【数学】高二数学下学期期中试题文2

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【关键字】数学
湖南省株洲市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1．设集合 A {1, 0,1, 2}， B {x | x2 x} ，则集合 A
B
（
B
）
A.{1, 0,1}
B.{1, 2}
C.{0,1, 2}
D.{1,1, 2}
2、设 i 是虚数单位，则复数 2i 1 i
在复平面内所对应的点位于（ A ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象
限 3、若 a b 0 ， c d 0 ，则一定有（
B ）
A. a b
B. d c
a
b
C . a d
c c
b D. d a b c
d
4、“|x －1|<2”是 x<3 的 (
A
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4、若关于 x 的不等式 | ax
2 |
3 的解集为 {x | 5 x 1 3
3
，则 a
【解题提示】求解绝对值不等式。

【解析】由 | ax
2 |
3 得到
3 ax 2
3 ， 1 ax 5 ，又知道解集为 {x |
5 x 1 3
3
所以 a 3 。

5、曲线的极坐标方程 4sin 化为直角坐标为（ ）。

A. x 2 ( y
2) 2
4
B. x 2 ( y 2) 2 4
C. ( x 2) 2 y 2 4
D. ( x 2) 2
y 2
4
x 1 2t
6、若直线的参数方程为
y 2 3t
(t 为参数) ，则直线的斜率为（ ）
2 2
3 A 、 B 、
C 、
3
3
2
D 、 3
2
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x 2 + y = 1 B x 2 + y = 1 C x 2 + y 2 = 1 D ． x 2 + y
2
3 4 4 3 2 2
2 ,2 B ． - ⎦
⎦
x 2 t sin 30
5. 若曲线
y 1 t sin 30
（ t 为参数）与曲线 2 2 相交于 B,C 两点，则 BC 的值
A. 2 7
B. 2 15
C. 7 2
D. 30
7．已知椭圆的一个焦点为 F(0，1)，离心率 e 1
，则该椭圆的标准方程为 ( A )
2
A ． 1 8.若 2x ＋3y ＝1，则 4x 2＋9y 2 的最小值是 （ A ）
1 1 A. B.
2 4
C. 1
D. 29、函数 f ( x )
lg(3x 1)
的定义域是 （ ） 1 x
A ． ( 1 ,1)
B ． ( 1 ,)
C ． ( 1 , 1)
D ． (, 1
)
3 3 3 3 3
10、
11、
y 2 x 212、已知双曲线 a 2 b 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 2 ，且双曲线与抛物线 x 4
3y 的
准线交于 A , B ，
S OAB
3 ，则双曲线的实轴长（ A
）
A ． 2 2
B ． 4 2
C ． 2
D ． 4
12、已知函数 f ( x )
x 2 ax b e x ，当 b 1 时，函数 f ( x ) 在 ,
2 ， 1, + 上均为增函数， 则 a b 的取值范围是（ A ） a 2
A ． 2, 2 1 ,2 C ． , 2
D ． 2 3 3 3 3
12、已知函数 F ( x )
e x 满足 F (x ) g (x ) h (x ) ，
且 g (
x ,) h (x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数，若 x (0, 2] 使得不等式 g (2x ) ah (x ) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（B ）A. (, 2
2)
B. , 2
2
C. 0, 2 2
D. (2 2, )
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．设复数 z 满足i ( z 1) 3 2i ，则 z 的虚部是。

3
14．按流程图
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的程序计算，若开始输入的值为x 3 ，则输出的x 的值是
．231
⎨ ⎩ 输入 x 计算 x
x ( x 1)
的值
2
x
100 ?
否
是
输出结果 x
e x 15．设 g ( x )
, x 0.
则 g (g (0)) _。

0lnx , x 0. 16、函数 y 1
log x 2 的定义域是 。

x 1 2
x 1, (x 0)
11、设 f (x )
, (x 0) ，则 f { f [ f (1)]} 1
； 0, (x 0) x 5 cos
13、椭圆
y 3sin
（ 为参数）的离心率为 。

16、如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，ABC 是边长为 1 的正三角形，曲线CA 1 , A 1 A 2 ,
A 2 A 3
分别是 A , B , C 为圆心， AC , BA 1 , CA 2 为半径画的弧，曲线CA 1 A 2 A 3 称为螺旋线的第一圈；然后
又以 A 为 圆 心 ， AA 3 半 径 画 弧 ， 如 此 继 续 下 去 ， 这 样 画 到 第 n 圈 。

