2020学年高一数学下学期期末模拟试题人教版(1)

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2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章立体几何初步(章节专练解析版)

第八章立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=，即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误；如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴，又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=，故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=，故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=，整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=，故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=，整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-，若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥，但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾，故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______．【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ，又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）3．【详解】（1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ，所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥，又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

高一下学期期末模块模拟考试(数学)

高一第二学期数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。

1、从2004名学生中选取50名组成观光团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004名人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率A、不全相等B、均不相等C、都相等且为{ EMBED Equation.KSEE3 \*MERGEFORMAT |251002D、都相等且为2、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为A、65辆B、76辆C、88辆D、95辆3、在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为A、B、C、 D 、4、已知非空集合A、B满足,给出以下四个命题若任取，则是必然事件若任取，则是不可能事件若任取，则是随机事件若任取，则是必然事件其中正确的个数是A、1B、2C、3D、45、某高校研究小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制定了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭A、82万盒B、83万盒C、84万盒D、85万盒6、某校有学生4500人，其中高三1500人。

为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为A、50B、100C、150D、207、甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一个人及格的概率为A、B、C、 D 、8、如图：矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，从此实验数据为依据可以估计椭圆的面积约为A、7.68B、16.32C、17.32D、8.689、已知样本容量为30，在样本频率直方图1中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率和频数分别为A、0.4，12B、0.6,16C、0.4,16D、0.6，1210、方程有实根的概率A、B、C、 D 、11、连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是A、B、C、 D 、12、为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题。

北京市第九中学2022-2023学年高一下学期数学期末模拟试题(1)

=
11 14
.
故选：C 10．B
【分析】以
O
为原点建立的直角坐标系，设
P
( 4cosq，4s，inq
)
æçq è
Î éêë0
p 2
ùö
úû
÷ ø
，设
( ) E (t，0)，(t Î[0 2]) ，可得 F 0，4 - t2 ，
( ) uuur
uuur
PE = (t - 4cosq，-，4s，inq ) PF = -4cosq
-
1 4
9．已知
cos
æçèa
+
π1ö 6 ÷ø
=
7
，
0π<
a
<
，则 sina 的值为（
）
A． 3 3 14
B． 5 3 14
C．
11 14
D． 13 14
10．如图，已知 AOB 是半径为 4 ，圆心角为 π 的扇形，点 E，F 分别是 OA，OB 上的两 2
动点，且
EF
=
2
，点
P
在圆弧
»AB
上，则
，解得
l
=
4 3
,
m
=
1 3
，
l
+
m
=
5 3
所以
l
+
m
的值为
5 3
.
故选：B 8．A 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】因为 2sin C = 3sin B ，
由正弦定理可得
2c
=
3b
Þ
b
=
2 3
c
，
又

福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)

