【苏科版】高中数学必修一期末一模试题(含答案)

一、选择题
1．若函数2
()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
2．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -
=+成立，并且当
01x ≤≤时，()2
f x x =.则方程()02019
x
f x -
=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019
C ．1010
D ．1009
3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，
lg 20.30≈）（ ）
A ．2020年
B ．2021年
C ．2022年
D ．2023年
4．函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的大致图象是（ ）. A ． B ．
C ．
D ．
5．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >
C ．1ac =
D ．01ac <<
6．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．(0,1)
C ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．[
)3,+∞ 7．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
A ．1()()2
x
f x =
B ．()lg f x x =
C ．()f x x =-
D ．1()f x x
=
8．已知函数()32f x x =-，2
()2g x x x =-，(),()()
()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩
，则（ ）
A ．()F x 的最大值为3，最小值为1
B ．()F x 的最大值为2
C ．()F x 的最大值为7-，无最小值
D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1
9．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．1y x
=
B ．y =
C ．2x y =
D ．||y x x =-
10．已知集合{}
,M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）
①1
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11．已知集合123,,A A A 满足: {}*12
3|19A A A x N x =∈≤≤,且每个集合恰有3个元素,
记()1,2,3i A i =中元素的最大值与最小值之和为()1,2,3i M i =,则123M M M ++的最小值为（ ） A ．21
B ．24
C ．27
D ．30
12．设U 为全集，(
)U
B A B =，则A B 为（ ）
A ．A
B ．B
C ．
U
B D ．∅
二、填空题
13．关于x 的方程()1
42650x
x k k k +⋅-⋅+-=在区间[0]1，
上有解，则实数k 的取值范围是________．
14．已知函数21(0)
()(1)(0)
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数
根，则实数a 的取值范围是_______________． 15．下列命题中所有正确的序号是___________．
①函数()1
3x f x a
-=+()1a > 在R 上是增函数；
②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③已知()f x =538x ax bx ++-，且()28f -=，则(2)8f =-； ④11
()122
x
f x =
--为奇函数．
16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,
()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩
则方
程1
()2
f x =
的所有实根之和为________. 17．下列给出的命题中：
①若()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =+-一定是偶函数；
②若()f x 是定义域为R 的奇函数，对于任意的x ∈R 都有()(2)0f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称；
③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；
④若1
()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则12
a >； 其中正确的命题序号是__________．
18．函数()()122x x f x x N +⎡⎤⎡⎤
=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
的值域为_______（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）
19．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”. （1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1
A x
∈.
给出以下命题：
①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；
⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈；
其中真命题的序号是________.
20．设集合A 、B 是实数集R 的子集，[2,0]A
B =-R
，[1,2]B
A =R
，
()()[3,5]A B =R R ，则A =________
三、解答题
21．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足
60万箱时，()2
1502
p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()6400
1011860p x x x
=+
-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
22．已知函数()()2
2
()1,20f x ax x g x x bx x =-+=+->，
()()()51
01
x h x f x x x -=-
<-． （1）()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，若函数()g x 的图象上存在,A B 两个不同的点与()h x 图象上的''
,A B 两
点关于y 轴对称，求实数b 的取值范围． 23．计算：
（1）1
ln 2
24()9
e
-+； （2）()2
23lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.
24．（Ⅰ）)
23
2
1812-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
；
（Ⅱ）解关于x 的不等式：
12
a
a x >--. 25．对于区间[,]a
b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②
函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.
（1）求函数2
(0)y x x =≥的所有“不变”区间；
（2）函数2
(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若
不存在，请说明理由.
