2023年沈阳市中考数学真题试卷及答案

2023年沈阳市中考数学真题试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题,共20分）
1. 2的相反数是（ ） A. 2
B. －2
C.
12
D. 12
-
2. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国自主研发的500m 口径球面射电望远镜（FAST ）有“中国天眼”之称,它的反射面面积约为22500000m ．用科学记数法表示数据250000为（ ） A. 60.2510⨯ B. 42510⨯ C. 42.510⨯ D. 52.510⨯
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A.824a a a ÷=
B. 523-=ab ab
C. 222()a b a b -=-
D. 3226()ab a b -= 5. 不等式1x ≥的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C.
D.
6. 某班级准备利用暑假去研学旅行,他们准备定做一批容量一致的双肩包.为此,活动负责人征求了班内同学的意向,得到了如下数据：
则双肩包容量的众数是（ ）
A. 21L
B. 23L
C. 29L
D. 33L
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 将油滴入水中,油会浮在水面上是不可能事件
B. 抛出的篮球会下落是随机事件
C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命,采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数据的平均数相同,22S 甲
=,2 2.5S =乙,则甲组数据较稳定 8. 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示,则k ,b 的取值范围是（ ）
A. 0k >,0b <
B. 0k <,0b <
C. 0k <,0b >
D. 0k >,0b > 9. 二次函数2(1)2y x =-++图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 10. 如图,四边形ABCD 内接于O ,O 的半径为3,120D ∠=︒,则AC 的长是（ ）
A. π
B.
2
3
π C. 2π D. 4π
二、填空题（本大题共6小题,共18分）
11. 因式分解：322a a a ++=__________．
12. 当3a b +=时,代数式2(2)(35)5a b a b +-++的值为______ ．
13. 若点()12,A y -和点()21,B y -都在反比例函数2
y x
=
的图象上,则1y ______ 2y ．（用<,>或=填空）
14. 如图,直线AB CD ∥,直线EF 分别与AB ,CD 交于点E ,F ,小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点E 为圆心,以任意长为半径作弧交射线EB 于点M ,交射线EF 于点N ;
（2）分别以点M ,N 为圆心,以大于1
2
MN 的长为半径作弧,两弧在BEF ∠内交于点
P ;
（3）作射线EP 交直线CD 于点G ;若29EGF ∠=︒,则BEF ∠=______度． 15. 如图,王叔叔想用长为60m 的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈
ABCD ,已知房屋外墙足够长,当矩形ABCD 的边AB = ______ m 时,羊圈的面积最大．
16. 如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC BC ==,点D 在直线AC 上,1AD =,过点
D 作D
E AB ∥直线BC 于点E ,连接BD ,点O 是线段BD 的中点,连接OE ,则OE
的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题,共82）
17. 计算：()
2
120234sin 303-⎛⎫
--︒ ⎪⎝⎭
． 18. 为弘扬中华优秀传统文化,学校举办经典诵读比赛,将比赛内容分为唐诗、宋词、元曲三类（分别用A ,B ,C 依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有A ,B ,C 的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀,由选手抽取卡片确定比赛内容.选手小明先从三张卡片中随机抽取一张,记下字母后放回洗匀,选手小梅再随机抽取一张,记下字母.请用画树状图或列表的方法,求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率． 19. 如图,在ABC ∆中,AB AC =,AD 是BC 边上的中线,点E 在DA 的延长线上,连接BE .过点C 作CF BE ∥交AD 的延长线于点F ,连接BF ,CE ,求证：四边形
BECF 是菱形．