福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

福建省宁德市2020_2021学年高一数学下学期期末考试质量检测试题含解析

福建省宁德市2020-2021学年高一数学下学期期末考试质量检测试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知复数z满足z＝i（1+i），则是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为（）A．A与B互斥B．A与B对立C．A与B独立D．A与B相等3．如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A．甲户比乙户大B．乙户比甲户大C．甲、乙两户一般大D．无法确定哪一户大4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°5．已知m，n是两条直线．α，β是两个平面，下列说法正确的是（）A．若m∥n，n∥α，则m∥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m∥α，n⊂α，则m∥n D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．B．C．D．7．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C．D．8．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则＝（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设向量，则（）A．B．C．D．在上的投影向量为（1，0）10．任何一个复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cosθ+i sinθ）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n＝[r（cosθ+i sinθ）]n ＝r n（cos nθ+i sin nθ）（n∈N+），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．当时，B．C．|z4|＝|z|4D．在复平面内对应的点的坐标为第三象限11．已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（）A．正四面体的外接球的表面积为96πB．正四面体的内切球的体积为C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为12．新冠肺炎期间，某社区规定：若任意连续7天，每天不超过6人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该社区没有发生群体性发热的为（）A．中位数为4，众数为3 B．均值小于1，中位数为1C．均值为2，标准差为D．均值为3，众数为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知z＝，则|z|＝．14．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝．15．如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于．16．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量满足＝（1，1），||＝1．（1）若的夹角θ为，求；（2）若，求与的夹角．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若面ABB1A1⊥面ABC，AA1⊥AB，AA1＝2，求几何体ABD﹣A1B1C1的体积．19．某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量﹣标准质量，单位mg）的样本数据统计如下：（1）求样本数据的80%分位数；（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在（﹣s，+s）范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．①若产品的质量差为62mg，试判断该产品是否属于一等品；②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．20．现给出两个条件：①2b sin A＝a tan B，②a（sin A﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若_____．（1）求B；（2）若点D是边AC靠近A的三等分点，且BD长为1，求△ABC面积的最大值．21．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：（1）恰有一人面试合格的概率；（2）至多一人签约的概率．22．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空．若⊥，则该三棱锥为“鳖臑”；（2）已知三棱锥P﹣ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知复数z满足z＝i（1+i），则是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝i（1+i）＝﹣1+i，∴．故选：B．2．掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为（）A．A与B互斥B．A与B对立C．A与B独立D．A与B相等【分析】事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件；P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝，由P（AB）＝P（A）P （B），得A与B独立；事件A与事件B不相等．解：掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B均错误；P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝，∵P（AB）＝P（A）P（B），A与B独立，故C正确；事件A与事件B不相等，故D错误．故选：C．3．如图1、图2分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A．甲户比乙户大B．乙户比甲户大C．甲、乙两户一般大D．无法确定哪一户大【分析】由柱状图计算出乙户的旅游支出占比，再与甲的比较即可．解：由饼状图，甲户的旅游支出占25%；由柱状图，乙户的旅游支出占＜25%．故选：A．4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：D．5．已知m，n是两条直线．α，β是两个平面，下列说法正确的是（）A．若m∥n，n∥α，则m∥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m∥α，n⊂α，则m∥n D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β【分析】对于A，m∥α或m⊂α；对于B，m与β相交、平行或m⊂β；对于C，m与n 平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．解：由m，n是两条直线．α，β是两个平面，知：对于A，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故B错误；对于C，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．B．C．D．【分析】找出10组随机数中三次投篮恰有两次命中的事件，计算所求的概率值．解：根据10组随机数：204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，表示三次投篮恰有两次命中的事件是204，171，263，共3件；所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝．故选：B．7．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，利用列举法求出田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，由此能求出田忌的马获胜的概率．解：田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，基本事件总数n＝3×3＝9，分别为：田忌的上等马对阵齐王的上等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的下等马对阵齐王的中等马，田忌的下等马对阵齐王的下等马，田忌的马获胜包含的基本事件有3种情况，分别为：田忌的上等马对阵齐王的中等马，田忌的上等马对阵齐王的下等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，则田忌的马获胜的概率为P＝．故选：C．8．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．解：∵＝2，∴＝+＝+＝+（﹣）＝+﹣×，∴＝+，∴＝+．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设向量，则（）A．B．C．D．在上的投影向量为（1，0）【分析】根据平面向量数量积的运算性质逐一进行判断即可解：因为，所以＝（﹣1，﹣1），对A：||＝，||＝，所以||＝||，故A正确；对B：因为1×（﹣1）﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣2≠0，所以与不平行，故B错误；对C：（）•＝﹣1+1＝0，所以（）⊥，故C正确；对D：在上的投影为＝＝1，则在上的投影向量为（1，0），故D正确；故选：ACD．10．任何一个复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cosθ+i sinθ）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n＝[r（cosθ+i sinθ）]n ＝r n（cos nθ+i sin nθ）（n∈N+），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．当时，B．C．|z4|＝|z|4D．在复平面内对应的点的坐标为第三象限【分析】根据已知条件，结合复数z的三角形式和共轭复数的概念，即可求解．解：对于A选项，当时，z＝cos+＝，，故A选项正确，对B选项，＝cosπ+sinπi＝﹣1，故B选项错误，对于C选项，∵z＝r（cosθ+i sinθ），∴z4＝r4（cos4θ+i sin4θ），则|z4|＝r4，|z|4＝r4，∴|z4|＝|z|4，故C选项正确，对于D选项，＝＝，即在复平面对应的点为（，）位于第四象限，故D选项错误．故选：AC．11．已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（）A．正四面体的外接球的表面积为96πB．正四面体的内切球的体积为C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为【分析】设这个四面体的棱长为a，利用分割补形法求其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解a，然后逐一分析四个选项得答案．解：设这个四面体的棱长为a，四面体可看作棱长为的正方体截得的，故四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体体对角线长，2R外＝＝，∴R外＝a，四面体的高h＝a，根据等体积法，S•h＝4×S•r内，解得r内＝a，依题意得R外﹣r内＝a﹣a＝，∴a＝12，故C正确；正四面体外接球的半径，则正四面体外接球的表面积为4π×54＝216π，故A错误；正四面体内切球的半径为，则内切球的体积V＝×＝，故B正确；线段MN的最大值为：R外+r内＝，故D错误．