2020高考数学二轮分层模拟仿真专练(三)文

六大注意
1 考生需自己粘贴答题卡的条形码
考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等
拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整
填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场
按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场
考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环
外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

2020高考数学二轮分层模拟仿真专练（三）文
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·广东深圳高级中学期末]已知集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}，B ＝{－2，－1,4,8,9}，设C ＝A ∩B ，则集合C 的元素个数为( )
A ．9
B ．8
C ．3
D ．2 答案：D
解析：A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{－2，－1,4,8,9}，则C ＝A ∩B ＝{－1,4}，集合C 的元素个数为2，故选D.
2．[2019·福建晋江四校联考]复数z ＝a ＋i(a ∈R )的共轭复数为z ，满足|z |＝1，则复数z ＝( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．1＋i
D ．i 答案：D
解析：根据题意可得z ＝a －i ，所以|z |＝a 2
＋1＝1，解得a ＝0，所以复数z ＝i.故选D.
3．[2019·重庆一中月考]设a ，b ，c 是平面向量，则a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B
解析：由a ·b ＝b ·c 得(a －c )·b ＝0，∴a ＝c 或b ＝0或(a －c )⊥b ，∴a ·b ＝b ·c 是a ＝c 的必要不充分条件．故选B.
4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4与函数g (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －3π4，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上
B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点
C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π
2
对称
D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称 答案：D
解析：∵g (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π2＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴g (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称，故选D.
5．[2019·湖北武汉武昌调研考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )
A ．40
B ．44
C ．45
D ．49 答案：B
解析：解法一 因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2
＋1＝2n
－1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
0，n ＝1，
2n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17
＝44.故选B.
解法二 因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2
＋1＝2n －1，
又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
0，n ＝1，
2n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d
＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44.故选B.
6．[2019·黑龙江哈尔滨四校联考]已知函数f (x )＝cos πx
3
，执行如图所示的程序框图，
则输出的S 值为(
A ．670
B ．6701
2
C ．671
D ．672 答案：C
解析：执行程序框图，y ＝f (1)＝cos π3＝12，S ＝0＋12＝12，n ＝1＋1＝2；y ＝f (2)＝cos
2π
3
＝－12，S ＝12，n ＝2＋1＝3；y ＝f (3)＝cos π＝－1，S ＝12，n ＝3＋1＝4；y ＝f (4)＝cos
4π3
＝－12，S ＝12，n ＝4＋1＝5；y ＝f (5)＝cos 5π3＝12，S ＝12＋1
2
＝1，n ＝6；y ＝f (6)＝cos2π＝
1，S ＝1＋1＝2，n ＝7……直到n ＝2 016时，退出循环．∵函数y ＝cos n π
3
是以6为周期的
周期函数，2 015＝6×335＋5，f (2 016)＝cos 336π＝cos(2π×138)＝1，∴输出的S ＝336×2－1＝671.故选C.
7．[2019·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则该截面的面积为( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．2 6
D ．4 答案：C
解析：11A 1E ，A 1F ，CF ，CE ，则菱形A 1ECF 为符合题意的截面．
连接EF ，A 1C ，易知EF ＝22，A 1C ＝23，EF ⊥A 1C ，所以截面的面积S ＝1
2
EF ·A 1C ＝2 6.
故选C.
8．[2019·河北张家口期中]已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y
＝lg 2，则1x ＋13y
的最小值是
( )
A ．1
B ．2
C ．2 3
D ．4 答案：D
解析：通解 ∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg 2x ＋3y
＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴
1x
＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋1
3y
的最小值是4.故选D. 优解 ∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg 2x ＋3y
＝lg 2，∴x ＋3y ＝1.又x >0，y >0，∴1x ＋13y
＝
x ＋3y 3xy ＝13xy ≥1⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3y 22＝4，当且仅当x ＝12，y ＝16时等号成立，所以1x ＋1
3y
的最小值是4，故选D.
9．[2019·河北唐山摸底]已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的所有零点之和等于( )
A ．5π
B ．6π
C ．7π D．8π 答案：C
解析：f (x )＝sin x －sin(2x ＋x )＝sin x －sin 2x cos x －cos 2x sin x ＝sin x －2sin x (1－sin 2x )－(1－2sin 2x )sin x ＝sin x －(3sin x －4sin 3x )＝2sin x (2sin 2
x －1)，
令f (x )＝0得sin x ＝0或sin x ＝±2
2
.
