高考数学二轮专题复习三角函数

三
角函数
【考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能实行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2
πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角
函数的基本关系式：sin 2
x+cos 2
x=1,
sin tan cos x
x x
=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2
π
)内的单调
性.
4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能使用上述公式实行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.
【要点梳理】
1.知识点：弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.
2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧：
(1)方程思想：sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换： 2
2sin
cos 1αα+=;
(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切； (4)角的替换：2()()ααβαβ=++-,()2
2
αβ
αβ
α
αββ+-=+-=
+
;
(5)公式变形：2
1cos 2cos
2αα+=
, 2
1cos 2sin 2
αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;
(6)构造辅助角(以特殊角为主)：
sin cos )(tan )b
a b a
αααϕϕ+=+=.
3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题： (1)“五点法”画图：分别令0x ωϕ+=、
2
π
、π、
32π、2π，求出五个特殊点；
(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;
(3)求对称轴方程：令x ωϕ+=2
k π
π+
()k Z ∈,
求对称中心： 令x ωϕ
+=k π()k Z ∈;
(4)求单调区间：分别令22
k x π
π
ωϕ-
≤+≤22
k π
π+
()k Z ∈;
22
k x π
πωϕ+
≤+≤322
k π
π+
()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形：
(1)基本公式：正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】
考点1 三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型：
⑴考查使用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式水平，以及求三角函数的值的基本方法. ⑵考查使用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值
故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ
（Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 2
2
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=a a
从而)
2
sin()
42cos(21)(ππ
+-+=
a a a f ＝a
a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛
++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=
++ ＝.5
14)sin (cos 2=+a a 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理水平，以及求角的基本知识..
【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.
练习1： （2019年高考福建卷文科9)若α∈（0，
2π），且2
sin α+1cos 24
α=，则t a n α的值等于( )
A.
2
B. 3
【答案】D
【解析】因为α∈（0，
2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2
sin α+221cos sin 4
αα-=, 即2
1cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3
πα=,
即tan α=选D.
考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质
考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握
三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活使用，会用数形结合的思想来解题.
【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键. 练习2.(2019年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f
【答案】
2
【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T w
π=，所以2w =，由五点作图法知：
23
π
φπ⨯
+=，解得3
π
φ=
，又
A=
，所以函
数())3
f x x π
=+，所以
(0)f
=
sin 32
π=.
考点3 三角函数与向量等知识的综合
三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考江苏卷第15题）
设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【解析】
【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本水平.
【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.（天津市十二区县重点中学2019年高三联考二理）（本小题满分13分） 已知向量2(
3sin ,1),(cos ,cos )444
x x x
m n ==，()f x m n =⋅．
（I ）若()1f x =,求cos(
)3
x π
+值；
（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围.
【解析】（I ）()f x m n =⋅=2cos cos 444x x x + ----------------1分
11cos 2222x x ++ ----------------3分 =1sin()262x π++
----------------4分
∵()1f x = ∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12
-------6分 （II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，
由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=
-----------------8分
∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=
∴2sin cos sin()A B B C =+- ----------------9分 ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠
∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π
= ----------------10分
∴203A π
<< ----------------11分
∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+< ----------------12分
∴131sin()2622A π<++< ∴()f A =1
sin()262A π++3(1,)2∈
---13分
考点4. 解三角形
解决此类问题，要根据已知条件，灵活使用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
例4. (2019年高考安徽卷文科16) 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.
【解析】∵A＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，
又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1
cos 2
A =
，又0°<A<180°，所以A ＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理
sin sin a b A B
=
得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，
∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 752sin(4530)=+
45cos30cos 45sin 30)=+1)222=+=. 【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内
角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的水平，考察综合运算求解水平.
【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.
练习4. （2019年高考山东卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a
=
cos B b
. （I ） 求
sin sin C
A
的值； （II ）
若cosB=1
4
，5b ABC 的周长为，求的长.
【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以
cos A-2cosC 2c-a =
cos B b
=2sin sin sin C A
B -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B
C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin C
A
=2.
(2)由(1)知sin sin C
A
=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
2222cos b c a ac B =+-，即22221
(53)(2)44
a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.
【易错专区】
问题：三角函数的图象变换
例. (2019年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3
π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
（A ）1
3
（B ）3 （C ）6 （D ）9
【答案】C 【解析】
()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3
x x ωπ
ωω-=,
22()663
k k Z k ωπ
ππω∴-
=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】
1. (2019年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3x
y =的图象上，则tan=
6
a π
的值为( )
（A ）0 (B) 3
【答案】D
【解析】由题意知：9=3a
,解得a =2,所以2tan
tan tan 663
a πππ===故选D. 2. (2019年高考山东卷理科6)若函数()s i n f x x ω= (ω>0)在区间0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在
【答案】C.
【解析】若()(
)6f x f π
≤对x R ∈恒成立，则()sin()1
63f ππϕ=+=，所以,32
k k Z ππ
ϕπ+=+∈，,6
k k Z πϕπ=+
∈.由()()2f f π
π>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以
72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()s i n (2
)
6f x x π
=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得563
k x k ππππ--剟，故选C.
4.(2019年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 2
则
b
a
=（ ）
(A) 【答案】 D
【解析】由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2，即sinB （sin 2A+cos 2
A ）sinA ，
故sinA ，所以
b
a
= 5.(2019年高考辽宁卷理科7)设sin
1+=43
π
θ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79
【答案】A
【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛
⎫
⎛⎫=-+
=+-=⨯-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
6.(2019年高考浙江卷理科6)若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1
cos()43
πα+=，cos()423πβ-=
，则cos()2
β
α+
=（ ）
（A ）
3 （B ）3-（C ）9 （D ）9-
【答案】 C 【解析】
()()2442β
ππβαα+
=+--cos()cos[()()]2442
βππβ
αα∴+=+--
sin()sin()442
ππβ
α+++ 133===故选C.
7. (2019年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线
x y 2=上，则，=θ2cos （ ）
A 54-
B 53-
C 32
D 4
3 【答案】B
【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ，所以，53
tan 1tan 1cos 22-=+-=θ
θθ.
8. (2019年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周
期为π，且()()f x f x -=，则（ ）
（A ）()f x 在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 【答案】A
【解析】函数解析式可化为
)4sin(2)(πϕω++=x x f ，2,2=∴=ωπω
π
T
又因为该函数是偶函数，所以，x x f 2cos 2)(4=∴=
π
ϕ
，所以，该函数在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0π上是减函数。

