山西省晋中市和诚高中2020届高三数学8月月考试题 文

和诚中学2020学年度高三8月月考
文科数学试题
考试时间：120分钟满分：150分命题人：
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．若集合，，则（）
A． B． C． D．
2．若集合R，则= （）A． B． C． D．
3．已知集合，，则（）
A． B．
C． D．
4．“为假”是“为假”的( )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．下列命题正确的是（）
A．命题的否定是：
B．命题中，若，则的否命题是真命题
C．如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题
D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件6．函数的定义域为（）
A． B． C． D．
7．若函数为奇函数，则（）
A．B． C． D．
8．若集合A=，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．
9．已知实数，满足，则的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数的图像在点
处的切线的斜率为2，则
的
最小值是 A ． 10
B ． 9
C ． 8
D ．
11．命题“0x R ∃∈， 0
00cos 1x x x e +->”的否定是（ ）
A ． 0x R ∃∈， 0
00cos 1x x x e
+-< B ． 0x R ∃∈， 000cos 1x x x e +-≥
C ． x R ∀∈， cos 1x x x e +-≥
D ． x R ∀∈， cos 1x x x e +-≤
12．设正数满足,则
的最小值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知集合，
，则集合
中元素的个数为
____________. 14．已知命题“若
为任意的正数，则
”．能够说明是假命题的一组正数
的值依次为__________． 15．已知
，
，若直线
与直线
互相垂直，则
的最大值
是__________． 16．已知函数，若，，且，则的最小值为
__________．
三、解答题（17-22每题12分，23题10分） 17．已知函数()12f x x x
=++
-的定义域为A ， ()2
1g x x =+的值域为B 。

（1）求A ，B ；
（2）设全集U R =，求()U A C B ⋂
18．已知命题p ：关于x 的方程240x ax -+=有实根；命题q ：关于x 的函数2
24y x ax =++在[
)3,+∞上是增函数，若p 且q 是真命题，求实数a 的取值范围.
19．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB =2米，AD =1米．
（1）要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．
20．已知函数()14.1
f x x x =+
- （1）当1x >时，求函数()f x 的最小值；
（2）当1x <时， ()f x a ≤恒成立，求a 的最小值.
21．已知函数()2
ln f x ax x x =-+
（1）若1a =-，求函数()f x 的极值；
（2）若1a =， ()11,2x ∀∈， ()21,2x ∃∈，使得()23
112213
f x x mx mx -=-（0m ≠）
，求实数m 的取值范围.
22．选做题(22---23选做一) 已知函数()32f x x x =++-．
（Ⅰ）若x R ∀∈， ()2
6f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）求函数()y f x =的图象与直线9y =围成的封闭图形的面积．
23．已知全集U R =,集合2
{|40},{|2}A x x x B x m x m =-≤=≤≤+． （1）若3m =，求CuB 和A B ⋃； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．C 【详解】
分别将集合B 中元素代入集合A 的表达式中，经判断只有0、1、2成立，所以集合A 与集合B 的交集为.
故选C. 2．A
【详解】
集合或，
，
，
，故选A.
3．C
【详解】
由题意可得：，又
∴，显然A，B均错；
，
故选：C
4．A
【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可．
详解：当“为假”时，则都为假，故“为假”；反之，当“为假”时，则
中至少有一个为假，此时“为假”不一定成立．
所以“为假”是“为假”的充分不必要条件．
故选A．
5．D
【详解】
在A中，命题的否定是：，故A错误；
在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误；
在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C 错误；
在D中，∴ω=1⇒函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π，
函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π⇒ω=±1．
∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．
故选：D．
6．A
【解析】函数有意义，则：，
求解对数不等式可得函数的定义域为：，表示为区间形式即. 本题选择A选项.
7．D
【解析】分析：利用奇偶性，先求出，再求出的值即可.
详解：设x＞0，则﹣x＜0，
故f（﹣x）=2x﹣2=﹣f（x），
故x＞0时，f（x）=2﹣2x，
由g（2）=f（2）=2﹣4=﹣2，
故f（g（2））=f（﹣2）=﹣f（2）=2，
故选：D．
8．D
详解：由集合A=，等价转化为恒成立。