故选：BC．12．新冠肺炎期间，某社区规定：若任意连续7天，每天不超过6人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该社区没有发生群体性发热的为（）A．中位数为4，众数为3 B．均值小于1，中位数为1C．均值为2，标准差为D．均值为3，众数为4【分析】根据题意，假设设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a，b，c，d，e，f，g，且0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，由此依次分析选项，可得答案．解：由题意，设连续7天，每天的体温高于37.3℃的人数分别为a，b，c，d，e，f，g，且0≤a≤b≤c≤d≤e≤f≤g，依次分析选项：对于A，a，b，c，d，e，f，g依次取3，3，3，4，5，5，7，则满足中位数为4，众数为3，但是第7天的人数为7＞6，不符合题意；对于B，若g≥7，中位数为1，则有（a+b+c+d+e+f+g）＞g≥1，与均值小于1矛盾，可以判定该社区没有发生群体性发热，符合题意；对于C，若均值为2，标准差为，则有（a+b+c+d+e+f+g）＝2，[（a﹣2）2+…+（g﹣2）2]＝3，变形可得a+b+c+d+e+f+g＝14，（a﹣2）2+…+（g﹣2）2＝21，若g≥7，则（g﹣2）2≥25，与标准差为矛盾，可以判定该社区没有发生群体性发热，符合题意；对于D，a，b，c，d，e，f，g依次取0，1、2，3，4，4，7，满足均值为3，众数为4，但是第7天的人数为7＞6，不符合题意；故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知z＝，则|z|＝ 1 ．【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．解：∵z＝＝，∴．故答案为：1．14．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝ 1 ．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sin B，进而求得B，再根据正弦定理求得a．解：在△ABC中由正弦定理得，∴sin B＝，∵b＜c，故B＝，则A＝由正弦定理得∴a＝＝1故答案为：115．如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于．【分析】作出图形，数形结合能求出结果．解：如图，以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，，水面所在直线EF∥桌面所在直线CD，，∴，∴圆柱母线与水面所在平面所成的角∠EFB＝∠CBF＝．故答案为：．16．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最小值为﹣4 ．【分析】设在向量方向上的投影为x，结合图形可知当N点与A点重合时x最小，所以，进而可得答案．解：设在向量方向上的投影为x，则，当x最小时，取得最小值，结合图形可知当N点与A点重合时x最小，所以＝．故答案为：﹣4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量满足＝（1，1），||＝1．（1）若的夹角θ为，求；（2）若，求与的夹角．【分析】（1）根据平面向量数量积运算公式求解即可；（2）由得，进而求出，再根据平面向量夹角公式求解即可．解：（1），所以，所以，（2）因为，所以，所以，所以，所以，因为θ∈[0，π]，所以．故与的夹角为．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若面ABB1A1⊥面ABC，AA1⊥AB，AA1＝2，求几何体ABD﹣A1B1C1的体积．【分析】（1）连接A1C，交AC1于O，连接OD，可得OD∥A1B，再由直线与平面平行的判定得AB1∥平面ADC1；（2）由平面ABB1A1⊥平面ABC，AB⊥AA1，利用平面与平面垂直的性质可得AA1⊥平面ABC，再由已知求得三棱锥ABC﹣A1B1C1与三棱锥C1﹣ADC的体积，作差可得几何体ABD﹣A1B1C1的体积．【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于O，连接OD，∵OD是ΔCA1B的中位线，∴OD∥A1B，又OD⊂平面ADC1，AB1⊄平面ADC1，∴AB1∥平面ADC1；（2）解：∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥AA1，AA1⊂平面ABB1A1，∴AA1⊥平面ABC，∵AB⊥AC，AB＝AC＝1，且AA1＝2，∴，，故．19．某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量﹣标准质量，单位mg）的样本数据统计如下：（1）求样本数据的80%分位数；（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在（﹣s，+s）范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．①若产品的质量差为62mg，试判断该产品是否属于一等品；②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．【分析】（1）求出频率f1＝0.1，f2＝0.2，f3＝0.45，f4＝0.2，f5＝0.05，f1+f2+f3+f4＝0.95；f1+f2+f3＝0.75，从而80%分位数一定位于[76，86）内，由此能估计样本数据的80%分位数．（2）①求出平均数，得到，再由62∈（60，80），得该产品属于一等品．②记三件一等品为A，B，C，两件二等品为a，b，利用列举法求出摸出两件产品总基本事件共10个，法一：记A：摸出两件产品中至少有一个一等品，利用列举法求出A包含的基本事件共9个，由此能求出所求概率．法二：记事件A：摸出两件产品中至少有一个一等品，：摸出两个产品，没有一个一等品，基本事件共一个（a，b）．利用对立事件概率计算公式能求出所求概率．解：（1）因为频率f1＝0.1，f2＝0.2，f3＝0.45，f4＝0.2，f5＝0.05，f1+f2+f3+f4＝0.95；f1+f2+f3＝0.75，所以，80%分位数一定位于[76，86）内，所以＝．所以估计样本数据的80%分位数约为78.5．（2）①，所以，又62∈（60，80）可知该产品属于一等品．②记三件一等品为A，B，C，两件二等品为a，b，这是古典概型，摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），方法一：记A：摸出两件产品中至少有一个一等品，A包含的基本事件共9个，分别是：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），所以．方法二：记事件A：摸出两件产品中至少有一个一等品，：摸出两个产品，没有一个一等品，基本事件共一个（a，b）．所以．20．现给出两个条件：①2b sin A＝a tan B，②a（sin A﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若_____．（1）求B；（2）若点D是边AC靠近A的三等分点，且BD长为1，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）①根据正弦定理以及同角关系进行转化求解；②利用正弦定理和余弦定理进行转化求解即可．（2）根据点D是边AC靠近A的三等分点，方法1：根据条件得到关于a，c的关系式，然后利用基本不等式求出ac的范围，再得到面积的最大值；方法2，直接利用余弦定理，结合基本不等式进行转化求解即可．解：（1）若选①，由2b sin A＝a tan B，得2 sin B sin A＝由sin A≠0，sin B≠0，得因为B∈（0，π），所以B＝60°．若选②，由a（sin A﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C，得a2+c2﹣b2＝ac所以因为B∈（0，π），所以B＝60°．（2）方法一：，，由，平方得，即，所以，所以，即，当且仅当时，取等号，所以，此时且．方法二：△ABC中，由余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣ac，由∠ADB+∠CDB＝π，得cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，所以，所以，即a2+4c2+2ac＝9，由基本不等式，得即，当且仅当，取等号，所以，即，所以，此时且．21．甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：（1）恰有一人面试合格的概率；（2）至多一人签约的概率．【分析】（1）利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约，然后由互斥事件的加法公式得到P（E）＝P（F）+P（G），再利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式分别求解P（F），P（G），即可得到答案．解：（1）记事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格事件C：丙面试合格事件D：恰好有一人面试合格，依题意，事件A、B、C相互独立，所以＝＝；（2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约，因为F与G互斥，所以P（E）＝P（F）+P（G），又＝＝，＝＝，，所以至多一人签约的概率为．22．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空．若AB⊥BC，则该三棱锥为“鳖臑”；（2）已知三棱锥P﹣ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．【分析】（1）由“鳖臑”的定义求解即可；（2）①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，利用线面垂直的判定定理和性质证明l⊥平面BCD，即可证明l⊥BD；②延长ED，BC，交于点F，连接AF，利用线面垂直的判定定理证明AF⊥平面PAB，由二面角的平面角的定义即可证明．解：（1）因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，故△PAC与△PAB是两个直角三角形，当AB⊥BC时，则△BAC为直角三角形，因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，则△BPC为直角三角形，故该三棱锥为“鳖臑”；（2）①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，证明如下：在△ABC中，由余弦定理可得，由勾股定理逆定理可知，BC⊥AC，又因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又l⊂平面PAC，则l⊥BC，又l⊥CD，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD，所以l⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD所以l⊥BD；②延长ED，BC，交于点F，连接AF，因为点F∈平面ADE，点F∈平面ABC，所以平面ADE∩平面ABC＝AF，因为PA⊥底面ABC，且AF⊂平面ABC所以PA⊥AF，因为PB⊥平面EDA，AF⊂平面EDA，所以PB⊥AF，又因为PB∩PA＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以AF⊥平面PAB，所以AF⊥AE，AF⊥AB，故∠EAB是平面EAD与平面BAC所形成的二面角的平面角．21。