故选A 9. (2019年高考天津卷理科
6)如图，在△
ABC 中，D 是边AC 上的点，
且
,23,2A B A D B D B C B D
=
=，则sin C 的值为（ ） A
C
．
3
．6
【答案】D
【解析】设
BD a =,则由题意可得：2,BC a =
2
AB AD a ==
,在ABD ∆中,由余弦定理得：222
cos 2AB AD BD A AB AD +-==
⋅2
232a a ⨯-=13，所以sin A
=，在△ABC 中，由正弦
定理得，sin sin AB BC C A =
，所以2sin C =sin C
=6 D.
10．(2019年高考湖北卷理科3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( )
A.{|,}3
x k x k k z π
πππ+≤≤+∈ B.{|22,}3
x k k k z π
πππ+
≤+∈
C.5{|,}6
6
x k x k k z π
π
ππ+≤≤+
∈ D. 5{|22,}66
x k x k k z π
π
ππ+
≤≤+
∈ 【答案】B
【解析】由cos 1x x -≥，即1sin()6
2x π-≥
，解得522,666
πππππ+≤-≤+∈k x k k z , 即22,3
k x k k z ππππ+
≤≤+∈，所以选B.
11．(2019年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =在[0,)+∞内( )
（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点
（C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点
【答案】B
【解析】令
1y =2cos y x =，则它们的图像如图故选B
12.(2019年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足2
2
()4a b c +-=，且0
60C =，则ab 的值为( )
（A ）
4
3
(B) 8- (C)1 (D) 2
3
【答案】A
【解析】由2
2
()4a b c +-=得22224a b ab c ++-=，由0
60C =得222421
cos 222
a b c ab C ab ab +--=
==，解得4
3
ab =
. 13. (2019年高考四川卷理科6)在∆ABC 中．2
22sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是( )
(A)(0，
6
π] (B)[
6
π，π) (c)(0，
3π] (D) [ 3
π
，π) 【答案】C
【解析】由正弦定理，得222a b c bc ≤+-，由余弦定理，得222
2cos a b c bc A =+-，则
1c o s 2A ≥
,0A π<<,03
A π
∴<<. 14.(2019年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2
π
＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24
π
）=____________.
【解析】函数f(x)的周期是32882πππ
⎛⎫-=
⎪⎝⎭，故22
πωπ==，由ta n
1,
3ta n
20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫
⋅+=
⎪⎪⎝⎭
⎩得,14A π
ϕ==.所以()tan 24f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，故tan 224244f πππ⎛⎫⎛⎫
=⋅+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
15.(2019年高考安徽卷理科14)已知ABC ∆ 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4 的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________
【答案】【解析】设三角形的三边长分别为
4,,4a a a -+，最大角为θ
，由余弦定理得
222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，则10a =，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积
为
1
610s i n 12053
2
S =
⨯⨯⨯=16. (2019年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆
中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 。