26．已知集合{|314}A x x =-<+，{|213}B x m x m =-<+． （1）当1m =时，求A
B ；
（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由()0f x =可得出2
x x a =-，将问题转化为曲线2y
x 与曲线y x a =-有4个交点，
数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】
由()0f x =可得出2
x x a =-，作出函数2y
x 与函数y x a =-的图象如下图所示：
,,x a x a y x a x a x a
-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2
f x x x a =--有4个零点，
则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2
y x 的图象有两个交点， 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩
可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()2
1f x x x x
x =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，
此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,4
4⎛⎫⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
2．A
解析：A 【分析】
由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程()02019
x
f x -=的根的个数. 【详解】 对任意实数x 都有
f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ） ∴f （x +2）＝f （x ）
∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]
0,1． 方程()02019x f x -
=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019
x
=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019
x
=无交点，
由图像可得二者的交点个数为2020个 故选A 【点睛】
本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．
3．C
解析：C 【分析】
由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案. 【详解】
若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元， 由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>， 所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4， 所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元， 故选：C. 【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.
4．A
解析：A 【分析】
去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】
由函数解析式可得：
1,022,0x
x x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩
可得值域为：01y <≤， 由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．D
解析：D 【分析】
作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有
()()()f a f c f b >>，
∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.
6．C
解析：C 【分析】
根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】
因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，
因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23
<a ， 综上023
a <<． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．
7．C
解析：C 【分析】
根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案. 【详解】
A. 1()()2
x f x =，非奇非偶函数，排除；
B. ()lg ||lg ||()f x x x f x -=-==，函数为偶函数，排除；
C. ()()f x x f x -==-，函数为奇函数，且单调递减，正确；
D. 1
()()f x f x x
-=-=-，函数为奇函数，在[1,0)-和(0,1] 单调递减，排除. 故选：C 【点睛】
熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.
8．C
解析：C 【分析】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图
然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，
所以由232||2x x x -=-得2x =+2x =-
结合函数图象可知当2x =-()F x 有最大值7-，无最小值．
故选：C ．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得
27x =+或27x =-.
9．D
解析：D 【分析】
利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A 中，函数1y x =
，由幂函数性质知1
y x
=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误； 选项B 中，函数y x =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内
是增函数，故错误；
选项C 中，指数函数2x
y =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；
选项D 中，函数22,0
,0
x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，
当0x >时，0x -<，故22
(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-，
当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，
当0x <时，0x ->，故22
(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，
综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2
()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减
函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，
分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.
10．C
解析：C 【分析】
①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算
.
【详解】
①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，
3=
=
3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，
21
22==-
，
1a ∴+=，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，
④
2
426=+=
而(2
2222a a b +=++，
,a b Q ∈，
(2
a ∴+是无理数，
不是集合M 中的元素，
只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
11．C
解析：C 【分析】 求出{}{}*1
2
3|191,2,3,4,5,6,7,8,9A A A x N x =∈≤≤=，由题意列举出集合
123,,A A A ，
由此能求出123M M M ++的最小值. 【详解】 由题意可知，{}{}*1
2
3|191,2,3,4,5,6,7,8,9A A A x N x =∈≤≤=
123,,A A A 各有3个元素且不重复，当{}13,4,5A =，{}22,6,7A =，{}31,8,9A =时， 123M M M ++取得最小值，此时最小值为12357927+++++=，
故选C
【点睛】
本题主要考查集合中的元素运算，解题的关键是理解题中满足的条件，属于中档题. 12．D
解析：D
【分析】
根据题意作出“韦恩图”，得出集合A 与集合B 没有公共元素，即可求解.
【详解】
由题意，集合U 为全集，()U B A B =，
如图所示，可得集合A 与集合B 没有公共元素，即A
B =∅， 故选D.
【点睛】
本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据题设条件，作出韦恩图确定两集合的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】换元：令则原方程化为根据题意问题转化为此方程在上有零点根据二次函数零点的判定方法即可求得结论【详解】解：令则∴方程化为：根据题意此关于t 的一元二次方程在上有零点整理得：方程当时存在实数解∴当
解析：[5]6，
【分析】
换元：令2x t =，则[12]t ∈，，原方程化为()2
2650k t k t k ⋅-⋅+-=，根据题意，问题转化为此方程在[1
]2，上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论． 【详解】
解：令2x t =，则[1
2]t ∈，， ∴方程()142650x x k k k +⋅-⋅+-=，化为：()22650k t k t k ⋅-⋅+-=，
根据题意，此关于t 的一元二次方程在[1
]2，上有零点， 整理，得：方程2
2630()k t t -+=，当[12]t ∈，时存在实数解
∴23026k
t t =-+，当[12]t ∈，时存在实数解 ∵()22261556[]t t t -+=-+∈，
∴2303030,[5,6]2665k t t ⎡⎤=∈=⎢⎥-+⎣
⎦ 故答案为：[5]6，
【点睛】
本题以指数型二次方程为例，考查了根的存在性及函数零点的知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离思路的应用，它可以化繁为简、化难为易．
14．【分析】作出函数图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点数形结合即可得解【详解】作出函数的图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考
解析：1
[,1)2
.