设 所 得 螺 旋 线
CA 1 A 2 A 3
A 3n 2 A 3n 1 A 3n 的总长度为 S n 。

求
A 2
（1） S 1 ＝ ；（2） S n =
B
A A 3
C A 1
（1） 4 （2） n 3n 1
x 2 y 2
16、椭圆C : a 2 b 2
1(a b 0) 的右顶点为 A ， P 是椭圆 C 上一点， O 为坐标原点.已知POA
60 ，且 OP AP ，则椭圆 C 的离心率为 .
【解析】由题意可得
OP OA cos 60
a ， 易得 P ( 1 a ,
3
a ) ，因为 是椭圆 C 上一点，2
4 4
2 所以 1
3a 2
1 ，即 a
2 5b 2 5(a 2 c 2 ) ，所以离心率e 2 5 .
16 16b 2 5 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本题满分 10 分）命题 p : x 2 2 x 3 0; q : |x 3| m ，若 p 是 q 的充分不必要条件，求 m 取值范围。

18．在某校对 30 名女生与 80 名男生进行是否有懒惰习惯进行调查，发现女生中有 15 人有懒惰 习惯，男生中有 50 人有懒惰习惯。

（1）请根据上述数据填写 2×2 列联表； 懒惰 不懒惰 总计 女 男 总计
（2）能否判断懒惰是否与性别有关。

（参考公式： k n (ad
bc ) 2
）
(a b )(c d )(a c )(b d )
临界值表 P ( K 2 k ) 0
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0
10 0.005 0.001 k 0
0.455
0.708 1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）
懒惰 不懒惰 总计 女 15 15 30
男 50 30 80 总计
65
45 110 （2）由列联表的数据可得： k
110 (15
30 50
15)
30 80 65 45
1.410
2.706
没有充分的证据显示，懒惰与性别有关。

19、
“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对 1～8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，
门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正 确回答 出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手 多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示． （1）写出 2× 2 列 联表；判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理 由；（下面的临界值表供参考）
2P (K k 0 ) 0.10 0.05 0.010 0.005
年龄、正
误 正确 错误 合计
20---30 10 30 40 30---40 10 70 8
0 合计 20 10120 k 0
2.706
3.841 6.635 7.879
（2）现计划在这 次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 2 名幸运选
手， 求 2 名幸运选手中恰有一人在 20～30 岁之间的概率．
n (ad bc )2（参考公式： K 2
(a b )(a c )(c d )( d b )
．其中 n a b c d ．）
正
误
年龄 正确 错误 合计 20---30
30---40 合计 （Ⅰ） 2 2 列联表： …………3 分 2 2
K 2 n (ad bc ) 120(10 70 10 30) 3 2.706(a b )(a c )(c d )(d b ) 20 40 80 100所以有 90%的把握认为猜对歌曲名称 与否和年龄有关． -----6 分 (Ⅱ)设事件 A 为 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间，由已知得 20~30 岁之间的人数为 2
人，30~40 岁之间的人数为 4 人， …………8 分 记 20~30 岁之间的 2 人 a,b ，30~40 岁之间的 4 人数为 1．2．3．4;
(a ，b)，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(a ，4)，
(b ，1)，(b ，2)，b ，3)，(b ，4)， (1，2)，( 1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)， (3，4)，
共 15 种可能， …………………………9 分
事件 A 的结果有 8 种，
………10 分
8
则 p ( A )
15
………………12 分
19. （本小题 12 分）已知函数
f ( x ) l n x 1
ax 2 2x 1, a R .
2
(1)若 (2)若 f ( x ) 在 x 2 处的切线与直线 2 x y 0 垂直，求 a 的值； f ( x ) 存在单调递减区间，求 a 的取值范围．
为极点，
1
2x y
21.（本小题12 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
5
2
t
2
5
2
t
2
t为参数
，
若以O x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos．
（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；
1
（2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的2 ，再将所得曲线向左平移1 个单位，得到曲线C1，求曲线C1 上的点到直线l 的距离的最小值．
21.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：
x2 y 2 4x 即：x 2
2
y2 4
直线l 的普通方程为x y 2 5 0 5 分
（2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的，得2x 2
22
y2
4 ，即x
1
2
y
2
1
4
y
2
再将所得曲线向左平移1 个单位，得C1 ：x 1
4
x cos
又曲线C1 的参数方程为
y 2sin（为参数），设曲线
C1上任一点P cos,2sin
cos 2 sin 2 5
2 5
5 sin 10 1
则d p l 2 2
（其中tan ）
2 2
点 P 到直线 l 的距离的最小值为
10 。