于是，f (x )在[0,2π]上的所有零点为x ＝0，π4，3π4，π，5π4，7π
4
，2π.
故f (x )的所有零点之和为0＋π4＋3π4＋π＋5π4＋7π
4
＋2π＝7π，故选C.
10寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围成)内的概率是( )
A.12
B.13
C.4π－1 D ．2－4π 答案：C
解析：设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P ＝
S 阴影S 圆＝2×2－ππ＝4
π
－1，故选C.
11．[2019·四川内江一模]设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，且x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )>2x ，若f (a －2)－f (a )≥4－4a ，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，2]
D ．[2，＋∞) 答案：A
解析：对任意的x ∈R ，有f (－x )－f (x )＝0，所以f (x )为偶函数．
设g (x )＝f (x )－x 2
，所以g ′(x )＝f ′(x )－2x ，
因为x ∈[0，＋∞)时f ′(x )>2x ，所以x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以g (x )在[0，＋∞)上为增函数．
因为f (a －2)－f (a )≥4－4a ，所以f (a －2)－(a －2)2≥f (a )－a 2
，
所以g (a －2)≥g (a )，易知g (x )为偶函数，所以|a －2|≥|a |，解得a ≤1，故选A.
12．[2019·河北衡水中学五调]已知抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直
线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 与圆x 2－px ＋y 2
－34
p 2＝0交于C ，D 两点．若|AB |
＝2|CD |，则直线l 的斜率为( )
A ．±22
B ．±3
2
C ．±1 D．± 2 答案：C
解析：由题设可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0，为抛物线C 的焦点，所以|CD |＝2p ，所以|AB |＝4p .设直线l ：x ＝ty ＋p
2，代入y 2＝2px (p >0)，得y 2
－2pty
－p 2
＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2
，则|AB |＝(1＋t 2
)(4p 2t 2
＋4p 2
)
＝2p (1＋t 2)＝4p ，所以1＋t 2
＝2，解得t ＝±1，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲团队获得一等奖．” 小王说：“甲或乙团队获得一等奖．” 小李说：“丁团队获得一等奖．”
小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．”
若这四位同学中只有两位的预测结果是对的，则获得一等奖的团队是________． 答案：丁
解析：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；
②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王的预测结果是对的，小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；
③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人的预测结果都是错的，与题设矛盾；
④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵的预测结果是对的，小张、小王的预测
结果是错的，与题设相符．
故获得一等奖的团队是丁．
14．[2019·江苏无锡模考]以双曲线x 25－y 2
4
＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是
________．
答案：y 2
＝12x 解析：双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以右焦点坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，所以p
2
＝3，p ＝6，抛物线的标准方程为y 2
＝12x . 15．[2019·云南第一次统一检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －2
－5，x <3，
－log 2(x ＋1)，x ≥3，
若f (m )
＝－6，则f (m －61)＝________.
答案：－4
解析：∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －2
－5，x <3，
－log 2(x ＋1)，x ≥3，f (m )＝－6，∴当m <3时，f (m )＝3m －2－
5＝－6，无解；当m ≥3时，f (m )＝－log 2(m ＋1)＝－6，解得m ＝63， ∴f (m －61)＝f (2)＝32－2
－5＝－4.
16．[2019·安徽定远中学月考]已知等差数列{a n }满足a 3＝6，a 4＝7，b n ＝(a n －3)·3n
，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.
答案：(2n －1)×3n ＋1
＋34
解析：因为a 3＝6，a 4＝7，所以d ＝1，
所以a 1＝4，a n ＝n ＋3，b n ＝(a n －3)·3n ＝n ·3n
，
所以T n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n
①，
3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1
②，
①－②得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3－3n ＋1
1－3
－n ×3n ＋1
，
所以T n ＝(2n －1)×3n ＋1
＋3
4
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·华大新高考联盟教学质量测评]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分
别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，b ＝4，ac cos B ＝23
3
S .
(1)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状； (2)求a ＋c 的取值范围．
解析：(1)由已知得ac cos B ＝3
3
ac sin B ，得tan B ＝3，
因为0<B <π，所以B ＝π
3
.