【分析】 作出函数图象，关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，即()f x 图象与直线y ax =有三个不同的公共点，数形结合即可得解.
【详解】
作出函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，，
的图象，关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，
即()f x 图象与直线y ax =有三个不同的公共点
由图可得：1[,1)2
a ∈
【点睛】
此题考查方程的根的问题，根据函数图象，数形结合求解，需要熟练掌握常见基本初等函数的图象和性质，准确作出函数图象求解.
15．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成
解析：①④
【分析】
根据指数的运算性质01(0a a =>且1)a ≠恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出()2f ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④
【详解】
解：当1x =时，101(0x a a a -==>且1)a ≠恒成立，故f （1）4=恒成立，故函数1()3(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象一定过定点(1,4)P ，故①正确；
函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(0,2)，故②错误；
已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则()224f =-，故③错误； 11()122x f x =--的定义域为{|0}x x ≠， 且112111()()122212212
x x x x f x f x ---=-=-=-=----，故()f x 为奇函数，故④正确； 故答案为：①④
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
16．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根 解析：21-
【分析】
画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解.
【详解】
根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：
由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =
的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2
f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根，
此时()21log 12x +=，解得1x =.
1.
【点睛】
本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题. 17．①③④【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数转化为熟悉的函数判断【详解】①函数的定义域为所以函数的定义域也是即所以函数是偶函数故①正确；②对
解析：①③④
【分析】
①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数，转化为熟悉的函数判断.
【详解】
①函数()f x 的定义域为R ，所以函数()g x 的定义域也是R ，
()()()g x f x f x -=-+，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，故①正确； ②对应任意的x ∈R ，都有()()20f x f x +-=，即函数()f x 关于()1,0对称，并不关于1x =对称，故②不正确；
③函数0y =既是偶函数又是奇函数，故③正确；
④()()212112222
a x a ax a f x a x x x ++-+-===++++，若函数在()2,-+∞上单调递增，则120a -<，解得：12
a >
，故④正确. 故答案为：①③④
【点睛】 方法点睛：函数的对称性包含中心对称和轴对称，一般判断的方法包含：1.若对函数()y f x =的定义域内的任一自变量x 的值都有()()2f x f a x =-，则()y f x =的图象关于x a =成轴对称；
若对函数()y f x =的定义域内的任一自变量x 的值都有()()22f x b f a x =--，则
()y f x =的图象关于(),a b 成中心对称；
18．【分析】由题设中的定义可对分区间讨论设表示整数综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设表示整数①当时此时恒有②当时此时恒有③当时此时恒有④当时此时此时恒有综上可知故答案为：【点睛】此题是新定义一个 解析：{}0,1
【分析】
由题设中的定义，可对x 分区间讨论，设m 表示整数，综合此四类即可得到函数的值域
【详解】
解：设m 表示整数．
①当2x m =时，1[0.5]2x m m +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，[]2x m m ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
． ∴此时恒有0y =．
②当21x m =+时，1[1]12x m m +⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，[0.5]2x m m ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦
． ∴此时恒有1y =．
③当221m x m <<+时，
21122m x m +<+<+
0.52
x m m ∴<<+ 10.512x m m ++<
<+ 2x m ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦，12x m +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∴此时恒有0y =
④当2122m x m +<<+时，
22123m x m +<+<+
0.512
x m m ∴+<<+ 11 1.52
x m m ++<<+ ∴此时2x m ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，112x m +⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
∴此时恒有1y =．
综上可知，{}0,1y ∈．
故答案为：{}0,1．
【点睛】
此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解[]x 表示数x 的整数部分，考察了分
析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想
19．③④⑤【分析】取结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用好集合的定义可判断③④的正误；由可推导出再结合（1）可判断⑤的正误【详解】对于命题①但①错误；对于命题②但②错误；对于命题③
解析：③④⑤
【分析】
取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断
⑤的正误.