【答案】72
【解析】在三角形ABC 中，由正弦定理得
260sin 3
sin sin =︒
==C BC A AB 其中，5
3
tan =
ϕ，又因为R A ∈，所以最大值为72 17.(2019年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在
ABC 中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c 已知
()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.（Ⅰ）当5
,14
p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，
求p 的取值范围；
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R =
==，5522424
a c
b a
c R R R ∴+=⋅+=即 ①
又211,44ac b ac =∴= ②联立①②解得11411
4a a c c =⎧⎧
=
⎪⎪⎨⎨
=⎪⎪=⎩⎩或 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知a c pb +=，由余弦定理得2
2
2cos b a c ac B =+-2
2
()22cos a c ac ac B =+--
222211cos 22p b b b B =--即231
cos 22
p B
=+(0,1)∈cosB 23
(,2)2
p ∴∈
由题设知0p >
p <<18. (2019年高考天津卷理科15)（本小题满分13分） 已知函数
()tan(2),4
f x x π
=+，
（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设0,
4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，若
()2cos 2,2f α
α=求α的大小． 【解析】（Ⅰ）由2,,4
2
x k k Z π
π
π+
≠+
∈得,,8
2
k x k Z π
π
≠
+
∈所以()f x 的定义域为 |,82k x R x k Z ππ⎧⎫
∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
.()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()2cos 2,2f αα=得tan()4πα+2cos 2,α=即
22sin()42(cos sin )cos()4
π
αααπα+=-+, （2）若 a 2
+b 2
=4(a+b)-8，求边c 的值
【解析】由22sin cos 12sin 1sin 2222C C C C +-=-，即sin (2cos 2sin 1)0222
C C C
-+=， 因为sin 02C ≠，所以1sin cos 222C C -=，两边平方得3
sin 4C =．
（2）由1sin cos 222C C -=得sin cos 22C C >，所以422C ππ<
<，所以2
C π
π<<，
由3sin 4
C
=
得
cos 4C =-，由余弦定理得222
2(4c a b ab =+--
， 又2
2
4()8a b a b +=+-，即2
2
(2)(2)0a b -+-=，所以2,
2a b ==， 所以2
8c =+1c =
．
20. (2019年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足C a A c cos sin =.
()I 求角C 的大小； ()II 求
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-4cos sin 3πB A 的最大值，并求取得最大值时角B A ，的大小.
【解析】()I 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =
因为π<<A 0，所以0sin >A .从而C C cos sin =.又0cos ≠C ，所以1tan =C ，
则4
π
=
C
()II 由()I 知，A B -=
43π，于是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-4cos sin 3πB A =()A A --πcos sin 3
=
A A cos sin 3-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+6sin 2πA
因为4
30π
<
<A ，所以12
1166πππ<+<A .从而当26ππ=+
A ，即3
π
=A 时， ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+6sin 2πA 取最大值2.
综上所述，
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-4cos sin 3πB A 的最大值2，此时3π=A ，125π=
B .
【高考冲策演练】 一、选择题：
1.（ 2019年高考全国卷I 理科2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )
3．（2019年高考福建卷理科1）cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）
A.
1
2
【答案】A
【解析】原式=1
sin (43
-13)=sin 30=
2
，故选A 。