因为a ，b ，c 成等差数列，b ＝4，所以a ＋c ＝2b ＝8，
由余弦定理，得16＝a 2＋c 2
－2ac cos π3
，
所以16＝(a ＋c )2
－3ac ，得ac ＝16，
所以a ＝c ＝b ＝4，所以△ABC 是等边三角形．
(2)解法一 由(1)得(a ＋c )2－3ac ＝16≥(a ＋c )2
－3⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋c 22(当且仅当a ＝c 时取等号)， 解得0<a ＋c ≤8.
又a ＋c >b ＝4，所以4<a ＋c ≤8，
所以a＋c的取值范围是(4,8]．
解法二根据正弦定理，得
a
sin A
＝
c
sin C
＝
b
sin B
＝
4
3
2
＝
83
3
，
所以a＝
83
3
sin A，c＝
83
3
sin C，
所以a＋c＝
83
3
(sin A＋sin C)．
因为A＋B＋C＝π，B＝
π
3
，所以A＋C＝
2π
3
，
所以a＋c＝
83
3⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
sin A＋sin⎝
⎛
⎭⎪
⎫
2π
3
－A＝
83
3⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
2
sin A＋
3
2
cos A＝8sin⎝
⎛
⎭⎪
⎫
A＋
π
6
，因为0<A<
2π
3
，
所以A＋
π
6
∈
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
6
，
5π
6
，所以sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
A＋
π
6
∈
⎝
⎛
⎦⎥
⎤
1
2
，1则a＋c∈(4,8]．
所以a＋c
18．(12PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝23，且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD的重心，AC与BD交于点F.
(1)求证：GF∥平面PDC；
(2)求三棱锥G－PCD的体积．
解析：(1)连接AG并延长，交PD于点H，连接CH.
在梯形ABCD中，∵AB∥CD且AB＝2DC，∴
AF
FC
＝
2
1
.
又E为AD的中点，G为△PAD的重心，
∴
AG
GH
＝
2
1
.
在△AHC中，
AG
GH
＝
AF
FC
＝
2
1
，故GF∥HC.
∵HC⊂平面PCD，GF⊄平面PCD，
∴GF∥平面PDC.
(2)连接BE，由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，
知PE ⊥AD ，BE ⊥AD .
∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3. 由(1)知GF ∥平面PDC ，
连接FP ，V 三棱锥G －PCD ＝V 三棱锥F －PCD ＝V 三棱锥P －CDF ＝1
3
×PE ×S △CDF .
∵△ABD 为正三角形，∴BD ＝AB ＝23，则DF ＝13BD ＝23
3
.
又∠CDF ＝∠ABD ＝60°，
∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin∠FDC ＝3
2，
则V 三棱锥P －CDF ＝13×PE ×S △CDF ＝3
2
，
∴三棱锥G －PCD 的体积为
3
2
. 19．(12分)[2019·湖南省长沙市检测卷]某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：
月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量x 2 4 6 8 10 12 收益y 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
bx
差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：(每个样本点的残差等于其实际值减去该模型的估计值)
x
y
∑i ＝1
6
x i y i
∑i ＝1
6
x 2i 7
30
1 464.24 364
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： ①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；
②当广告投入量x ＝18时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^＝b ^x ＋a ^
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
b ^＝
∑i ＝1n
(x i －x －)(y i －y －
)∑i ＝1n
(x i －x －
)2
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x
－y
－∑i ＝1
n
x 2
i －n x －
2
，a ^＝y －－b ^x －.
解析：(1)应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说
明模型拟合精度高，回归方程的预报精度高．
(2)①剔除异常数据，即月份为3的数据后，得 x －＝1
5×(7×6－6)＝7.2；
y －＝1
5
×(30×6－31.8)＝29.64.
∑i ＝15
x i y i ＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44；
∑i ＝1
5
x 2
i ＝364－62
＝328. b ^＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x
－y
－∑i ＝1
5
x 2
i －5x －
2
＝1 273.44－5×7.2×29.64328－5×7.2×7.2＝206.468.8
＝3；
a ^＝y －－
b ^x －
＝29.64－3×7.2＝8.04，
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝3x ＋8.04.
