关于n阶循环矩阵可逆问题的几点讨论

2 n 阶循环矩阵可逆的判定
2.1 n 阶循环矩阵 A = f ( P) = a0I + a1P + + an−1Pn−1 （ I 是 n 阶单位矩阵）可逆的充分必要条件是
A ≠ 0 ，即 f (ω1 ) f (ω2 ) f (ωn ) ≠ 0 ，这里 ω1,ω2 , ,ωn 是全部 n 次单位根。 2.2 n 阶循环矩阵 A 可逆的充分必要条件是 f (ωi ) ≠ 0 i = 1, 2, , n ω1,ω2, ,ωn 为全部 n 次单
0
⎜
⎜
⎜ ⎜⎝
0
0 1
f (ω2 )
0
0
⎞ ⎟
⎟
⎟
0 ⎟⎟T ′
⎟
⎟
1⎟
f (ωn ) ⎟⎠
当然，有关 n 阶循环矩阵可逆的判定方法和求其逆矩阵的方法有很多，在此不一一例举，本文给出
的仅是几类重要的，实用于任意有限阶循环矩阵的方法，希望能够通过讨论进一步丰富对此问题的研究。
参 考 文 献：
[1] 贾 璐,姚光同.有关循环矩阵的行列式计算及其应用[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2005,18(2):131-132． [2] 张爱平,陈志彬.n 阶 R 循环矩阵的性质和对角化[J].南昌大学学报(工科版),2002,(4):89-92． [3] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].(第 2 版)北京:高等教育出版社,1979． [4] 杨子胥.高等代数习题解下册[M].济南:山东科学技术出版社,2003． [5] 张爱萍.循环矩阵的性质及其对角化[J].广西师范学院学报(自然科学版),2000（4）:10-13． [6] 沈光星.r-循环系统及有关算法的计算复杂性[J].杭州师范学院学报,1992, (3):1-6． [7] 奚传智.两类循环矩阵的性质[J].吉林师范学院学报,1996,1)
0
0⎞
⎟
0
⎟ ⎟
，这里
ωk
= ω k −1
f (ωn )⎟⎟⎠
k = 1, 2, , n
24
四川理工学院学报（自然科学版）
2007 年 4 月
⎛ ⎜
f
(ω1
)
所以
A
=
T
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
0
f (ω2 )
0
0⎞
⎟
0
⎟ ⎟
T
−1
f (ωn )⎟⎟⎠
⎛1
⎜ ⎜
f
(ω1 )
⎜
故
A−1
=
T
⎜ ⎜
1 n 阶循环矩阵及其性质
1.1 n 阶循环矩阵的定义 1.1.1 n 阶循环矩阵基本列[1]
⎛0 1 0
设
n
阶矩阵
P
=
⎜ ⎜ ⎜
0
0
1
⎜ ⎝1 0 0
矩阵， k = 1, 2, , n ）称 P, P2 ,
1.1.2 n 阶循环矩阵[3]
0⎞
0
⎟ ⎟
⎟
，则 Pk
⎛O
=
⎜ ⎝
I
k
In−k O
⎞ ⎟
，（
⎠
Ik
和
In−k
分别是
k
阶和
n
−
k
阶单位
⎟
0⎠
, Pn−1, Pn = I 为 n 阶循环矩阵基本列。
设 a0 , a1,
,
an
−1
是任意复数，称
n
阶矩阵
A
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
a0 an−1 an−2
a1 a0 an −1
a2 a1 a0
⎜
⎜⎝ a1 a2 a3
an−1 an−2 an−3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
Abstract : Cycle matrix is one of the most important matrix, not only because it is rich in content ,but it is widely used. This paper introduces the definition, determinant and basic properties of n-order cycle matrix, furthermore gives the judgements of n-order cycle matrix which is inverse and find the calculations of the inverse matrix of n-order cycle matrix .