高中数学必修二北京市丰台区 — 学年度高一下学期期末练习数学试题(含答案)

12.某中学共有教师300名，其中男教师有180名．现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的样本，应抽取的男教师人数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为，
9.如图所示，在复平面内，复数，所对应的点分别为A，B，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并结合复数的几何意义得到的表示.
【详解】因为，与对应，与对应，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数和复平面内的点一一对应，同时复数和平面向量也一一对应.
丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的，
所以球的半径为，所以球的体积为，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .

2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)

2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。

四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2023-2024学年高一下学期期末模拟考试(一)数学试题

姓名：班级： .高2023级高一下期期末模拟考试（一）数学试题第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题.1．已知集合{}{}2230,1525x A x x x B x =--<=<<∣∣，则A B =（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)2．若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为（） A ．B ．2πC ．D ．4π3．已知向量()2a x =，，()36b x =，，则“2x =”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，4b =，1sin 2A =，则c =（） A ．4B ．C ．3D ．5．若π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．79- B ．19- C ．19 D ．796．设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（） A ．若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ C ．若m αβ=，//n α，//n β，则//m n D ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥7．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数 D ．()f x 在[]π,π-上的零点有4个8．已知函数()cos f x x x ωω=-，若关于x 的方程()10f x -=在区间(]0,2π上有且只有四个不相等的实数根，则正数ω的取值范围是（）A ．37,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．325,26⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．313,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．313,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题.9．z 、z 互为共轭复数，(1i)2z +=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．1i z =+B ．z 在复平面内对应的点在第二象限C ．z 的虚部为i - D．||z =10．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（） A ．2c cd < B ．a c b d -<- C ．ac bd < D ．0c d a b -> 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（）A ．1FD FC =B ．三棱锥1C DED -的体积为定值C ．11ED A D ⊥D ．1BC 与AC 所成的角为45︒第П卷（非选择题共92分）三、填空题.12．若角α满足tan 2α=，则()()3πsin πcos 2πsin cos π2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭13．已知()1,1a =-，()2,0b =，则b 在a 方向上的投影的坐标为 . 25．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，若点O 是线段AC 的中点，则三棱锥1O AA D -的外接球的表面积为 .四、解答题.15．已知向量a 与b 的夹角为π3，且2,3a b ==. (1)求32a b -的值；(2)若()a kb a +⊥，求实数k 的值.姓名：班级： .16．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos b a C c A B +=. (1)求角B 的大小；(2)若cos 3A =，求sin(2)AB +的值；(3)若ABC 的面积为3，3b =，求ABC 的周长.17．已知向量()()()sin ,3sin π,cos ,sin a x x b x x =+=-，函数()3f x a b =⋅-. (1)求()f x 的最小正周期及()f x 图象的对称轴方程；(2)先将()f x 的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象.若函数()2y g x m =-在区间π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点M 是棱PC 的中点.(1)求证：平面BDM ⊥平面ABCD ；(2)求三棱锥P BDM -的体积.19．已知函数2()(22)log a f x a a x =--是对数函数．（1）若函数()log (1)log (3)a a g x x x =++-，讨论函数()g x 的单调性；（2）在（1）的条件下，若1[,2]3x ∈，不等式()30g x m -+≤的解集非空，求实数m 的取值范围．。

2022-2023学年安徽省马鞍山市第二中学高一下学期开学考试数学模拟试题(1)(解析版)

故答案为：
15.函数在区间内不单调，则k的取值范围是___________.
由于，则，
因为，所以可得：，
故选：C
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 =min{ ， }，下列说法正确的是（）
A. 在区间单调递增
B. 在区间单调递减
C. 有最小值1
D. 有最大值1
的单调递增区间应满足，即， ,
所以的单调递增区间为，，故D正确；
故选：ACD
12.关于函数，下列描述正确的有（）
A. 在区间上单调递增B. 的图象关于直线对称
C.若则 D. 有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．
【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
【详解】因为是上的增函数，所以，解得，即实数的取值范围是
故选： .
7.已知且恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，则且、均为正数，
【答案】BD
【解析】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象即可求解.
【详解】画出的大致图象，如图所示：
由图象可知，在区间上不单调，在区间单调递减，故错误，正确，
当或时，取得最大值1，无最小值，故错误，正确，
故选： .
10.下列不等关系中一定成立的是（）

人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)

故选：B.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）且；
（3）且为等差数列；
（4）为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，所以，即，
又因为为的内角，
所以．
解得，，
，；
（2），
，
又，由题得，即，
，即
由题知且，故，
故，
故只需考虑，时，时，时，
17.（10分）已知中，点 .
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量， .
（1）若，其中，求坐标；
（2）若与的夹角为，求的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】，
，等号成立时， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