②把x ＝18代入回归方程得y ^
＝3×18＋8.04＝ 62.04. 故预报值约为62.04万元． 20．(12分)[2019·广东广州调研]已知动圆C 过定点F (1,0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
(2)过点M (－2,0)的任一直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)方法一 依题意知，动圆圆心C 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．
结合抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹E 是以F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，易知p ＝2.
所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2
＝4x .
方法二 设动圆圆心C (x ，y )，依题意得 (x －1)2＋y 2
＝|x ＋1|，
化简得y 2
＝4x ，此即动圆圆心C 的轨迹E 的方程． (2)假设存在点N (x 0,0)满足题设条件．
由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数， 即k PN ＋k QN ＝0. (*)
依题意易知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ ：x ＝my －2(m ≠0)，
由{ y 2＝4x ，x ＝my －2，得y 2
－4my ＋8＝0.
由Δ＝(－4m )2
－4×8>0，求得m >2或m <－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.
由(*)得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)
(x 1－x 0)(x 2－x 0)
＝0，
所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0) ＝0，即y 1x 2＋y 2x 1－x 0 (y 1＋y 2)＝0.
消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14
y 2y 2
1－x 0(y 1＋y 2)＝0，
即1
4
y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0. 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝1
4
y 1y 2＝2，
于是存在点N (2,0)，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.
21．(12分)[2019·陕西西安中学期中]已知函数f (x )＝12
x 2＋(1－x )e x
，g (x )＝x －ln x
－a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ＋1x ，a <1.
(1)求函数g (x )的单调区间；
(2)若对任意x 1∈[－1,0]，总存在x 2∈[e,3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．
解析：(1)因为g ′(x )＝1－1x
－a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －1x 2＝x 2
－(a ＋1)x ＋a x 2＝(x －a )(x －1)
x
2
，a <1，又注意到函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以讨论如下．
当0<a <1时，令g ′(x )>0，解得0<x <a 或x >1，令g ′(x )<0，解得a <x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；
当a ≤0时，令g ′(x )>0，解得x >1，令g ′(x )<0，解得0<x <1，所以函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
综上，当0<a <1时，函数g (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)对任意x 1∈[－1,0]，总存在x 2∈[e,3]，使得f (x 1)>g (x 2)成立，等价于函数f (x )在[－1,0]上的最小值大于函数g (x )在[e,3]上的最小值．
当x ∈[－1,0]时，因为f ′(x )＝x (1－e x
)≤0，当且仅当x ＝0时不等式取等号，所以f (x )在[－1,0]上单调递减，所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (0)＝1.
由(1)可知，函数g (x )在[e,3]上单调递增，所以g (x )在[e,3]上的最小值为g (e)＝e －(a ＋1)－a
e
.
所以1>e －(a ＋1)－a
e ，即a >e 2
－2e
e ＋1
.
又a <1，故所求实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫e 2
－2e e ＋1，1. 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·山东济南质量评估][选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 的极坐标方程为ρcos 2
θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3
2t ，
y ＝a ＋1
2
t
(t
为参数)，其中a >0，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1
|PN |
＝4，求a 的值．
解析：(1)由已知可知ρ2cos 2
θ＝ρsin θ，
由{ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2
.
(2)将直线l 的参数方程⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝
3
2
t ，y ＝a ＋12
t
(t 为参数)代入y ＝x 2
，得34t 2－12
t －a
＝0，且Δ＝1
4
＋3a >0.
设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－4
3a ，所以t 1、t 2异号．
所以1
|PM |＋1
|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2
|t 1t 2|
＝
49－4×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－43a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－43a ＝4，
化简得64a 2
－12a －1＝0，解得a ＝14或a ＝－116
(舍)．
所以a 的值为1
4
.
23．(10分)[2019·河南省郑州市检测卷][选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x －2a |＋|2x －2|(a ∈R )．
(1)当a ＝1
2
时，解不等式f (x )>6；
(2)若对任意x 0∈R ，不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|都成立，求a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝1
2
时，
不等式f (x )>6可化为|3x －1|＋|2x －2|>6，
当x <13时，不等式即为1－3x ＋2－2x >6，∴x <－35；
当1
3
≤x ≤1时，不等式即为3x －1＋2－2x >6，无解； 当x >1时，不等式即为3x －1＋2x －2>6，∴x >9
5
.