20. “书香润沈城,阅读向未来”,沈阳市第十五届全民读书季启动之际.某中学准备购进一批图书供学生阅读,为了合理配备各类图书,从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选项：A “艺术类”,B “文学类”,C “科普类”,D “体育类”,E “其他类”,每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书,将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息,解答下列问题：
（
1）此次被调查的学生人数为______ 名;
（2）请直接补全条形统计图;
（3）在扇形统计图中,A “艺术类”所对应的圆心角度数是______ 度;
（4）据抽样调查结果,请你估计该校1800名学生中,有多少名学生最喜爱C “科普类”图书．
21. 甲、乙两人加工同一种零件,每小时甲比乙多加工2个这种零件,甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等,求乙每小时加工多少个这种零件．
22. 如图,AB 是O 的直径,点C 是O 上的一点（点C 不与点A ,B 重合）
,连接AC ,BC ,点D 是AB 上的一点,AC AD =,BE 交CD 的延长线于点E ,且BE BC =．
（1）求证：BE 是O 的切线; （2）若O 的半径为5,1
tan 2
E =
,则BE 的长为______ ． 23. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y kx b =+的图象交x 轴于点()8,0A ,交y 轴于点B .直线13
22
y x =
-与y 轴交于点D ,与直线AB 交于点()6,C a ．点M 是线段BC 上的一个动点（点M 不与点C 重合）,过点M 作x 轴的垂线交直线CD 于点N ．设点M 的横坐标为m ．
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式;
（2）以线段MN ,MC 为邻边作▱MNQC ,直线QC 与x 轴交于点E ． ①当24
05
m ≤<
时,设线段EQ 的长度为l ,求l 与m 之间的关系式; ①连接OQ ,AQ ,当AOQ △的面积为3时,请直接写出m 的值．
24. 如图1,在▱ABCD 纸片中,10AB =,6AD =,60DAB ∠=︒,点E 为BC 边上的一点（点E 不与点C 重合）
,连接AE ,将▱ABCD 纸片沿AE 所在直线折叠,点C ,D 的对应点分别为C ','D ,射线C E '与射线AD 交于点F ．
（1）求证：AF EF =;
（2）如图2,当EF AF ⊥时,DF 的长为______ ;
（3）如图3,当2CE =时,过点F 作FM AE ⊥,垂足为点M ,延长FM 交C D ''于点
N ,连接AN 、EN ,求ANE ∆的面积．
25. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数21
3
y x bx c =++的图象经过点()0,2A ,与
x 轴的交点为点)
B
和点C ．
（1）求这个二次函数的表达式;
（2）点E ,G 在y 轴正半轴上,2OG OE =,点D 在线段OC 上,OD =．以线段
OD ,OE 为邻边作矩形ODFE ,连接GD ,设OE a =．
①连接FC ,当GOD ∆与FDC △相似时,求a 的值;
②当点D 与点C 重合时,将线段GD 绕点G 按逆时针方向旋转60︒后得到线段
GH ,连接FH ,FG ,将GFH ∆绕点F 按顺时针方向旋转(0180)αα︒<≤︒后得到''FH G ∆,点G ,H 的对应点分别为G ',H ',连接DE ．当''FH G ∆的边与线段DE 垂直时,请直接写出点H '的横坐标．
2023年沈阳市中考数学真题试卷答案
一、选择题.
1. B
2. A
3. D
4. D
5. A
6. C
7. D
8. A
9. B 10. C
二、填空题.
11. 2)1(+a a 12. 2 13. > 14. 58 15. 15
16.或2
解：当在线段上时,连接OC ,过点O 作ON BC ⊥于N
①当D 在线段AC 上时
1AD =
2CD AC AD ∴=-= 90BCD ∠=︒
BD ∴== 点O 是线段BD 的中点
122
OC OB OD BD ∴===
=
ON BC ⊥
1322
CN BN BC ∴=== DE AB //
45COE A CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒
2CE CD ∴==
31222
NE ∴=-
= 1ON CO ==
OE ∴===
②当D 在CA 延长线上时,则4CD AD AC =+=
O 是线段BD 的中点,90BCD ∠=︒
1
2
OC OB OD BD ∴===
ON BC ⊥
1322
CN BN BC ∴==
= OB OD = 1
22
ON CD ∴==
DE AB //
45CAB COE CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒ 4CE CD ∴==
35422
EN CE CN ∴=-=-
=
OE ∴===
OE ∴
三、解答题.
17. 10 18.