12 分
2
19、在平面直角坐标系
xOy 中，圆 C 的参数方程为
x 5 y 3 2 cos t
(t 为参数）,在以 2 sin t
原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线
l 的极坐标方程为 cos( )
4
2, A ，B 两点的极坐标分别为 A (2,
), B (2, ) .
2
（1）求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点 P 是圆 C 上任一点，求△PAB 面积的最小值.
试题解析】（1）由 得
消去参数 t ，得，所以圆 C 的普通方程为
． 由
，得
，即
，
换成直角坐标系为
，
所以直线 l 的直角坐标方程为
． -- -----------6 分
（2）
化为直角坐标为
在直线 l 上，并且 ，
设 P 点的坐标为
，
则 P 点到直线 l 的距离为
，
，所以 面积的最小值是 ----------12 分
19、)甲、乙两所学校高二年级分别有 1 200 人，1 000 人，为了了解两所学校全体 高二年级
学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校
一共抽取了 110 名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：分 [70,80) [80,90) [90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频
3
4
8
1
5 15 x
3
2
分 [70,80
) [80,90
) [90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频 1
2
8
9
10
10
y
3
2 (1)计算 x ，y 的值；
(2)由以上统计数据填写下面的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过
0.10 的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.
n (ad bc )2K
2
(a b )(c d )(a c )(b d ) （注：参照第 5 题的临界值表） 甲校 乙校 总计
优秀
非优秀
总计
1 200
解： (1)从甲校抽取 110×1 200＋1 000
＝60(人)，
1 000
从乙校抽取 110×1 200＋1 000
＝50(人)， 故 x ＝10，y ＝7
……4 分..
(2)表格填写如图，
甲校 乙校 总计
优秀 15 20 35 非优秀 45 30 75 总计
60
50
110
K 2
的观测值 ＝ 110 (15 30 20 45)
60 50 35 75
≈2.829＞2.706，故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为两个学校的数学成绩有差异． (12)
分
18、某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小 组对 2014 年 1 月—2014 年 12 月（一年）内空气质量指数 API 进行监测，下表是在这一年随机 指数 API [0，50] （50， 100] （100， 150] （150， 200] （200， 250] （250， 300] >300 空气质 量 优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中重度污 染 重度污 染 天数
4 13 18 30 9
11
15
（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失 （单位：元）与空气质量指数 （记为
⎨ ⎩ 0, 0 t 100
t ）的关系为：P 4t 400,100 t 300 ，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失
1500, t 300
P 200, 600元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季节，其中有8 天为重度污染，完成2 2 列联表，
并判断是否有95% 的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
节
合计100 下面临界值表供参考．
P(K 2
k)0．15 0．10 0．05 0．02
5
0．01
0．00
5
0．0
01
k2．07
2 2．70
6
3．84
1
5．02
4
6．63
5
7．87
9
10．82
8
参考公式：K 2 n(ad
bc)2
，其中n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
19、18. （本小题满分12 分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生
育的基本国策，完善人口发展战略，全国实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平，为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了200 位30 到40 岁的公务员，得到情况如下表：
男公务员女公务员
生二胎8
04 0
不生二胎4
04 0
（1）是否有990 0 以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；
（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取甲、乙、丙3 位30 到40 岁的男公务员，求这三人中至少有一人要生二胎的概率.
n ad bc 2
附：K 2
a b a d a c b d
P K 2 k 0.05
0.01
0.00
1
k 3.84
16.63
5
10.828
解：（1）由于K 2 n ad
bc
2
a b a d a
c b d
200 80 40 40 402
50
5.556
6.635
120 80 120 80 9
故没有990
以上的把握认为“生二胎与性别有关”.
（2）题意可得，一名男公务员要生二胎的概率为80 2
，
120 3
一名男公务员不生二胎的概率为40 1
，
120 3
记事件A 这三人中至少有一人要生二胎，
则P A1P A11 1 1 26
.
3 3 3 27
n 19、数列{b } 满足
b 1, b b n .
n 1 n 1
1 2b
(1)求 b 2、b 3、b 4 并猜想数列{b n } 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想。