综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x <－35或x >
9
5. (2)不等式f (x 0)＋3x 0>4＋|2x 0－2|恒成立可化为|3x 0－2a |＋3x 0>4恒成立，
令g (x )＝|3x －2a |＋3x ＝⎩
⎨⎧
6x －2a ，x ≥2a 3，2a ，x <2a
3，
∴函数g (x )的最小值为2a ，
根据题意可得2a >4，即a >2， 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．
专练(五)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·福建福州质检]已知集合A ＝{x |2x ＋1>3}，B ＝{x |x 2
－x －2<0}，则A ∪B ＝( )
A ．{x |1<x <2}
B ．{x |－1<x <1}
C ．{x |－2<x <1或x >1}
D ．{x |x >－1} 答案：D
解析：因为3∈A ，所以3∈(A ∪B )，排除A ，B.因为－1∉A 且－1∉B ，所以－1∉(A ∪B )，排除C ，故选D.
2．[2019·北京八十中学月考]若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2
－4ac <0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
解析：∵a >0且b 2－4ac <0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象开口向上且与x 轴没有交点，
所以对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0；又a ＝b ＝0，c >0时，对任意x ∈R ，有ax 2
＋bx ＋c >0，
而此时a >0且b 2－4ac <0不成立，所以“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，有ax 2
＋bx ＋c >0”的充分不必要条件，故选A.
3．[2019·辽宁沈阳育才学校联考]欧拉公式e i x
＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧
拉公式可知，e π6i ＋e π
3
i 表示的复数的模为( )
A.3＋12
B.3－12
C.
6＋22 D.6－2
2 答案：C
解析：由题意得e π6i ＋e π3i ＝cos π6＋isin π6＋cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π
6＋sin π6＋
i ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋sin π6，所以其表示的复数的模为2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π
6＋sin π6＝6＋22，故选C.
4y ＝x n
在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )
A ．－1<m <0<n <1
B ．－1<n <0<m
C ．－1<m <0<n
D ．－1<n <0<m <1 答案：D
解析：由幂函数的图象可知，0<m <1，－1<n <0，故选D.
5．[2019·吉林期末]若函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x 在[0，t ]上的值域为[－3，2]，则t 的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π6
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π 答案：B
解析：依题意，知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为x ∈[0，t ]，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2t －π3.又f (x )在[0，t ]上的值域为[－3，2]，则2t －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π6.故选
B.
6．[2019·广东七校联合体第二次联考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 答案：D
解析：解法一 设{a n }的公差为d ，则由题意得{ a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得{ a 1＝15，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋17.由于a 8＝1>0，a 9＝－1<0，所以S n 取得最大值时n 的值为8.故选D.
解法二 设{a n }的公差为d ，则由题意得{ a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得{ a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝
15n ＋n (n －1)2
×(－2)＝－(n －8)2＋64(n ∈N *
)，所以当n ＝8时，S n 取得最大值．故选D.
7．[2019·陕西黄陵中学模拟]中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形(不能全为正方形)、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体．关
于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个 “刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
A.392
B.752
C ．39 D.601
16
答案：B
解析：设下底面的长、宽分别为x ，y ，则2(x ＋y )＝18，x ＋y ＝9，则x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫92，9.则“刍童”的体积为16×3×[2(6＋x )＋(2x ＋3)y ]＝12(30＋2xy ＋y )＝12
(－2x 2＋17x ＋39)＝－x 2
＋
172x ＋392，当x ＝92时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为75
2
，故选B. 8．[2019·河北正定中学月考]设函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，若函数g (x )＝sin(ωx ＋φ)－2，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A ．1 B ．－5或3 C.1
2
D ．－2 答案：D
解析：因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋x ，所以函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ6＋φ＝±4，即cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωπ6＋φ＝±1，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ6＋φ＝0，所以g ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π6＝－2，故选D.