1
3
19. 证明：AB AC =,AD 是BC 边上的中线
AD ∴垂直平分BC
EB EC ∴=,FB FC =,BD CD =
CF BE ∥
BED CFD ∴∠=∠,EBD FCD ∠=∠ 在EBD △和FCD 中
BED CFD EBD FCD BD CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()AAS EBD FCD ∴≌
BE FC ∴=
EB BF FC EC ∴===
∴四边形EBFC 是菱形．
20. （1）100 （2）见解析 （3）36 （4）720名 【小问1详解】
此次被调查的学生人数为：100%2020=÷名 故答案为：100; 【小问2详解】
D 类的人数为：255402010100=----名
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
在扇形统计图中,A “艺术类”所对应的圆心角度数是：10
360100%36100
︒⨯⨯=︒ 故答案为：36; 【小问4详解】
40
1800100%720100
⨯
⨯=（名） 答：估计该校1800名学生中,大约有720名学生最喜爱C “科普类”图书． 21. 乙每小时加工8个这种零件．
解：设乙每小时加工x 个这种零件,则甲每小时加工()2x +个这种零件
根据题意得：
2520
2x x
=+
解得：8x =
经检验,8x =是所列方程的解,且符合题意． 答：乙每小时加工8个这种零件．
22. （1）证明见解析
（2）8
【小问1详解】
证明：AB 是O 的直径
90ACB ∴∠=︒
90ACD BCD ∴∠+∠=︒
AC AD =
ACD ADC ∴∠=∠
ADC BDE ∠=∠
ACD BDE ∴∠=∠
BE BC =
BCD E ∴∠=∠
90BDE E ∴∠+∠=︒
()18090DBE BDE E ∴∠=︒-∠+∠=︒
即OB BE ⊥． AB 为O 的直径
BE ∴是O 的切线;
【小问2详解】 解：1tan 2E =
,tan DB E BE
= 12DB BE ∴= 设DB x =,则2BE x =
2BC BE x ∴==,10AD AB BD x =-=-
AC AD =
10AC x ∴=-
AB 是O 的直径
90ACB ∴∠=︒
222AC BC AB ∴+=
222(10)(2)10x x ∴-+=
解得：0=x (不合题意,舍去)或4x =．
28BE x ∴==．
故答案为：8．
23. （1）32a =,364
y x =-+ （2）①13524l m =-;①235 【小问1详解】
点()6,C a 在直线1322
y x =-上 1336222
a ∴=⨯-= 一次函数y kx
b =+的图象过点()8,0A 和点36,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 80362k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩
解得346
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为364
y x =-+; 【小问2详解】
①M 点在直线364
y x =-+上,且M 的横坐标为m M ∴的纵坐标为：364
m -+ N 点在直线1322
y x =-上,且N 点的横坐标为m N ∴点的纵坐标为：1232
m - 313155642224
MN m m m ∴=-+-+=-
点36,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,线段EQ 的长度为l 32
CQ l ∴=+ MN CQ =
1553242
m l ∴-=+ 即13524
l m =-; ①AOQ △的面积为3
132
OA EQ ∴⋅= 即1832
EQ ⨯⨯= 解得34
EQ = 由①知,13524
EQ m =- 1353244
m ∴-= 解得235
m = 即m 的值为235
． 24. （1）证明见解析
（2）6
（3）【小问1详解】
证明：四边形ABCD 是平行四边形
AD BC ∴∥
180FAE AEC ∴∠+∠=︒
由折叠性质可知,AEC AEC '∠=∠
180FAE AEC '∴∠+∠=︒
180AEF AEC '∠+∠=︒
FAE AEF ∴∠=∠
AF EF ∴=;
【小问2详解】
解：如图1,作AG CB ⊥,交CB 的延长线于G
AD BC ∥,60DAB ∠=︒
60ABG DAB ∴∠=∠=︒,18090FEG F ∠=︒-∠=︒ AG CB ⊥
90AGB ∴∠=︒
90AGB FEG F ∴∠=∠=∠=︒
∴四边形AGEF 是矩形
由（1）可知：AF EF =
∴矩形AGFE 是正方形
sin sin 60AG ABG AB
∠=︒=,10AB =
sin6010AG AB ∴=⋅︒==
AF AG ∴==6AD =
6DF AF AD ∴=-=
故答案为：6;
【小问3详解】
解：如图2,作AQ CB ⊥,交CB 的延长线于Q ,作MT AF ⊥于T ,交HD 的延长线于G ,作HR MT ⊥于R
四边形ABCD 是平行四边形