答案：（1） b
1 , b 1 , b 1 , 猜想b
1 . -------------------6 分
2
3 3 5
4 7 n 2n 1
（2）-------------------------12 分 22．（本小题 12 分）已知函数 为奇函数，且在处取得极大 值 2． （1）求的解析式； （2）过点（可作函数 图像的三条切线，求实数的取值范围； （3）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范
围． 解：（1）
为奇函数
在处取得极大值 2 从而
解析式为
（2）设切点为 ，则
消去得
设
，则
在
递
减， 递增
要使过点可作函数
图像的三条切线，则实数 的取值范围为
（3）
1
⎨ y = 2 + t
从而 当
时，
当 时，
设
在递增，
从而
实数 的取值范围为
在直角坐标系 xOy 中，直线C 的参数方程为 x 1 t
(t 为参数），以该直角坐标系的 原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极 轴 的 极 坐 标 系 下 ， 圆 C 2
的方程为
2 c o s 2
3 s i n ．（Ⅰ）求直线C 1 、圆C 2 的普通方程；（Ⅱ）设直线C 1 和圆C 2的交点为 A 、 B ，求弦 AB 的长
【考点】极坐标方程,参数和普通方程互化 【试题解析】（Ⅰ）的普通方程为
，
圆心 ；
（Ⅱ）圆心为
到直线的距离为
．
【答案】见解析 （24）(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数 f x 2 x 1
x
1 。