9．[2019·陕西西安交大附中模考]《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是( )
A ．1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12n
B.12＋122＋…＋12n <1
C.12＋122＋…＋1
2n ＝1 D.12＋122＋…＋12n >1 答案：B
解析：该命题说明每天取的长度构成了以12为首项，12为公比的等比数列，因为12＋1
2
2＋…
＋12n ＝1－12n <1，所以能反映命题本质的式子是12＋122＋…＋1
2
n <1.故选B. 10．[2019·河南开封定位考]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为( )
A ．－1
B ．0
C ．－1或1
D ．－1或0 答案：D
解析：由题意得y ＝{ －x 2＋4，x <0，3x ＋2，x ≥0，当x <0时，由－x 2
＋4＝3，得x
＝±1，∵x <0，∴x ＝－1.当x ≥0时，由3x
＋2＝3，得x ＝0.∴x ＝－1或0，故选D.
11．[2019·福建厦门一检]双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，过F 1作一条直线与两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若F 1B →
＝2F 1A →
，|F 1F 2|＝2|OB |，则
双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3 答案：C
解析：如图，连接212且O 为F 1，F 2的中点，所以∠F 1BF 2＝90°.
因为F 1B →＝2F 1A →
，所以A 为线段F 1B 的中点，
所以OA ∥F 2B ，所以OA ⊥F 1B ，所以∠AOF 1＝∠AOB . 因为直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线， 所以∠AOF 1＝∠BOF 2，所以∠BOF 2＝60°，
则b a
＝tan∠BOF 2＝3， 所以双曲线的离心率e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝2，故选C.
12．[2019·江西两校联考]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋
1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3
，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞)
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7)
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7) 答案：A
解析：由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，
因此f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数．
函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成函数f (x )与h (x )＝log a |x |的图象至少有6个交点，需对a 进行分类讨论．
①若a >1
②若0<a <1，画出满足题意的图象，如图2所示，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤1
5
.
综上所述，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，5∪(5，＋∞)．故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·河南洛阳第一次统考]已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，则2sin α3sin α＋cos α＝________.
答案：13
解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，得tan α＋11－tan α＝2，求得tan α＝13，所以2sin α3sin α＋cos α＝2tan α3tan α＋1＝2×133×13
＋1＝1
3
.
14．[2019·东北三校第一次模拟]等比数列{a n }的各项均为正数，S n 是其前n 项和，2S 3
＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________.
答案：30
解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为{ 2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，所以{ 2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(8＋3q )，a 1q 3＝16，
得{ a 1＝2，q ＝2，所以S 4＝2(1－24
)
1－2
＝30.
15．[2019·安徽黄山模拟]若函数f (x )＝x 2
－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x m －4m 2
f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．
答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞
解析：依据题意，得对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，x 2m
2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2
－1)
恒成立，即对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，1m 2－4m 2
≤－3x 2－2x ＋1恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－
2
x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)·(4m 2
－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32
，
故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－
32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. 16．[2019·重庆一中月考]△ABC 中，AB ＝5，BC ＝53，A ＝π
3
，点P 是△ABC 内(包括
边界)的一个动点，且AP →＝35AB →－25
λAC →(λ∈R )，则|AP →
|的最大值为________．
答案：37
解析：因为△ABC 中，AB ＝5，BC ＝53，A ＝π3
，BC 2＝AC 2＋AB 2
－2AC ·AB cos A ，
所以AC ＝10，AC 2＝BC 2＋AB 2
，所以B ＝π2
.
以A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，
则A (0,0)，B (5,0)，C (5,53)．
设点P 为(x ，y )，0≤x ≤5,0≤y ≤5 3.因为AP →＝5AB →－5
λAC →
，
所以(x ，y )＝35(5,0)－2
5λ(5,53)＝(3－2λ，－23λ)，
所以{ x ＝3－2λ，
y ＝－23λ，所以y ＝3(x －3)，
所以动点P 在直线y ＝3(x －3)上，
如图，画出该直线，则易知当点P 为该直线与BC 的交点时，
|AP →
|取得最大值．
又易知此时点P 的坐标为(5,23)， 故|AP →|max ＝ 52＋(23)2
＝37.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·甘肃酒泉五校联考]已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π
4
，AB ⊥AD ，
AB ＝1，AC ＝5，△ABC 的面积为1
2
.
(1)求sin∠CAB 的值；
(2)若∠ADC ＝π
6
，求CD 的长．
解析：(1)依题意知，△ABC 的面积S ＝12AB ×BC ×sin∠ABC ＝12×1×BC ×22＝1
2，由此
可得BC
＝ 2.