a0 a1 a2
an−1
an−1 a0 a1 1.2.2 定理 1 设 a0, a1, , an−1 是任意复数，则 A = an−2 an−1 a0
an−2
an−3 ＝ f (ω1) f (ω2 ) f (ωn ) ，
a1 a2 a3
a0
这里 ω1,ω2 , ,ωn 是全部 n 次单位根， f ( x) = a0 + a1x + + an−1xn−1 。 证明 ∵ A = f ( P) = a0I + a1P + + an−1Pn−1 （ I 是 n 阶单位矩阵）
A
=
⎜ ⎜
an−2
an−1
a0
⎜ ⎜⎝ a1 a2 a3
an−1 an−2
⎞ ⎟ ⎟
an−3
⎟ ⎟
是以
a0
,
a1,
⎟ a0 ⎟⎠
, an−1 为元素的 n 阶循环矩阵，当 A ≠ 0 ，则 A 可
逆，且 A−1 也是 n 阶循环矩阵。
证明 （待定系数法）
已知 A = a0 + a1P + + an−1Pn−1 假设存在 B = x0 + x1P + x2P2 +
⎞ ⎟ ⎟
⎛1⎞
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
故⎜
⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
(I)
⎜ ⎜ an−2 an−3
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a0 an−1 ⎟ ⎜ xn−2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜⎝ an−1 an−2
a1 a0 ⎟⎠ ⎜⎝ xn−1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
∵ A′ = A ≠ 0
（Ⅰ）
∴以上线性方程组有唯一解 b0 , b1, , bn−1 则 B = b0 + b1P + b2P2 + + bn−1Pn−1 ，使得 AB = In 。即 A−1 = B 也是 n 阶循环矩阵。
关于 n 阶循环矩阵可逆问题的几点讨论
林记
（西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637002）
摘 要: 循环矩阵是重要矩阵之一，这不仅是因为其本身所包含的丰富内容，更是由于它的实际应
用面之广泛性。文章介绍了 n 阶循环矩阵的定义、n 阶循环矩阵的行列式和其基本性质，并且进一步给 出了 n 阶循环矩阵可逆的判定以及求 n 阶循环矩阵的逆矩阵的方法。
3.2 根 据 3.1 ， 我 们 可 以 用 待 定 系 数 法 求 可 逆 的 n 阶 循 环 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 ， 设
( ) A−1 = x0 + x1P + x2P2 + + xn−1Pn−1 ，系数由线性方程组 I 唯一确定。 3.3 结合 3.1 和 3.2 ，可逆的 n 阶循环矩阵 A 的逆矩阵即是以线性方程组 (I) 唯一确定的解
33结合31和32可逆的n阶循环矩阵a的逆矩阵即是以线性方程组为元素的n阶循环矩阵即34利用n阶循环矩阵对角化的性质命题1任意n阶循环矩阵在复数域上都可以对角化即存在n阶可逆矩阵容易验证t是酉矩阵从而24四川理工学院学报自然科学版2007当然有关n阶循环矩阵可逆的判定方法和求其逆矩阵的方法有很多在此不一一例举本文给出的仅是几类重要的实用于任意有限阶循环矩阵的方法希望能够通过讨论进一步丰富对此问题的研究
是以
a0
,
a1,
⎟
a0 ⎟⎠
, an−1 为元素
的 n 阶循环矩阵；设 f ( x) = a0 + a1x +
阶单位矩阵）。
1.2 n 阶循环矩阵的行列式
+ an−1xn−1 ，则 A = f ( P) = a0I + a1P +
+ an−1Pn−1 （ I 是 n
收稿日期：2006-07-22 作者简介：林 记（1981-），女，四川自贡人，主要从事代数学的教学与研究。
位根。
2.3 n 阶 循 环 矩 阵 A 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 f ( x) = a0 + a1x + + an−1xn−1 与 xn −1 互 素 ， 即
( f ( x), xn −1) = 1。
3 n 阶循环矩阵的逆矩阵的求法
⎛ ⎜ ⎜
a0 an−1
a1 a0
a2 a1
3.1
设
关键词： n 阶循环矩阵；可逆的判定；求逆矩阵
中图分类号：O151.2
文献标识码：A