(Ⅰ)求不等式 f x 0 的解集；（Ⅱ）若 f
x a 2 x
1 恒 成 立，求实数
a 的取值范围。

① ⎨ ⎨ 【考点】绝对值不等式 【试题解析】（I ）当 时，得 ，
，当
时，得
，
当时，得
，
综上： （II ）
恒成立，令
，
，
【答案】见解析
19、已知函数 f (x ) | x a | | 2x 1| .
（1）当 a 2 时，求 f (x ) 3 0 的解集； （2）当 x [1, 3] 时， f (x ) 3 恒成立，求 a 的取值范围.
（Ⅰ）当 a
2 时，由 f (x )
3 ，可得 x 2 2x 1 3 ，
x
1 , 1
x 2,
x 2, 2 或② 2
或③ …………3 分2 x 2x 1 3 2 x 2x 1 3 x 2 2x 1 3解①得 4 x
1
；解②得
1
x 2 ；解③得 x
2 .
2
2
综上所述，不等式的解集为x 4 x 2 .…………5 分
（Ⅱ）若当 x 1, 3 时， f (x ) 3 成立，
即x a 32x 1 2x 2 .…………7 分
故2x 2 x a 2x
2 ，即3x 2 a
x 2 ，
x 2 a 3x 2 对x 1,3时成立.
a [3, 5] .…………………………………………10 分
已知函数f ( x) x 3 2x t , t R ．
（1）当t 1时，解不等式f (x) 5 ；
（2）若存在实数a 满足f (a) a 3 2，求t 的取值范围.
x 3 2x 1 ，
（1）当t 1时，f
(x)
由f (x) 5 ，得x 3 2x 1 5，
∴，或，或，
解得x 1 或或x 3，
∴原不等式的解集为．
（2）f ( x) x 3 2 x 3
2x t
(2x 6) (2x t)
t 6 ，
∵原命题等价于( f ( x) x 3 )min 2 ，
∴t 6 2 ，解得8 t 4 ，
∴t 的取值范围是(8, 4)．
21、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴，焦距为2 ，且长轴长是短轴长的 2 倍.
1 2 1 2 1
(Ⅰ) 求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ) 设 P (2, 0) ,过椭圆 左焦点 F 的直线 l 交 于 A 、 B 两点,若对满足条件的任意
直线l ,
不等式 PA PB ( R )恒成立,求 的最小值.
解：(Ⅰ)依题意, a 2b , c 1, (2)
分 2解得 a 2
2 , b 2
1,所以椭圆 的标准方程为 x
2
y
2 1
……………………………………5 分(Ⅱ)设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,所以 PA PB
x 1
2, y 1 x 2
2, y 2
x 1 2
x 2 2 y 1 y 2 ,当直线 l 垂直于
x 轴时, x x 1 , y y 且 y 2 PB
3, y 2
3, y 1 ,
1
,此时 PA 3,
y , 2
1所以 PA PB 3 2
y 2 17
………………………………………………………………7 分 1
2
当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l : y
k x 1 ,
y k x 1由 x
2
2 y 2 2
,消去 y 整理得 1 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0 ,
4k 2
2k 2 2
所以 x 1 x 2 2 , x 1 x 2 2
1 2k 1 2k
, ……………………………………………………8 分所以 PA PB x x 2
x x 4 k 2 x 1 x 11 2 1 2 1 2
2 2 2 1 k x 1 x 2 k 2 x 1 x 2
4 k 2 2 2
1 k
2 2k 2 k 2 2 4k 4 k 2
17k 2
17 13 17 ……11 分1 2k 2 1 2k 2 2k 2 1
2 2 2k 2 1 2要使不等式 PA PB ( R )恒成立,只需 PA PB
ma x
17 , 2即 的最小值为 17
………………………………………………………………………………12 分
2
22、已知函数 f
x x 2 2a 1 x a ln x a R . （1）若 f x 在区间1, 2 上是单调函数，求实数 a 的取值范围； （2）函数 g x 1 a x ，若 x 0 1, e 使得 f
x 0 g x 0 成
文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 立，求实数a 的取值范围.
解：（1）f ' x 2x 1x a
，当导函数f 'x的零点x a 落在区
间1,2内时，
x
函数f x 在区间1,2上就不是单调函数，所以实数a 的取值范围是：a 1，或a 2 .
（2）由题意知，不等式f x g x在区间1,e上有解，
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⎦ 1 2 即 x 2
2x a ln x x 0 在区间1, e 上有解.
当 x 1, e 时， ln x 1 x (不同时取等号)， x ln x 0 .
a
x 2 2x x ln x
，在区间1, e 上有解.
令 h x
x 2 2x x
ln x ，则 h ' x
x 1 x 2 2 ln x
x ln x
2
x 1, e , x 2 2 2 ln x , h ' x 0, h x 单调递增，
x
1, e 时， h
x e e
2 ma x
h e e e 2 e 1
e e 2 a e 1 所以实数 a 的取值范围是 ,
e 1 .21.（本小题满分 13 分）设函数
f (x ) (x 2 ax b )e x ( x R ) ． （1）若 a 2, b 2 ，求函数 f (x ) 的极值；
（2）若 x 1是函数 f (x ) 的一个极值点，试求出 a 关于 b 的关系式（用 a 表示b ），并确定
f (x )
的单调区间；
（ 3 ） 在（ 2 ） 的 条件 下 ，设 a 0 ，函数 g ( x ) (a 2 14)e x 4
．若存在 , [0, 4] 使得
f ( 1 )
g ( 2 )
1 成立，求 a 的取值范围． 解：（1）∵ f
( x )
(2 x a )e
x
( x
2
ax b )e
x [ x 2 (2 a ) x
( a b )]e x
当 a
2, b 2 时， f ( x )
( x 2
2x 2)e x
则 f '(x ) ( x 2 4 x )e
x 令 f '(x ) 0 得 ( x 2 4
x )e x 0 ，
…………1 分
∵ e x
∴ x 2
4x
0 ，解得
x 4, x 0 …………2 分
