
|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．故选D. 二、多选题
8．已知双曲线C 上的点到(2,0)和(－2,0)的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是( AC )
A ．C 的标准方程为x 2
－y 2
3＝1
B ．
C 的渐近线方程为y ＝±2x C ．C 的焦点到渐近线的距离为 3
D ．圆x 2
＋y 2
＝4与C 恰有两个公共点
[解析] 根据双曲线的定义，c ＝2,2a ＝2，得a ＝1，b ＝3，所以C 的方程为x 2
－y 2
3＝1，
A 正确；渐近线为y ＝±3x ，
B 错；双曲线
C 的一个焦点为(2,0)，到渐近线的距离为
|±23|
1＋3＝3，C 正确；圆x 2
＋y 2
＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点为(±1,0)，可知圆与双曲线的公共点有4个，D 错误．
9．已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，
B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是
( BCD )
A ．1|AF |＋1|BF |＝1
B ．|AF |＝6
C ．|B
D |＝2|BF |
D ．F 为AD 的中点
[解析] 由题意知直线l 的方程为y ＝3(x －p
2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2px y ＝3x －p 2得3x 2
－5px ＋
3p 2
4＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3
， ∴|AB |＝5p 3＋p ＝8p 3＝8，∴p ＝3.∴4x 2
－20x ＋9＝0解得x A ＝92，x B ＝12，∴|AF |＝x A ＋p 2＝
6，|BF |＝2，∴1|AF |＋1|BF |＝2
3
，A 错，B 正确；作BH 垂直准线于H ，则∠HBD ＝60°，∴|BD |
＝2|BH |＝2|BF |，C 正确；又x D ＝－32，则x D ＋x A 2＝92－
322＝3
2＝x F ，∴F 为AD 的中点，D 正确；
故选BCD.
三、填空题
10．(2019·山西重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲
线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为__3__.
[解析] 由题意知，e ＝c
a
＝
1＋b 2a
2＝2⇒b 2＝3a 2
， 则双曲线方程可化为3x 2
－y 2
＝3a 2
，
设A (m ，n )，M (x ，y )(x ≠±m )，则B (－m ，－n )，
k 1·k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2
x 2－m 2
＝3.
11．直线m 与椭圆x 2
2
＋y 2
＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为
k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 －12
.
[解析] 由点差法可求出k 1＝－12·x 中
y 中，
∴k 1·
y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12
. 12．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交
y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝__6__.
[解析] 依题意知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )位于第一象限，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.
四、解答题
13．(2020·河南顶尖名校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，以A 为圆
心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为(0,3)，(0，－1)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于两点，且AP →·AQ →
＝0，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．
[解析] (1)依题意知A 的坐标为(0，b )，
则以点A 圆心，以a 为半径的方程为x 2＋(y －b )2＝a 2
， 令x ＝0得y ＝b ±a ，
由圆A 与y 轴的交点分别为(0,3)，(0，－1)．
可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋a ＝3，b －a ＝－1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，
故所求椭圆C 的标准方程为x 2
4＋y 2
＝1. (2)由AP →·AQ →＝0得AP →⊥AQ →， 可知PA 的斜率存在且不为0. 设直线l PA ：y ＝kx ＋1① 则l QA ：y ＝－1
k
x ＋1②
将①代入椭圆方程并整理，得(1＋4k 2)x 2
＋8kx ＝0， 可得x P ＝－8k 1＋4k 2，则y P ＝1－4k
2
1＋4k 2.
同理，可得x Q ＝8k k 2＋4，y Q ＝k 2
－4
k 2＋4
.