当时，恒成立，满足题意。

当时，开口向下，恒成立，不可能成立。

当时，开口向上，恒成立，
综上所述：。

故选D
点睛：一元二次不等式含参问题，分四重分类讨论：
1、对值讨论，
2、对值讨论，
3、对两根的大小关系讨论
4、对两根与区间的位置关系进行讨论。

9．C【详解】
作出表示的可行域，如图，
目标函数，可看作可行域内的点
与
的距离的平方，
由图可知，点
到直线
距离的平方，就是作可行域内的点与
的距离的
平方的最小值，为
，点到距离的平方，就是作可行域内的点与
的距离的平方的最小值，为，所以
的取值范围为
，
故选C. 10．B
【解析】 由函数，所以，
由函数
的图象在点
处的切线斜率为，所以
，
所以
（当且仅当，即时等号成立）所以的最小值为，故选B.
11．D
【解析】命题“0x R ∃∈， 0
00cos 1x x x e +->”的否定是x R ∀∈， cos 1x x x e +-≤
选D. 12．A 【分析】
因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y ）+(x+5y)=6,再利用基本不等式求的最小
值. 【详解】
因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,
所以=
，当且仅当时取最小值.
故答案为：A
13．6
【解析】∵，，
∴，
∴
∴集合中元素的个数为6.
故答案为：6
14．（只要填出，的一组正数即可）
【解析】分析：能够说明是假命题的一组正数的值，就是不满足不等式的正数
的值，故将不等式变形为。