1 2
∵当 x (
,
4) 时， f '(x ) 0 ，当 x (4, 0) 时 f '(x ) 0 ，当 x (0, ) 时 f '(x )
∴当
x 4 时，函数 f (x ) 有极大值， f ( x ) ＝ 6 ，极大 e 4
当 x 0 时，函数 f (x ) 有极小值， f (x )极小
2 .
…………4 分
（2）由（1）知 f
( x )
[ x
2
(2 a ) x ( a b )]e x
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∵x 1是函数f (x) 的一个极值点∴f (1) 0
即e[1 (2 a) (a b)] 0，解得b 3 2a
则f (x) e x [x2 (2 a)x ( 3 a)]
＝e
x (x 1)[x (3 a)]
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令f (x ) 0，得x 1 1或x 2 3 a ∵x 1是极值点，∴3 a 1，即a 4当3 a 1即a 4时，由f (x ) 0 得x ( 3 a,
…………6 分) 或x (, 1)
由f (x ) 0 得x
(1,
3 a)
当3 a 1即a 4 时，由f (x ) 0 得x (1,
由f (x ) 0 得x ( 3 a, 1)
) 或x
(,
3 a)
…………8 分
综上可知：当a 4时，单调递增区间为(, 1) 和( 3 a,
) ，递减区间为
(1,
3 a)
当a 4 时，单调递增区间为(,
3 a) 和
(1,
) ，递减区间为( 3
a, 1)
(9)
分
（3）由（2）知，当a>0 时，f (x) 在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数f (x) 在区间[0, 4] 上的最小值为f (1) (a 2)e
又∵f (0) be x (2a 3) 0 ，f (4) (2a 13)e 4 0 ，
∴函数f (x) 在区间[0，4]上的值域是[ f (1), f (4)]，即[(a 2)e, (2a 13)e4 ]
又g(x ) (a 2 14)e x 4 在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[(a 2 14)e4 ,(a 2
14)e8 ]
…………11 分
∵(a 2 14)e4 －(2a 13)e4 ＝(a 2 2a 1)e4 ＝(a 1)2 e 4 0 ，
∴存在 1 , 2 [0, 4]
使得
f ( 1 )
g ( 2 ) 1 成立只须仅须
(a 2 14)e4 －(2a 13)e4 <1 (a 1)2 e 4 1
(a 1)2
1
e4
1
1
e2
a
1
1
.…… 13 分
e2
22、设函数f (x ) x 3 ax 2 bx
的图象与直线y 3x 8相切于点P(2, 2) ．
（Ⅰ）求函数f (x) 的解析式；（Ⅱ）求函数f ( x) 的单调区间；
（Ⅲ）设函数g (x )
1
x 3
m 1
x 2 mx
1
(m 1) ，对于x 0, 4, 3 2 3
1
x2 0,4，使得f ( x1) g ( x2 ) ，求实数m
的取值范围.
解（Ⅰ）∵函数f (x) x3 ax2 bx 的图象与直线y 3x 8相切于点P(2, 2) ，
∴f '(2) 3 ，f (2) 2 ．
∵f '(x) 3x2 2ax b ，
8 4a 2b 2
∴
3 22
2a 2 b 3 a 6
解得．
b
9
∴f ( x) x3 6x2 9x ．……………………3 分
（Ⅱ）f '(x) 3x2 12x 9 3(x
1)(x 3) ，令f '(x) 0 ，得x 1或x
3；
令f '(x) 0 ，得1 x 3 ．
∴f (x) 的单调递增区间为(,1) ，(3,) ；单调递减区间为(1,3) ．…7 分（Ⅲ）记f (x) 在0, 4上的值域为A , g(x)在0, 4上的值域为B ，
∵对于x1 0, 4，x2 0,4，使得f ( x1) g ( x2 ) ，
∴A B ．
由（Ⅱ）得：f (x) 在0,1上单调递增，在(1,3) 上单调递减，在3,4上单调递增，f (0) 0 ，f (1) 4 ，f (3) 0 ，f (4) 4 ，∴A 0, 4．
∵g (x) 1
x3
m 1
x2 mx
1
(m 1) ，∴g '( x) x2 (m 1) x m
( x 1)( x m) ．
3 2 3
①当1m 4时，g(x)在0,1上单调递增，在1, m上单调递减，在m, 4上单调递增，
∴g(x)的最小值为g(0) 或g(m) ，g(x)的最大值为g(1) 或g(4) ．
1
∵g (0) 0 ，且A B ，
3
∴g(1) 4 或g(4) 4 ，
0 0 2 ( )
2
∴ g (1)
1 m 1
4 或 g (4) 4m 13 4 ， 2 2
即 m 9 或 m 9 ．又∵1 m 4 ，∴ 1 m 9
．
4 4
② 当 m 4 时， g (x ) 在0,1 上单调递增，1, 4 上单调递减， ∴ g (x ) 的最小值为 g (0) 或 g (4) ， g (x ) 的最大值为 g (1) ．
1
∵ g (0) 0 ，且 A B ，∴ g (1) 4 ，
3
1 1 9 ∴ m 4 ，即 m 9 ． 综上所述： 1 m 或 m 9 ．
……12 分
2 2 4 22、设函数 f ( x )
2 x 2
ax ln x （ a R ）, g ( x )
ex
3
e x
（Ⅰ）若函数 f ( x ) 在定义域内单调递减，求实数
a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意 x 0, e ，都有唯一
的 x 0 [e 4 , e ] ，使得 g x f
x 2 x 2 成立，求实
数 a 取值范围.解：（1） f ' x 4x
ax 1 ' 4 x 由题：f x
x ax 1
0 在（0， + ∞）恒成
立，
x
即： 4x 2
ax 1 0 在（0， + ∞）恒成立，
则： a 2 4 4 1 0 ,得： 4 a 4 -------------------------------3 分 a
2 4
4 1 0 或
a
0 8
故得： a 4
综上： a
4
-----------------5 分
（2） g ' ( x )
e 1 x (1 x ), g x 在 0,1上单调递增，在 1, e 上单调
递减，
且 g 0 3, g (1) 4, g (e )
e 2
e
3 3, g x 的值域为 3,4，-----------------7 分
记 h ( x )
f ( x ) 2 x 2 ax
ln x , m
g ( x ) ，
原问题等价于： m 3,4，存在唯一的
x 0
e 4 , e
，使得
h x m 成立。