安徽省黄山市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案

1黄山市2020-2021学年第二学期期末质量检测高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试题卷．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．复数（其中i 是虚数单位）=+-+i i 322A ．0B ．2C ．－2iD ．2i2．某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生 A ．570 B ．615 C ．600 D ．630 3. 如图Rt O A B '''△是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是A ．22 B ．1 C ．22 D ．24．随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A ，记“向上的点数之差为奇数”为事件B ，则A ．,AB 对立 B ．,A B 互斥但不对立C ．A B ⊆D ． A B ≠∅5. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“有个金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是:有一个空心金球,它的直径寸,球壁厚寸,立方寸金重斤,试问金球重是多少斤?(注:)A.B. C.D.第3题图26. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为11,32，则密码被破译的概率为 A ．16 B ．23C ．56D ．1 7. 一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么,B C 两点间的距离是 A ．103海里 B ．102海里 C ．203海里 D ．202海里8. 已知AOB ∆,存在非零平面向量OC ，满足4,2OA OB OC ==,且3CA CB ⋅=,则AB 的最小值A.B. 3C. 2D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列命题：其中正确命题的是A ．若A 与B 是互斥事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； B ．若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； C ．对立事件一定是互斥事件；D ．若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A 与B 是对立事件.10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是甲地：总体平均数3x ≤，且中位数为0；乙地：总体平均数为2，且标准差2s ≤；丙地：总体平均数3x ≤，且极差2c ≤；丁地：众数为1，且极差4c ≤． A ．甲地 B ．乙地 C ．丙地 D ．丁地11.如图，矩形ABCD 中,22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆(点1A 不落在底面BCDE 内)，若M 在线段1AC 上(点M 与1A ，C不重合)，则在ADE ∆翻转过程中，以下命题正确的是 A. 存在某个位置，使1DE AC ⊥B. 存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立C. 存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D. 四棱锥1A BCDE -体积最大值为24第11题图312.点O 在ABC ∆所在的平面内,则以下说法正确的有 A ．若动点P 满足()(0)sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++>,则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的垂心；B ．若0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则点O 为ABC ∆的内心； C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,则点O 为ABC ∆的外心；D ．若动点满足,则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的重心.第Ⅱ卷（非选择题满分90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13.已知复数3122z i =+，z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=________. 14.已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角余弦值为____. 15.已知三个事件A ，B ，C 两两互斥且()0.3P A =，()0.6p B ，()0.2P C =，则()P A B C = .16.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三梭柱称为 “堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”. 现有如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，其中1,AC BC AA AC ⊥=1=.当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积为13时，则“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请．在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．.） 17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．满足22cos c a b A =+．（1）求B ；（2）若10a c +=，6b =，求ABC ∆的面积．第16题图40.030 0.025 分数0.0050.010 0.020 0.015 0.040 0.035 —频率组距 18．（本小题满分12分）某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如下图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．（参考公式：221nii xnx s n=-=∑（参考数据：22221044100,19236864,11012100===）19.（本小题满分12分）某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面相同,圆柱有上底面,制作时接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为32cm π,高为30cm ,圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积；（2）现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”,该材料的造价为每平方米4元,共需多少元?520.（本小题满分12分）已知i 是虚数单位，复数12341,z 1,z 1,z 11i iz i i i i+==+=-=-+．（1）求1234||,||,||,||z z z z ；（2）随机从复数234,,z z z 中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等于1的概率．21.（本小题满分12分）设G 为ABC ∆的重心，G '为BCG ∆的重心,过G '作直线分别交线段,AB AC (不与端点重合)于,M N ．若,AM xAB AN yAC ==．（1）求证11x y+为定值；（2）求x y +的取值范围．6DB CAPl F22.（本小题满分12分）已知矩形满足是正三角形，平面平面. （1）求证：; （2）设直线过点且平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧，记直线与平面所成的角为θ，若023CF <<求tan θ的取值范围.7黄山市2020-2021学年第二学期期末质量检测高一数学参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）.）13. 1 14.0.9三、填空题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）解：(1)由题意：因为正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，所以对于22cos c a b A =+，有2sin sin 2sin cos C A B A =+， ……………………1分[]2sin ()sin 2sin cos A B A B A π∴-+=+整理得：2sin cos sin ,0,sin 0A B AA A π=<<∴≠,1cos 2B ∴=………………3分 ABC ∆中，∴0B π<<，故3B π=.…………………………………………5分(2)由(1)及题意可得：22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-6431003664,3ac ac =-=∴=…………………………………………………………8分 ∴1164sin 22323ABC S ac B ∆==⨯⨯=，所以ABC ∆. …………………………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（1）因为0.050.150.250.450.5++=<80.050.150.250.350.80.5+++=> 所以中位数为x 满足7080x <<由80()0.350.10.10.510x -⨯++=，解得608071.47x =-≈ …………………………3分设平均分为y ，则0.05450.15550.25650.35750.1850.19571.0y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………6分（2）由题意，剩余8个分数的平均值为01010080908x x --== ……………………8分因为10个分数的标准差1022110(90)610ii xs =-⨯==∑所以2222110...10(6)10(90)81360x x ++=⨯+⨯= ………………………………………11分所以剩余8个分数的标准差为222221100+)801008(90)8x x s +---⨯=（2025==……………………………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：设圆柱的底面半径为,高为;圆锥的母线长为,高为,根据题意可知:(1)232r ππ=,16r cm =,221201612h cm =-=, 所以“笼具”的体积2231166563V r h r h cm πππ=-=. ………………………………………………6分(2)圆柱的侧面积21221630960S rh cm πππ==⨯⨯=,圆柱的底面积221256S r cm ππ==, 圆锥的侧面积231620360S rl cm πππ==⨯⨯=,所以“笼具”的表面积为21536cm π, 故造100个“笼具”的总造价:41536100415361025ππ⨯⨯=元. ……………………………………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：11z =2112z =+=33111,112z i z i=+=-=+=92442(1)1,1(1)(1)122i i i i i i z z i i i i --+======++-- ……………………………4分（2）设随机从复数234,,z z z 中有放回的任取两个复数的样本点为(,)a b ，则该随机试验的样本空间为{Ω=2223243233(,),(,),(,),(,),(,),z z z z z z z z z z34424344(,),(,),(,),(,)}z z z z z z z z所以()9n Ω= ……………………………………………………………………………7分设事件A =“所取两个复数的模之积等于1”，则事件24344243{(,),(,),(,),(,)}A z z z z z z z z =，所以()4n A = ………………11分所以()4()()9n A P A n ==Ω. ……………………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：(１)连结AG 并延长交BC 于P ,则P 是BC 的中点，设,AB b AC c ==，则11()()22AP AB AC b c =+=+，21()33AG AP b c ==+,'2211()()3369GG GP b c b c ==⨯+=+,所以'4()9AG b c =+① ，又,AM xAB xb AN yAC yc ====②，由于,,M G N '三点共线，故存在实数t ，使'4(1)(1)()9AG t AM t AN xtb y t c b c =+-=+-=+，494(1)9xt y t ⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩1194x y ∴+= ………………………………………………6分（2）4,(0,1),(0,1)94x x y y x ∈∴=∈-，4(,1)5x ∴∈，即15(1,)4x ∈， 22499949494x x x y x x x x x +=+==---所以，当198x =即89x =时，294x x -有最大值8116，当1514x =或即415x =或时，294x x-有下确界5（取不到5），10GEDBCA PlF于是x y +的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡59,916． …………………………………………… 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）取的中点,连接. 由点是正边的中点，, 又平面平面，平面平面,所以平面,则.因为.所以. 故,则. 又,故平面,又PC ⊂ 平面PEC ,所以PC BD ⊥. …………………………………………………5分（2）在平面PAB 内过点B 作直线//m FC ，过F 作FG m ⊥于G ，连接PG . 则是直线与平面所成的角，由直线平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离为,设=0,23CF x ∈（）在PBG ∆中，由余弦定理得：222=422cos30234PG x x x x +-⨯⨯⨯=-+ 在Rt PFG ∆中，由2222tan 234(3)1GFPGx x x θ===-+-+因为0,23x ∈（），2tan (2]2θ∴∈ ……………………………………………12分。