【详解】
对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误； 对于命题②，2Z ∈，但12
Z ∉，②错误； 对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，③④正确；
对于命题⑤，当y A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈，
当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确.
故答案为：③④⑤.
【点睛】
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
20．【分析】根据条件可得结合的意义可得集合【详解】因为集合是实数集的子集若则但不满足所以因为所以所以有又因为表示集合的元素去掉集合中的元素表示A 集合和B 集合中的所有元素所以把中的元素去掉中元素即为所求的 解析：(,1)(2,3)(5,)-∞+∞
【分析】
根据条件()()[3,5]A B =R R 可得()(),35,A B =-∞+∞，结合[1,2]B A =R 的意义，可得集合A .
【详解】
因为集合A 、B 是实数集R 的子集，若A B =∅,则[2,0]A B A =-=R ，
[1,2]B
A B ==R ，但不满足()()[3,5]A B =R R ，所以A B ⋂≠∅. 因为()()[3,5]A B =R R ,所以()()()[3,5]A
B A B ==R R R ，所以有()(),35,A B =-∞+∞.
又因为[1,2]B A =R 表示集合B 的元素去掉集合A 中的元素，
()
(),35,A B =-∞+∞表示A 集合和B 集合中的所有元素，所以把()
(),35,A B =-∞+∞中的元素去掉[1,2]B A =R 中元素，即为所求的集合A ，所以(,1)
(2,3)(5,)A =-∞+∞.故答案为(,1)(2,3)(5,)-∞+∞.
【点睛】 本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.
三、解答题
21．（1）2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；（2）80万箱. 【分析】
（1）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；
（2）分060x <<和60x ≥两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润y 的最大值及其对应的x 值，综合可得出结论.
【详解】
（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭
； 当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛
⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以，2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
； （2）当060x <<时，221150400(50)85022
y x x x =-
+-=--+， 当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元； 当60x ≥
时，6400146014601300y x x ⎛⎫=-+
≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400x x
=时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元. 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.
【点睛】
思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
22．（1）14a >
；（2
）51b <<. 【分析】
（1）讨论0a =、0a >、0a <满足恒成立情况下a 的取值范围，取并集；
（2）由题意知()g x 关于y 轴对称的函数为()k x 必与()h x 在0x <上有两个不同的交点，利用二次函数的性质求b 的取值范围．
【详解】
（1）当0a =时，()1f x x =-，在()1,3x ∈上有()(2,0)f x ∈-，故不符题意； 若0a ≠有()f x 对称轴为12x a
=，14a ∆=-，要使()()1,3,0x f x ∀∈>恒成立， 当0a >时，102a >且(1)0f a => ，即∆<0或112a ≤或132(3)0
a f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得14a >； 当0a <时，102a
<，即仅需(3)0f ≥即可，无解； 综上，有14a >
； （2）0x <时，()g x 关于y 轴对称的函数为2()2k x x bx =--，由题意知()h x 与()
k x 有两个不同的交点.
由1a =时，()25111
x h x x x x -=-+--，令()()k x h x =，整理得2(1)(1)20b x b x --+-=，
∴令2()(1)(1)2t x b x b x =--+-，即()t x 在0x <上有两个不同的零点，而
(0)20t =-<，
∴()
()()210
1{0211810
b b x b b b -<+=<-∆=++->
，解得51b <<，
【点睛】
思路点睛：()g x 存在两点关于y 轴对称点在()h x 上，将其转化为函数交点问题. 确定()g x 关于y 轴对称的函数解析式()k x .
有()h x 、()k x 有两个不同交点.
结合二次函数的性质求参数的范围.
23．（1）
32；（2）3. 【分析】
（1）利用指对数运算对数恒等式直接得解
（2）利用对数运算及换底公式得解.