10AB CD ∴==,6AD BC ==,AB CD ∥,CB AD ∥ 60ABQ DAB ∴∠=∠=︒
在Rt AQB 中,1cos601052BQ AB =⋅︒=⨯=,sin 6010AQ AB =⋅︒==2CE =
6529EQ BC BQ CE ∴=+-=+-=
在AQE Rt ∆中,AE ===由（1）可知：AF EF =
FM AE ⊥
1
2
AM EM AE ∴=== 又▱ABCD 纸片沿AE 所在直线折叠,点C ,D 的对应点分别为C ','D HM MN ∴=
AD BC ∥
DAE AEQ ∴∠=∠
cos cos DAE AEQ ∴∠=∠,sin sin DAE AEQ ∠=∠ AT EQ AM AE ∴=,MT AQ AM AE
=
==
92AT ∴=,MT = 93622DT AD AT ∴=-=-
= AB CD ∥
60GDT DAB ∴∠=∠=︒
在Rt DGT 中,tan tan 60GT GDT DT
∠=︒=
tan 60GT DT ∴=⋅︒
MG GT MT ∴=+==90FMT AMT ∠+∠=︒,18090DAE AMT ATM ∠+∠=︒-∠=︒ FMT DAE ∴∠=∠
FMT AEQ ∴∠=∠
tan tan FMT AEQ ∠=∠
HR AQ RM EQ ∴==∴设
HR =,9RM k =
MG AF ⊥,HG MG ⊥
HR AF ∴∥
60GHR GDT ∴∠=∠=︒
tan tan GHR GDT ∴∠=∠
tan 60GR HR
∴=︒=
15GR k ∴===
GR RM MG +=
159k k ∴+=
k ∴= 5
2
HR ∴== sin sin FMT AEQ ∠=∠
HR AQ HM AE
∴=
5
2HM ∴=
HM ∴=
MN ∴=
1122
ANE S AE MN ∴=
⋅=⨯=． 25. （1
）2123y x =+ （2）①32或65
;①3
或
【小问1详解】 二次函数213
y x bx c =++的图象经过点()0,2A ,与x
轴的交点为点)B
2,120
c =⎧⎪∴⎨+=⎪⎩
解得：2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴
此抛物线的解析式为2123
y x =+ 【小问2详解】
①令0y =,
则21203
x +=
解得：x =
x =
①C
OC ∴=
①,2,OE a OG OE OD ===
①2,OG a OD ==
四边形ODFE 为矩形
①,EF OD FD OE a ====
①(0,),,0),,),(0,2)E a D F a G a
①CD OC OD =-=
①.当GOD FDC ∽时 ①OG FD OD CD
=
= ①32
a = ①.当GOD CDF ∽时 ①
OG CD OD FD =
a = ①65
a = 综上,当GOD 与FDC △相似时,a 的值为
32或65; ②点D 与点C 重合
①OD OC ==
①2,24,2OE OG OE EF OD DF OE ======= ①2EG OE ==
2,EG DF ∴==
,EG DF ∥
∴四边形GEDF 为平行四边形
4,
FG DE
∴====
30,
GFE
∴∠=︒
60,
EGF
∴∠=︒
60,
DGH
∠=︒
,
EGF DGH
∴∠=∠
.
OGD FGH
∴∠=∠
在GOD和GFH中
4
,
GO GF
OGD FGH
GD GH
==
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(),
GOD GFH SAS
∴≌
90.
FH OD GOD GFH
∴==∠=∠=︒
GH
∴===
①、当'G F所在直线与DE垂直时,如图
90,
GFH
∠=︒,
GF DE
∥
''90,
G FH
∴∠=︒
G
∴,F,H'三点在一条直线上
4
GH GF FH FG FH
∴'=+'=+=+
过点H'作H K y
'⊥轴于点K, 则H K FE
'∥
30,
KH G EFG
∴∠'=∠=︒
cos30(43,
H K H G
∴'='⋅︒=+=
①此时点H'的横坐标为
3
①.当''G H 所在直线与DE 垂直时,如图 GF DE ∥
''G H GF ∴⊥
设GF 的延长线交''G H 于点M ,过点M 作MP EF ⊥,交EF 的延长线于点P ,过点'H 作'H N MP ⊥,交PM 的延长线于点N ,则H N PF x '∥∥轴,30PFM EFG ∠=∠=︒．
''11''''22
FG H S G H FM FH FG =⋅=⋅
4∴⨯=
FM ∴=.
cos30727
FP FM ∴=⋅︒==
7
PE PF EF ∴=+=．
'H M ==
''sin30H N H M ∴=⋅︒=
∴此时点'H 的横坐标为'PE H N -==; ①.当'FH 所在直线与DE 垂直时,如图 ''90H FG ∠=︒,GF DE ∥ '90GFH ∴∠=︒
H ∴,F ,'H 三点在一条直线上,则'30H FD ∠=︒
第 21 页 共 21 页 过点'H 作'H L DF ⊥,交FD 的延长线于点L
1''sin302H L H F =⋅︒==∴此时点'H
的横坐标为'EF H L -== 综上,当''G FH 的边与线段DE 垂直时,点'H
的横坐标为3
或
.。