广东省深圳市2022-2023学年高一下学期期末调研考试数学试题 (1)

广东省深圳市2022-2023学年高一下学期期末调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={-1,0,1,2}，B =x 0<x <3 ，则A ∩B =()A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.设复数z 满足iz =1+i (i 是虚数单位)，则|z |=()A.12B.2C.22D.23.已知tan α=2，则cos2α=()A.-35B.35C.-45D.454.某户居民今年上半年每月的用水量(单位：t )如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是()A.平均数B.中位数C.极差D.标准差5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是()A.m ⎳α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ⎳nB.m ⎳n ，m ⎳α，n ⊄α，则n ⎳αC.α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nD.α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6.在梯形ABCD 中，若AB =2DC ，且AC =xAB +yAD ，则x +y =()A.32B.2C.52D.37.已知正实数m ，n 满足m +n =2，则下列不等式恒成立的为()A.ln m +ln n ≥0B.m 2+n 2≤2C.1m +1n≥2 D.m +n ≤28.已知函数f (x )=e x +e -x +lg x ，则不等式f (x +1)>f (2x -1)的解集为()A.(0,2)B.0,12 ∪12,2 C.(0,3)D.0,12 ∪12,3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f (x )=cos 2x +π6，则()A.f (x )的最小正周期为πB.f (x )的图象关于-π12,0对称C.f (x )的图象关于x =5π12对称 D.f (x )在0,π2上单调递减10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则()A.事件A ∪B 是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件11.用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[-1.2]=-2，[1.5]=1.已知f (x )=x +[x ]，则()A.f 12=12B.f (x )为奇函数C.∃x 1>x 2，使得f x 1 <f x 2D.方程f (x )=3x -1所有根的和为3212.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90°，且AB =BC =CC 1=2，M 为线段BC 上的动点，则()A.AB 1⊥A 1MB.三棱锥C 1-AMB 1的体积不变C.A 1M +C 1M 的最小值为3+5D.当M 是BC 的中点时，过A 1,M ,C 1三点的平面截三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.lg2+lg5-π0=_____________.14.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_____________.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D .现测得∠BCD =15°，∠BDC =120°，CD =100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB =60°，则该大厦高度AB =_____________米(精确到1米).参考数据：2≈1.414，3≈1.732.16.四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB =2，CD =22，EF =1，点P 满足PA ⋅PB =0，则PC ⋅PD的最大值为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f (x )=sin (2x +θ)，其中θ∈0,π2 ，且f π6 =1.(1)求θ；(2)若x ∈0,π4，求f (x )的值域.18.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =2c -2a cos B .(1)求A ；(2)若a =33，c =2b ，求△ABC 的面积S .19.(12分)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1)在1，8 上的最大值为3.(1)求a 的值；(2)当x ∈1，8 时，2-f (x )-f (x )+t ≥0，求实数t 的取值范围.20.(12分)某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数(精确到0.1)；(2)现从技术参数位于区间[40，50)，[50，60)，[60，70)的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[40，50)内的产品至多1件”，事件B =“这3件产品中技术参数位于区间[50，60)内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率.21.如图，三棱锥P-ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB=6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，点E是PB的中点.(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧.当EF⎳平面PAC时，作出二面角E-BF-A的平面角，并求出它的正切值.22.已知函数f(x)=14x2-x，g(x)=kx，f(x)与g(x)的图象恰有三个交点.(1)求实数k的取值范围；(2)用max{α,β}表示α,β中的最大值，设函数φ(x)=max f(x),g(x)(1≤x≤6)，用M，m分别表示φ(x)的最大值与最小值，求M，m，并求出M-m的取值范围.。

2020-2021学年广西桂林市高一下学期期末质量检测数学试题 PDF版

取一个小于 21 的数据记为 b ，求 a b 的概率.
21．（本小题满分 12 分）
已知
f
(x)
2 sin 2
4
x 2
1．
（1）求函数
g(x)
f
2x
3
的递增区间；
（2）是否存在实数 k
，使得不等式
f
(2x)
(k
4)
f
(x)
(k
4)
f
x
2
3 对任意
x
2
， 2
恒成立？若存在，求出
5 B 班样本数据的平均值为 1 (11 12 21 25 26) 19 ， ···············4 分
5 据此估计 B 班学生平均每周上网时间较长. ································5 分（2）依题意，从 A 班的样本数据中随机抽取一个小于 21 的数据记为 a，从 B 班的样本数据中随机抽取一个小于 21 的数据记为 b，则共有 8 种，分别为（9，11），（9，12），（11，11），（11，12），（14，11），（14，12），（20，11），（20，12）. ·························································9 分
其中满足条件“a>b”的共有 4 种，
分别为（14，11），（14，12），（20，11），（20，12） ···················10 分设“a>b”为事件 D，则 P(D) 4 1 .
82
所以 a b 的概率为 1 . ························································12 分