【详解】
（1
）1ln 22433()22922
e
-++=+-=， （2）223(lg 2)lg 5lg 20log 3log 4+⋅+⋅.
22(lg 2)lg 5(1lg 2)log 4(lg 2)(lg 2lg 5)lg 52=+⋅++=+++lg 2lg523=++=
【点睛】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=
24．（Ⅰ）2；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用指数幂的运算性质，即可得出结果.
（Ⅱ）将分式不等式化简转化为()()()122020
a x a x x ⎧⎡⎤-+-->⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩，分类讨论1a -，解一元二次不等式即可得出结果.
【详解】
解：（Ⅰ）原式
)23201812-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
()()2
332431ππ=-+--+
443π1π2=-+--+=. （Ⅱ）
12a a x >--，则()102a a x -->-， 即()()1202a x a x -+->-，即()()()122020
a x a x x ⎧⎡⎤-+-->⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩，
①当10a -=，即1a =时，不等式为20x ->，解集为()2,+∞；
②当10a ->，即1a >时，原不等式与()2201a x x a ⎡
-⎤⎛⎫--> ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
同解， 当
221a a -≥-，即01a ≤<时，与1a >矛盾，故此情况不存在； 当221a a -<-，即0a <或1a >时，即1a >时，不等式的解集为()2,2,1a a -⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪-⎝⎭
； ③当10a -<，即1a <时，原不等式与()2201a x x a ⎡
-⎤⎛⎫--> ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
同解， 当221a a ->-，即01a <<时，不等式的解集为22,1a a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭
； 当221
a a -=-，即0a =时，不等式无解，即解集为∅； 当221
a a -<-，即0a <或1a >时，即0a <时，不等式的解集为2,21a a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 所以，综上所述：
当1a >时，解集为()2,2,1a a -⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪-⎝⎭
， 当1a =时，解集为()2,+∞，
当01a <<时解集为22,1a a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭
， 当0a =时，解集为∅，
当0a <时，解集为2,21a a -⎛⎫
⎪-⎝⎭. 【点睛】
本题考查利用指数幂的运算性质进行化简求值，考查含参数的分式不等式的解法和一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想和计算能力.
25．（1）[]0,1；（2）104m ≤<
. 【分析】
1）由函数2
y x 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a a b b ⎧=⎨=⎩求解； （2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2
(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m a b m b ⎧+=⎨+=⎩，
消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解.
【详解】
（1）因为函数2y x 在[0,)+∞上是增函数，
所以22a a b b
⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =， 因为a b <，
所以 0,1a b ==，
所以函数的 “不变”区间是[]0,1；
（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，
因为函数2
(0)y x m x =+≥单调递增， 所以22a m a b m b
⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=， 因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-，
所以10a a ->≥，解得102a ≤<
， 所以2
21124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭， 所以104
m ≤<， 所以实数m 的取值范围是104m ≤<
【点睛】
关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围.
26．（1）{|13}A B x x ⋂=；（2）3(2
-，0][4⋃，)+∞． 【分析】
（1）当1m =时，求出集合B ，A ，由此能求出A B ．
（2）由A B A ⋃=，得B A ⊆，当B =∅时，213m m -+，当B ≠∅时，21321433m m m m -<+⎧⎪->-⎨⎪+⎩
，由此能求出m 的取值范围．
【详解】
解：（1）当1m =时，{|14}B x x =<，
{|314}{|43}A x x x x =-<+=-<，
{|13}A B x x ∴⋂=．
（2）A B A =，B A ∴⊆，
当B =∅时，213m m -+，解得4m ，
当B≠∅时，
213
214
33
m m
m
m
-<+
⎧
⎪
->-
⎨
⎪+
⎩
，解得
3
2
m
-<，
综上，m的取值范围为
3
(
2
-，0][4
⋃，)
+∞．
【点睛】
结论点睛：本题考查交集、实数的取值范围的求法，
并集、交集的结论与集合包含之间的关系：A B A B A
=⇔⊆，A B A A B
⋂=⇔⊆．。