在△ABC 中，由正弦定理得BC sin∠CAB ＝AC
sin∠ABC ，
即2sin∠CAB ＝5
sin
3π
4
，所以sin∠CAB ＝
2×22
5＝
55
. (2)由题设知，∠CAB <π2
，则cos∠CAB ＝1－sin 2
∠CAB ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫552＝25
5， 因为AB ⊥AD ，所以∠DAC ＋∠CAB ＝π
2，
则sin∠DAC ＝cos∠CAB ＝25
5.
在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin∠ADC ＝CD
sin∠DAC ，
即
5sin
π6＝CD 255
，所以CD ＝5×255
12
＝4.
18.
(12CDEF 是矩
形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，AB ＝AD ＝DE ＝1
2
CD ＝2，M 是线段AE 上
的动点．
(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，求平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成上、下两部分的体积之比． 解析：(1)当M 为线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF . 证明如下：
如图，连接CE ，交DF 于N ，连接MN ， 因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点， 所以MN ∥AC .
因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF .
(2)将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B 1CF ，
则三棱柱ADE －B 1CF 的体积V ＝S △ADE ·CD ＝1
2×2×2×4＝8，
V ADE －BCF ＝VADE －B 1CF －VF －BB 1C ＝8－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝203. 三棱锥F －DEM 的体积V F －DEM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×4＝43， 故上、下两部分的体积之比为43⎝ ⎛⎭
⎪⎫
203－43＝1 4.
19．(12分)[2019·福建省福州市高三下学期质量检测]最近由中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨
幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入1
3
的租户“幸福指数”低，房
租支出不超过月收入1
3
的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，
随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如下：
月收入 [0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15] 户数 38 27 24 9 2
6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”．把频率视为概率，求M 的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元，1千元，请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关．
幸福指数低
幸福指数高
总计 甲小区租户 乙小区租户
总计
P (K 2≥k ) 0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828 参考公式：K 2
＝2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
解析：(1)记A 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B 表示事件“乙小区
租户的月收入不低于6千元”，
甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060＋0.160)×3＝0.66， 故P (A )的估计值为0.66；
乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为24＋9＋2
100
＝0.35，
故P (B )的估计值为0.35.
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，
所以事件M 的概率的估计值P (M )＝P (A )P (B )＝0.66×0.35＝0.231. (2)设甲小区所抽取100户租户的月收入的中位数为t 千元， 则0.060×3＋(t －3)×0.160＝0.5， 解得t ＝5.
所以甲小区100户租户的月收入的中位数为5千元．
(3)将列联表补充完整如下：
幸福指数低
幸福指数高
总计 甲小区租户 66 34 100 乙小区租户 38 62 100 总计
104
96
200
根据2×2得到K 2
的观测值k ＝200×(66×62－38×34)2
104×96×100×100
≈15.705>10.828，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关．
20．(12分)[2019·湖南长沙雅礼中学月考]如图，已知椭圆a
2＋b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 2，F 1，短轴两个端点分别为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，CM 交椭圆于点P .证明：OM →·OP →
为定值．
解析：(1)由题意知a ＝2，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，∴b 2
＝2，
∴椭圆方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)易知C (－2,0)，D (2,0)，设M (2，y 0)，P (x 1，y 1)， 则OP →＝(x 1，y 1)，OM →
＝(2，y 0)，
直线CM ：x －24＝y －y 0y 0，即y ＝y 04x ＋1
2
y 0，
代入x 2＋2y 2
＝4，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋y 2
08x 2＋12y 20x ＋12y 20－4＝0.
∴x 1×(－2)＝4(y 20－8)y 20＋8，∴x 1＝－2(y 20－8)y 20＋8，y 1＝8y 0
y 20＋8，
∴OP →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2(y 2
0－8)y 2
0＋8，8y 0y 20＋8， ∴OM →·OP →
＝－4(y 20－8)y 20＋8＋8y 20y 20＋8
＝4y 2
0＋32y 20＋8＝4(定值)．
21．(12分)[2019·吉林长春质检]已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2
－(2a ＋1)x (其中常数
(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a 的值．
解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2
－3x ，x >0，
f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2
－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)
x
，
令f ′(x )＝0，解得x ＝1
2
或x ＝1.