min
( ) h ' x a
1
ax 1
, x e
4 , e
x x
① 当 a 1
时， h ' x 0 恒成立， h x 单调递减，由 h x
h e 4
ae
4
4
4 ，
e
max
h x min h e ae 1 3 ，解得： 0 a
1 ………………….8 分
e ② 当 a e 4
时， h ' x 0 恒成立， h x 单调递
增， h x h e 4 ae 4 4
4 ，不合
题意，舍去…………………9 分
1 4 4 1 1
③ 当 a e 时， h x 在 e , 上单调递减，在 , e 上单调
递增，
e
a
a
且 h e
4 ae 4
4 4, h (e ) ae 1 ，
要满足条件则 ae 1 3, 1 a 4
…………….…. 11 分
e e
4
综上所述： a 的取值范围是 0, e
……………………12 分
22、
21.设函数 f (x ) ln x ， g (x ) (2 a )(x 1) 2 f (x ) . （1）当 a
1时，求函数 g (x ) 的单调区间和极值；
（2）设 F ( x ) f ( x ) b ( b 0) .对任意 x , x (0,2], x
F ( x ) F ( x ) x ，都有 1 2 1 ，x 1 1 2 1 2 x 1 x 2
求实数 b 的取值范围.
21.解：（1）当 a 1时， g (x ) x 1 2 ln x ，定义域为（0， ）， g (
x ) 1 2
x 2 ，
x x 当 x (0,2) 时， g (x ) 0 ， g (x ) 单调递减，当 x (2， ) 时， g (x ) 0 ， g (x )
单调递增，
综上， g (x ) 的单调递增区间为 (2， ) ，单调递减区间为 (0,2) ，
所以 y 极小值 g (2) 1 2
ln 2 . F ( x ) F ( x ) F ( x ) x F ( x ) x （2）由题意得 1 2 1 0 ，即
1 1
2 2 0 ，x 1 x 2 x 1 x 2
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2
2
若设 G (x ） F (x ) x ，则 G (x ）在 (0,2] 上单调递减，①当 x [1,2] 时，
G ( x ） ln x
b
x ， G ( x ）
1
-
b
1 0 ，
x 1
x （x 1）
2 b
(x
1)
x
(x 1) 2 x 2
3x
1
3 在[1,2]
上恒成立，
x
设 G ( x ) x 2
3x
1
3 ，则 G ( x ) 2x 3 - 1
，当 x [1,2] 时，G ( x ) 0 ，
1
x
1
x 2
1
G 1 (x ) 在[1,2] 上单调递增， G 1 ( x ) G （1 2）
27 ，∴ b 27 . 2
2
②当 x （0,1] 时，
G ( x ） ln x
b
x ， G
( x ）
1
- b
1 0 ，x 1
x （x 1）
2 b (x 1)
x
( x 1) 2 x 2
x
1
1在 (0,1]
上恒成立，
x
设 G ( x ) x 2
x - 1
-1 ，则 G
( x ) 2x 1 1
0 ，
2
x
2
x 2
即 G 2 ( x ) 在 (0,1] 上单调递增， G 2 (x ) G （2 1
） 0 ，∴ b 0 . 综上，由①②可得 b 27 .
2
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