找不满足不等式的正数的值即可。

详解：由可得。

能够说明是假命题的
一组正数的值，只需不满足不等式的一组正数的值即可。

故答案不唯一。

可取1,2,3,。

15．.
【解析】分析：根据两直线垂直的条件，求出满足的关系式，再利用基本不等式求出的最大值。

详解：因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即
时，等号成立。

所以的最大值为。

点睛：本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题。

本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式。

16．9
【解析】试题分析：已知函数的表达式，可求出再根据1 的妙用，为
乘以
，最终应用均值不等式求得最值.
详解：已知函数，，
,
,所以，
则
+
17．（1）{|12}A x x =-≤<， {|1}B y y =≥；（2）(){|11}U A C B x x ⋂=-≤<. 【解析】试题分析：（1）求出()f x 的定义域确定出A ，求出()g x 的值域确定出B 即可； （2）根据全集R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 试题解析： （1）由()12f x x x
=
+- 10{
20x x +≥->，解得12x -≤<. ()211g x x =+≥.
{|12}A x x =-≤<， {|1}B y y =≥
（2）{|1}U C B y y =<.
(){|11}U A C B x x ⋂=-≤<.
18．[][
)12,44,--⋃+∞
【解析】试题分析：由已知中，命题p ：关于x 的方程x 2
-ax+4=0有实根；命题q ：关于x 的函数y=2x 2
+ax+4在[3，+∞）上是增函数，我们可以求出命题p 与命题q 为真时，实数a 的取值范围，又由p 且q 是真命题，则 p , q 均为真，求交集即可得a 的取值范围. 试题解析：
若命题p 是真命题，则2160a ∆=-≥，即4a ≤-或4a ≥；
若命题q 是真命题，则34
a
-
≤，即12a ≥-. ∵p 且q 是真命题, ∴p , q 均为真，
∴a 的取值范围为[][
)12,44,--⋃+∞. 19．（1）（0，
1
2
）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米.
【解析】试题分析：（1）由
DN DC
AN AM
=
，列出函数关系式，通分化成标准形式，再求分式不等式的解集；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求解. 试题解析：（1）设DN 的长为x （x ＞0）米，则|AN |=（x +1）米，
∵DN DC AN AM =
，∴|AM |=()21x x +，∴S 矩形AMPN =|AN |•|AM |=22(1)x x +． 由S 矩形AMPN ＞9得22(1)x x +＞9，又x ＞0得2x 2
-5x +2＞0，解得0＜x ＜12
或x ＞2
即DN 的长的取值范围是（0， 1
2
）∪（2，+∞）．（单位：米） （2）因为x ＞
0，所以矩形花坛的面积为：
y =22(1)x x +=2x +4x +4≥4+4=8，当且仅当2x =4x
，即x =1时，等号成立．
答：矩形花坛的面积最小为8平方米． 20．（1）()min 8f x =；（2）min 0a =.
【解析】试题分析：（1）将函数式化为()()1
4141
x x x =-+
+-，然后利用基本不等式求最值即可；（2）等价于()max a f x ≥ ，利用基本不等式求出()max 0f x =，进而可得结果.
试题解析：（1）()()1
4141f x x x =-++- ∵1x >，∴10x ->∴()14141x x -+≥-（等号成立当且仅当3
2
x =）
∴()min 8f x =
（2）∵1x <，∴10x -<∴()14141x x -+≤--（等号成立当且仅当1
2
x =） ∴()max 0f x = ∴0a ≥ ∴min 0a =.
21．(1) 当1x =时， ()f x 有极小值，极小值为()10f =，无极大值；(2)
33,ln233ln2,22⎛⎤⎡⎫
-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，
求出函数的极值即可；（2）()()231122103f x x mx mx m -=-
≠得到311221ln 3
x x mx mx -=-，设h （x ）=lnx-x 在（1，2）上的值域为A ，函数()313g x mx mx =-在()1,2上的值域为B ，根据函数的单调性求出()()ln22,1h x ∈--,对m 进行讨论得出B ，因为A B ⊆列出不等关系求解即可得m 的范围．
试题解析：
（1）依题意， ()2
ln f x x x x =--+， ()()()2211121'12x x x x f x x x x x
+---=--+==， 因为()0,x ∈+∞，故当()0,1x ∈时， ()'0f x <，当()1,x ∈+∞时， ()'0f x >， 故当1x =时， ()f x 有极小值，极小值为()10f =，无极大值；
（2）当a =1时， ()2
ln .f x x x x =-+ 因为()11,2x ∀∈， ()21,2x ∃∈，使得()()231122103f x x mx mx m -=-
≠， 故311221ln 3
x x mx mx -=-；设()ln h x x x =-在()1,2上的值域为A ， 函数()313
g x mx mx =-在()1,2上的值域为B ，则A B ⊆. 当()1,2x ∈时， ()1'10h x x
=-<，即函数()h x 在()1,2上单调递减， 故()()ln22,1h x ∈--，又()()()2
'11g x mx m m x x =-=+-. （i ）当0m <时， ()g x 在()1,2上单调递减，此时()g x 的值域为22,33m m B ⎛⎫=-
⎪⎝⎭， 因为A B ⊆，又2013m ->>-，故2ln223m ≤-，即3ln232
m ≤-； （ii ）当0m >时， ()g x 在()1,2上单调递增，此时()g x 的值域为22,33m m B ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，因为A B ⊆，又
201,3
m >>- 故2ln223m -≤-，故()33ln223ln222m ≥--=-； 综上所述，实数m 的取值范围为33,ln233ln2,22⎛
⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
.
22．（Ⅰ）][(),15,a ∈-∞⋃+∞;（Ⅱ）28S =
【解析】试题解析：（Ⅰ）∵()32325f x x x
x x =++-≥+-+=，
∴256a a ≥-，解得][()
,15,a ∈-∞⋃+∞． （Ⅱ）()21,2,
32{5,32,12,3,
x x f x x x x x x +≥=++-=-<<--≤-当()9f x =时， 5x =-或4x =．
画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为()1954282
S =+⨯=．
23．(1) {}
|35U C B x x x =或， {}|05A B x x ⋃=≤≤；(2) 02m ≤≤；(3) 2m <-或4m >.
【解析】试题分析：（1）当3m =时，求出{}|04A x x =≤≤， {}|35B x x =≤≤，借助数轴可求得{}
|35U B x x x =n 或， {|05} A B x x ⋃=≤≤．（2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为0{ 24
m m ≥+≤，解得02m ≤≤．（3）依据交集为空集，得到区间的端点的大小关系为20m +<或4m >，也即是2m <-或4m >．
解析：（1）当3m =时， {}|35B x x =≤≤，由240x x -≤得， 04x ≤≤，所以
{}|04A x x =≤≤, {}|35U B x x x =n 或； {|05} A B x x ⋃=≤≤．
（2）因为A B ⊇，则0{ 24
m m ≥+≤ ，解得02m ≤≤． （3）因为A B ⋂=∅ 因为20m +<或4m >， 所以2m <-或4m >．。