南充市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)

南充市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：，每小题5分，共60分.1．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A B ．C ．D ．2．cos72cos12sin72sin12︒+︒︒=（）A ．cos84︒B ．sin84︒C ．0D ．123．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a c b d -<-B ．ac bd <C ．a c b d +>+D ．a d b c +>+4．下列命题中，错误的是（）A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．平行于同一条直线的两个平面平行C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交5．在等差数列{}n a 中，12a =，533a a =，则3a =（）A ．-2B ．0C ．3D ．66．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45B =︒，60C =︒，1c =，则ABC △的最短边的边长等于A ．2B ．12C ．2D ．37．不等式2252x x x -->的解集是A ．{}51x x x ≥≤-或B ．{}51x x x ><-或C ．{}15x x -<<D ．{}15x x -≤≤ 8．利用斜二测画法得到的（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形以上结论正确的是A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 9．已知1tan 22α=，则sin 2α=（） A ．35- B ．2425- C ．2425 D ．3510．已知函数()2f x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>11．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，则折起后的直线AB 与CD 所成的角为（）A ．0°B ．30°C ．45°D ．60°12．在ABC △中，π6A =，ABC △的面积为2，则2sin sin sin 2sin sin CBC B C ++的最小值为（）A ．53B ．32C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．sin15cos15︒︒=______.14．等比数列{}n a 中，312a =，548a =，则7a =______.15．在ABC △中，cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =______.16．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为侧棱长为O 的表面积为______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项依次为a ，4，3a .（1）求a ；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，若110k S =，求k .18．（本题满分12分）已知函数()23f x x ax =++.（1）若()f x 有一个零点为3x =，求a ；（2）若当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围.19．（本题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，且SAC △是正三角形，点O 是AC 的中点，点D 是AB 的中点.（1）求证：//OD 平面SBC ；（2）求证：SO AB ⊥.20．（本题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos cos a b C c B +=.（1）求A ；（2）若1a =，ABC △2，求ABC △的面积.21．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2n n n b a =. （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）设()()1(1)21n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足12463n T <的n 的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本题满分10分）比较221x y ++与()21x y +-的大小；23．（本题满分10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B =，判断ABC △的形状.参考答案一、选择题:1A 2D 3C 4B 5A 6D 7B 8A 9C 10C 11D 12B二、填空题:13.14 14.192 15. 16.25π 三､解答题:17.解:（1）由题意可得324a a +=⨯解得2a =（2）由（1）得，12a =，24a =，所以公差212d a a =-=，所以1(1)(1)2222k k k k k S ka d k --=+⋅=+⨯ 2k k =+，因为110k S =，所以2110k k +=，解得10k =或11k =-（舍），所以10k =.18.解:（1）因为()f x 有一零点3x =，所以23330a +⨯+=，所以4a =-.（2）因为当x R ∈时，230x ax a ++-≥恒成立，需()2430a a ∆=--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以a 的取值范围是[]6,2-.19.证明:（1）因为O 为AC 的中点，D 为AB 的中点，所以//OD BC ，又BC ⊂平面SCB ，OD ⊄平面SCB ，所以//OD 平面SBC .（2）因为SAC △是正三角形，O 是AC 的中点，所以SO AC ⊥，因为平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ⋂平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，所以SO ⊥平面ACB ，又因为AB ⊂平面ACB ，所以SO AB ⊥.20.解:（1）由()2cos cos cos A b C c B +和正弦定理得 ()2cos sin cos sin cos A B C C B A +=，()2cos sin A B C A +=.因为πB C A +=-，所以2cos sin A A A =.因为π()0,A ∈，所以sin 0A ≠，所以cos 2A =，π6A =.（2）因为1a =，2a b c ++=，所以1b c += 由余弦定理可得，22222π2cos 6a b c bc b c =+-=+-()(22b c bc =+-所以bc == 所以，ABC △的面积为111sin 2224bc A ==. 21.（1）证明:因为1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2n ≥时，2111S 22n n n a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭.化简得11221n n n n a a --=+，因为2n n n b a =，所以11n n b b -=+.当2n ≥时，11n b b b --=. 当1n =时，11112S a a =--+=，即112a =又1121b a == 所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.（2）由（1）得()1112n n n b n n a =+-⨯==，所以2n n n a =. 所以()()111(1)2121212122n n n n n n n n n c n n n n ++++==+⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 11122121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭所以，223111111112121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 由12463n T <得162642n +<=，所以5n <，所以n 的最大值为4.22.解:因为()22121x y x y ++-+-221222x y x y =++--+()()221110x y =-+-+>所以()22121x y x y ++>+-.23.证明:因为cos cos a A b B =所以sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =.因为022πA <<，022πB <<，所以22A B =或22πA B +=，即A B =，或π2A B += 所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.。