循环矩阵是一类很重要的矩阵，在编码理论、数理统计、理论物理、结构计算、分子轨道理论、数 字图像处理等方面有广泛应用。自 1950 年提出循环矩阵的概念以来，广大数学工作者对它进行了大量 的研究，得到了循环矩阵的行列式的计算方法和其基本性质等一系列丰硕的成果，除了研究矩阵的行列 式和基本性质外，矩阵的逆也是一个不可忽略的方面，以往对循环矩阵的研究主要侧重于循环矩阵的行 列式计算及其应用[1]和循环矩阵的性质[2]，但对于循环矩阵可逆性的综合研究几乎没有。鉴于此，笔者 在深入研究已有文献的基础上，根据循环矩阵的行列式和基本性质找到循环矩阵可逆的几个充分必要条 件和其逆矩阵的几种求法。
23
( ) = a0 x0 + an−1x1 + + a1xn−1 In + (a1x0 + a0 x1 + ) + a2 xn−1 P + + ( ) an−1x0 + an−2 x1 + + a0 xn−1 Pn−1
= In
⎛ ⎜ ⎜
a0 a1
an−1 a0
a2 a3
a1 a2
⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜
x0 x1
第 20 卷 第 2 期 2007 年 4 月
四川理工学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF SCIENCE & ENGINEERING（NATURAL SCIENCE EDITION）
文章编号：1673-1549（2007）02-0021-04
Vol．20 No．2 Apr．2007
∴ A = f (P )
而 p 的全部特征根为所有 n 次单位根 ω1,ω2 , ,ωn ，根据引理 1 f ( P) 即 A 的全部特征根为 f(ω1)， f(ω2)，…， f(ωn)；故 A = f ( P) = f (ω1 ) f (ω2 ) f (ωn ) 。
1.3 n 阶循环矩阵的基本性质
阶单位矩阵）
+ xn−1Pn−1 （ B 为 n 阶循环矩阵），使得 AB = BA = In （ In 为 n
( ) ( ) 而 AB = a0 + a1P + + an−1Pn−1 x0 + x1P + x2P2 + + xn−1Pn−1
第 20 卷 第 2 期
林 记：关于 n 阶循环矩阵可逆问题的几点讨论
Key words: n-order cycle matrix; judgements of n-order cycle matrix which is inverse; calculations of the inverse matrix
⎛ b0 b1
⎜ ⎜
bn
−1
b0
(b0 , b1,
) , bn−1
为元素的 n 阶循环矩阵，即 A−1 = ⎜ ⎜
⎜ b2 b3
⎜⎝ b1 b2
bn−2 bn−1 ⎞
bn−3
bn−2
⎟ ⎟
⎟。
⎟ b0 b1 ⎟
bn−1 b0 ⎟⎠
3.4 利用 n 阶循环矩阵对角化的性质
命题 1［7］任意 n 阶循环矩阵 A = f ( p) 在复数域上都可以对角化，即存在 n 阶可逆矩阵
Research on the Inverse Problem of N-order Cycle Matrix
LIN Ji
(College of Mathematic and Information，China West Normal University，Nanchong 637002, China)
（1）性质 1[5] 同阶循环矩阵的和矩阵是循环矩阵。
（2）性质 2[5] 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵。
（3）性质 3[5] 同阶循环矩阵的乘积满足交换律。
（4）性质 4[6] 设 A 是复数域 C 上的一个 n 阶矩阵，则 A 是 n 阶循环矩阵的充分必要条件是存在
a0 , a1, , an−1 ∈ C 使 A = f ( P) = a0I + a1P + + an−1Pn−1 （ I 是 n 阶单位矩阵）。
22
四川理工学院学报（自然科学版）
2007 年 4 月
1.2.1 引理 1[4] 设 A 是复数域 C 上的一个 n 阶矩阵，λ1, λ2 , , λn 是 A 的全部特征根， f ( x) 是 C 上任 意一个次数大于零的多项式，那么 f (λ1 ), f (λ2 ), , f (λn ) 是 f (A)的全部特征根。
⎛1 1 1
⎜ ⎜
1
ω
ω2
T=
1 n
⎜ ⎜
1
ω2
ω4
⎜
⎜ ⎝1
ω n−1
ω 2(n−1)
1⎞
ω n−1 ω 2(n−1)
⎟
⎟ ⎟ ⎟
，其中 ω
=
2π
en
i
⎟
ω
(
n−1)(
n−1)
⎟ ⎠
(i = −1)
容易验证 T 是酉矩阵，从而 T −1 = T ′ 。
⎛ ⎜
f
(ω1
)
使得 T −1AT
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0