由直线方程的两点式，得直线l 的方程为y ＝k 2－15k x －3
5
，
即直线l 过定点，该定点的坐标为(0，－3
5
)．
14．(2019·山东滨州市期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点M (－1，3
2
)在椭圆C 上，
椭圆C 的离心率是1
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，
AQ 斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝－1
4
，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，
若不过定点，请说明理由．
[解析] (1)由点M (－1，32)在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率是1
2
，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
1
a 2
＋9
4b
2＝1c a ＝1
2
，解得：⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4b 2
＝3
c 2＝1
，
故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
(ⅰ)当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：P (1，3
2)，Q (1，
－32
)， (ⅱ)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3
＝1，y ＝kx ＋m
消去y 得：
(4k 2
＋3)x 2
＋8kmx ＋(4m 2
－12)＝0，
由Δ＝64k 2m 2
－4(4k 2
＋3)(4m 2
－12)＝48(4k 2
－m 2
＋3)>0， 有4k 2
＋3>m 2，
由韦达定理得：x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2
－124k 2＋3，
故k 1k 2＝
y 1y 2
x 1＋2
x 2＋2＝－1
4
，可得：
4y 1y 2＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝0，
可得：4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝0， 整理为：(4k 2
＋1)x 1x 2＋(4km ＋2)(x 1＋x 2)＋4m 2
＋4＝0， 故有(4k 2
＋1)4m 2－124k 2＋3－(4km ＋2)8km 4k 2＋3
＋4m 2
＋4＝0，
化简整理得：m 2－km －2k 2
＝0，解得：m ＝2k 或m ＝－k ， 当m ＝2k 时直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2k ， 即y ＝k (x ＋2)，过定点(－2,0)不合题意，
当m ＝－k 时直线PQ 的方程为y ＝kx －k ，即y ＝k (x －1)，过定点(1,0)， 综上，由(ⅰ)(ⅱ)如，直线PQ 过定点(1,0)．
B 组能力提升
1．(2019·大连模拟)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于( A )
A ．－4
B ．4
C ．p 2
D ．－p 2
[解析] ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 2
4
；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，
可设直线AB ：y ＝k (x －p
2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2
p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 2
4
.∵y 2
1＝2px 1，
y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2
.故
y 1y 2x 1x 2
＝－4. 2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →
时，其离心率为5－12，此类
椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( A )
A ．
5＋1
2
B ．
5－1
2
C.5－1 D ．5＋1
[解析] 椭圆中“和”对应双曲线中“差”，故选A.事实上，设“黄金双曲线”方程为x 2
a 2
－y 2
b
2＝1， 则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)． 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →
＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →
＝(－a ，b )．
所以b 2
＝ac .而b 2
＝c 2
－a 2
，所以c 2
－a 2
＝ac . 在等号两边同除以a 2
，解得e ＝
5＋1
2
. 3．(2019·陕西省渭南市模拟)抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF |
|PA |
的最小值是( B )
A ．12
B ．
22
C ．
32
D ．232
[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x ＝－1，
A (－1,0)，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ，
由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结PA ，
|PF ||PA |＝|PN ||PA |
最小⇔∠NAP 最小⇔∠PAF 最大⇔PA 与抛物线y 2
＝4x 相切． 设PA 的方程为：y ＝k (x ＋1)，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋1
y 2
＝4x ，
解得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2
＝0，
所以Δ＝(2k 2
－4)2
－4k 4
＝0，解得k ＝±1， 所以∠NPA ＝45°，
|PF ||PA |＝cos ∠NPA ＝2
2
，故选B. 4．(2019·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2
＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是__(9,0)__.
[解析] 设直线l
的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋n ，
y 2
＝4x ，得y 2
－4my －4n ＝0，∴
⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0)．
5．(2020·江西临川一中月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率3
2
，一个长轴顶点在
直线y ＝x ＋2上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k 1，直线
OQ 的斜率为k 2.
(1)求该椭圆的方程．
(2)若k 1·k 2＝－1
4，试问△OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说
明理由．
[解析] (1)由e ＝c a ＝
3
2
，又由a >b >0， 一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上， 可得：a ＝2，c ＝3，b ＝1，
故此椭圆的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得：(4k 2
＋1)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0，
由Δ＝64k 2m 2
－4(4k 2
＋1)(4m 2
－4)>0， 可得m 2
<4k 2＋1，
则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2
－4
4k 2＋1，
|PQ |＝1＋k 2
·|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·
x 1＋x 2
2
－4x 1·x 2
＝41＋k 2·4k 2
－m 2
＋1
4k 2
＋1 又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝
|m |1＋k
2
，
S △OPQ ＝12·d ·|PQ |＝2|m |·4k 2
－m 2
＋14k 2
＋1
， 由于k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝－14
，
可得：4k 2
＝2m 2
－1，
故S △OPQ ＝2|m |·2m 2
－1－m 2
＋1
2m
2
＝1， 当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1， 故△OPQ 的面积为定值1.
6．(2020·广、深、珠三校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，且经过
点(－1，
3
2
)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
[解析] (1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋3
4b
2＝1， 又a 2
－b 2
＝c 2
， 解得a 2
＝4，b 2
＝1.
所以，椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1，
(2)存在定点Q (433
，0)，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称． 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，
整理得，(4＋m 2)y 2
－23my －1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)．(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)
则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m
4＋m 2， y 1y 2＝－1
4＋m
2. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数．
所以，y 1
x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，
即得y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0.
又x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0，
所以，y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0，
整理得，(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0.
从而可得，(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m
2＝0， 即2m (4－3t )＝0，
所以，当t ＝433，即Q (433
，0)时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q (433，0)也符合题意．综上所述，存在x 轴上的定点Q (433
，0)，满足直线QA 与直线QB 关于x 轴对称．。