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2019高一年级期末模拟考试数学试题第I 卷（选择题 60分）一．选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂）． 1.已知集合{}{}06|,41|2<--=<<=x x x B x x A ，则=B AA.()4,2-B.()3,1C.[]1,2-D.()4,3 2.已知向量()()2,,2,1-==→→x b a ，且→→⊥b a ，则=xA.1B.2C.3D.4 3.已知等差数列{}n a 中，,21,5113==a a 则=15SA.225B.196C.256D.169 4.在ABC ∆中，,2,60==∠AB A且ABC ∆的面积为23，则BC 边的长为 A.7 B.7 C.3 D.35.若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最大值为A.1-B.0C.1D.6 6.若不等式022>-+bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-412|x x ,则b a ,的值分别是 A.10,8-=-=b a B.9,4-=-=b aC.9,4==b aD.2,1=-=b a 7.函数()sin()3cos()36f x x x ππ=++-的最大值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8.已知0.3log 2=a ，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<9．在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，若1134CE CB CD =+，则AE =（）A ．3243AB AD + B ．2132AB AD +C ．4354AB AD + D ．5443AB AD +10.当[1,1]a ∈-时,不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为 A. (,1)(3,)-∞+∞ B.(,1)(2,)-∞+∞ C. (,2)(3,)-∞+∞ D.(1,3)11.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A. 16π B ．81π4 C ．9π D.27π412．设等差数列{}n a 满足：22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当11n -时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是 A ．9(,)10ππ B ．11[,]10ππ C ． 9[,]10ππ D ．11(,)10ππ 第二部分（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．13．已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = ．14．若变量,x y 满足约束条件010210x y y x x -≤⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为．15.在ABC ∆中，tan ,tan A B 是方程23810x x +-=的两根，则tan C = 16.已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一定点，并且A 点到21,l l 的距离分别为1，2，B 是直线2l 上一动点，090=∠BAC ，AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本大题满分10分）若集合{}0211A x x =≤-≤，{}lg(7)B x y x ==-，集合{}2{(21)(1)0C x x a x a a =-+++≤．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若A C ⊆，求实数a 的取值范围．18．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3cos cos cos b B a C c A =+，2BA BC ⋅=.（Ⅰ）求cos B 及ABC ∆的面积S ；（Ⅱ）若3b =，且a c >，求sin C 的值.19. 已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，413||a b -=（Ⅰ）求cos()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值.20.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且28,373==S a ，在等比数列}{n b 中，8,443==b b .（Ⅰ）求n a 及n b ；（Ⅱ）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T .21.如图，在三棱台ABC DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B AD F 的平面角的余弦值．22．已知函数()412x xm f x m ⋅+=-（R m ∈）. （Ⅰ）若函数()f x 有零点，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若对任意的[]1,0x ∈-，都有()01f x ≤≤，求实数m 的取值范围.20202019高一年级期末模拟考试数学试题答案一．选择题1-5：BDACD 6-10：BBBAA 11-12：BD 二．填空题132.13-⨯=n n a 14.6- 15.2 16.217．解（Ⅰ）由0211π≤-≤得112x ≤≤ ∴112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，43070x x -≥⎧⎨->⎩解之得374x ≤< ∴374B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∴172A B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由2(21)(1)0x a x a a -+++≤得()[(1)]0x a x a --+≤ 解之得：1a x a ≤≤+∴{}1c x a x a ≤≤+∵A c ≤∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解之得：102a ≤≤即a 的取值范围为：102a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭18．解：（1）由3cos cos cos b B a C c A =+及正弦定理，得：3sin cos sin cos cos sin B B A C A C =+化简得：()3sin cos sin B B A C =+ ∵A C B +=-π，0B <<π∴()()sin sin sin 0A C B B +=-=>π∴1cos 3B = 由2BA BC ⋅=得：cos 2ac B = 又1cos 3B =，故6ac =①由0B <<π知：sin 3B ==∴1sin 2S ac B ==1623⨯⨯=（2）由余弦定理，有：2222cos b a c ac B =+- 又3b =，1cos 3B =，6ac = ∴2213a c +=②由①②及a c >，得：3a =，2c =由（1）及正弦定理，得：sin sin 9c B C b ==.19．解：（1()βα-=∙==cos ,1131621313422=+∙-∴=- ()135cos =-∴βα （2）由πβαβππα<-<∴<<-<<002,2又()()53cos ,1312sin 54sin ,135cos ==-∴-==-ββαββα ()[]651654135531312sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=+-=∴ββαα 20.解：（1）设}{n a 的公差为d ，则由题有12821732111==⇒⎩⎨⎧=+=+d a d a d a ，∴n a n =. ∵在等比数列}{n b 中，8,443==b b ，∴}{n b 的公比为234==b b q ，∴1332--==n n n q b b ，即12-=n n b .（2）由（1）知n a n =，12-=n n b ，∴12-⋅=n n n n b a . ∴13222423221-⨯++⨯+⨯+⨯+=n n n T ，n n n n n T 22)1(2322212132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ，∴12)1(12122)2221(212+⋅-=---⨯=++++-⨯=-n n nn n n n n n T ，即12)1(+⋅-=n n n T21.解：(1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK . 所以BF ⊥平面ACFD .(2)过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B AD F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34.所以二面角B AD F 的平面角的余弦值为34. 22．解：（1）由函数()f x 有零点得：关于x 的方程4210xxm m ⋅-⋅+=（R m ∈）有解令2xt =，则0t >于是有，关于t 的方程210mt mt -+=有正根设()21g t mt mt =-+，则函数()g t 的图象恒过点()0,1且对称轴为12t =当0m <时，()g t 的图象开口向下，故()0g t =恰有一正数解当0m =时，()10g t =≠，不合题意当0m >时，()g t 的图象开口向上，故()0g t =有正数解的条件是114024mg m -⎛⎫=⎪⎝⎭≤ 解得：4m ≥综上可知，实数m 的取值范围为()[),04,-∞+∞U . （2）由“当[]1,0x ∈-时，都有()01f x ≤≤”得：41012x xm m ⋅+-≤≤，[]1,0x ∈-②∵20x>，故②变形为：()04212x x x m ⋅-+≤≤ 当0x =时，不等式②简化为011≤≤，此时实数R m ∈ 当[)1,0x ∈-时，有120x->∴()422210x x x x -=-<∴11224x x xm -≤≤，[)1,0x ∈- ∵当[)1,0x ∈-时，1122x <≤，()1124212x x x x =--≥()244212x x =⎡⎤+-⎣⎦当且仅当1x =-时取等号 ∴24m ≤≤综上可知，实数m 的取值范围[]2,4.。