当0<x <12时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增； 当12<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．
综上可知，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)f ′(x )＝1x ＋2ax －(2a ＋1)＝2ax 2
－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)
x
，
令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝12a
.
因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以1
2a
≠1.
当1
2a
<0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2.
当0<12a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e]上单调递
增，
所以f (x )的最大值1可能在x ＝1
2a
或x ＝e 处取得，
而f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2
－(2a ＋1)×12a ＝ln 12a －14a －1<0，
所以f (e)＝ln e ＋a e 2
－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2.
当1<12a <e 时，f (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦
⎥⎤12a ，e 上单调递增，
所以f (x )的最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，
而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，
所以f (e)＝ln e ＋a e 2
－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<12a
<e 矛盾．
当1
2a
≥e 时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )的最大值1在x ＝1处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，矛盾．
综上所述，a ＝1
e －2
或a ＝－2.
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·安徽合肥高三第二次质量检测][选修4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参
数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2
＝4ρsin
(1)写出曲线C 1普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)若P ，Q 分别为曲线C 1和C 2上的动点，求|PQ |的最大值．
解析：(1)曲线C 1的普通方程为x 2
4＋y 2
＝1.
曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y －3，即x 2＋(y －2)2
＝1. (2)设P 点的坐标为(2cos θ，sin θ)．
|PQ |≤|PC 2|＋1＝4cos 2θ＋(sin θ－2)2＋1＝－3sin 2
θ－4sin θ＋8＋1＝
－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋283＋1， 当sin θ＝－23时，|PQ |max ＝221
3
＋1.
23．(10分)[2019·重庆质量调研抽测][选修4－5：不等式选讲]
已知函数f (x )＝|x ＋2|－|1
2
x －1|.
(1)求函数f (x )的图象与x 轴所围成的三角形的面积；
(2)设函数f (x )的最小值为M ，若关于x 的不等式x 2
＋x －2m ≤M 有实数解，求实数m 的取值范围．
解析：(1)原函数可化为f (x )＝⎩⎨⎧
－12
x －3(x <－2)，32x ＋1(－2≤x ≤2)，12x ＋3(x >2)，
易得函数f (x )的图象与x 轴所围成的三角形的三个顶点坐标分别为(－6,0)，(－2，－
2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0， 所以此三角形的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋6×2＝16
3
.
(2)由(1)知函数f (x )的最小值为M ＝f (－2)＝－2，
关于x 的不等式x 2＋x －2m ≤M 有实数解，即x 2＋x －2m ≤－2有实数解，即2m ≥x 2
＋x ＋2有实数解．
令h (x )＝x 2
＋x ＋2，当x ＝－12时，h (x )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12
＋2＝74，
所以2m ≥74，即m ≥7
8
.
故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫78，＋∞.专练(六)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·贵州遵义模拟]若集合A ＝{x |1≤x <15}，B ＝{x |－1<lg x ≤1}，则( )
A ．A ∩
B ＝[1,15] B ．A ∪B ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫110，15 C ．A ∩B ＝∅ D ．A ∪B ＝R 答案：B
解析：A ＝{x |1≤x <15}，B ＝{x |－1<lg x ≤1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
110<x ≤10， ∴A ∩B ＝{x |1≤x ≤10}，A ∪B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
10<x <15
.故选B.
2．[2019·辽宁鞍山一中模拟]在复平面内，复数－2＋3i
3－4i
所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案：B
解析：设z ＝－2＋3i 3－4i ，则z ＝－1825＋125i ，所以复数－2＋3i
3－4i
在复平面内所对应的点应位
于第二象限．故选B.
3．[2019·湖北黄冈调研]已知函数f (2x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (x )的定义域为( )
A ．(－2,0)
B ．(－4,0)
C ．(－3,1) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1 答案：C
解析：∵f (2x ＋1)的定义域为(－2,0)，即－2<x <0，∴－3<2x ＋1<1.∴f (x )的定义域为(－3,1)．故选C.
4．[2019·河南濮阳检测]若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
＋m －13的图象不过第三象限”
的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1 答案：B
解析：因为f (0)＝m ＋23，且函数f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－2
3，
所以“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，所以a <－2
3
，则实数a 能取的最大整数为－
1.故选B.
5．[2019·贵州贵阳监测]如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35 答案：C 解析：由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.。