4．（2019年高考安徽卷理科9）动点(),A
x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋
转一周。

已知时间0t
=时，点A 的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：
秒）的函数的单调递增区间是( )
A 、
[]0,1
B 、
[]1,7
C 、
[]7,12
D 、
[]0,1和[]7,12
【答案】D
【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t
=时3
π
α=
，每秒钟旋转
6
π，在[]0,1t ∈
上
[,]32
ππα∈，在[]7,12上37[,]2
3
ππ
α∈，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的.
5.(2019年高考天津卷理科7)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2
2
a b -=，sinB ，
则A=( )
（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 【答案】A
【解析】由结合正弦定理得：c =，所以因为余弦定理得：
2
=A=30°，选A. 6．（2019年高考四川卷理科6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是( ) （A ）sin(2)10
y x π
=-
（B ）sin(2)5y
x π
=-
（C ）1sin()210y x π
=-
（D ）1sin()220
y x π
=-
【答案】C
8．（2019年高考陕西卷理科3）对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中准确的是 （ ）
（A ）()f x f （x ）在（
4π，2
π
）上是递增的 （B ）()f x 的图像关于原点对称 （C ）()f x 的最小正周期为2π （D ）()f x 的最大值为2 【答案】B
【解析】∵()x x f 2sin =，∴易知()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4ππ上是递减的，∴选项A 错误.
∵()x x f 2sin =，∴易知()x f 为奇函数，∴()x f 的图象关于原点对称，∴选项B 准确. ∵()x x f 2sin =，∴ππ
==
2
2T ，∴选项C 错误. ∵
()x x f 2sin =，∴()x f 的最大值为1，∴选项D 错误.
9．(2019年高考全国2卷理数7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像
( )
（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π
个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
【答案】B 【解析】sin(2)6y
x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6
y x π
=+的图
像向右平移4
π
个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.
10．（2019年高考上海市理科15）“()24
x k k Z π
π
=+
∈”是“tan 1x =”成立的（ ）
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 【答案】A
11. (2019年高考重庆市理科6)已知函数sin(),(0,||
)2
y x π
ωϕωϕ=+><的部分图象如题(6)图所示，则
（ ）
（A ） 1,6
π
ω
ϕ==
（B ） 1,6
π
ωϕ==-
（C ） (D) 【答案】D 2=∴=ϖπT ,由五点作图法知2
3
2π
ϕπ
=
+⨯
，ϕ= -
6
π
.
【解析】
12．（2009年高考广东卷A 文科第9题）函数1)4
(cos 22--=π
x y 是（ ）
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2
π的奇函数 D. 最小正周期为2π
的偶函数
【答案】A
【解析】因为2
2cos ()1cos 2sin 242y x x x π
π⎛
⎫=--=-= ⎪⎝⎭
为奇函数,22T ππ==,所以选A. 二．填空题：
13.(2019年高考安徽卷江苏7)已知,2)4
tan(=+
π
x 则
x
x
2tan tan 的值为__________
2,6
π
ωϕ==
【答案】
49
【解析】因为22tan()4tan 2()41tan ()4
x x x π
ππ++=
=-+2
2212⨯=-43-,而tan(2)2x π+=-cot2x,所以3tan 24x =-, 又因为tan 1tan()241tan x x x π++==-,所以解得1tan 3x =,所以
x x 2tan tan 的值为4
9
. 14．(2019年高考北京卷理科9)在ABC ∆中。

若b=5，4
B π
∠=
，tanA=2，则sinA=____________；
a=_______________。

【答案】
1025
52
【解析】由tanA=2得
sinA=
5
，由正弦定理容易求得a =
15．(2019年高考福建卷理科14)如图，△ABC 中，AB=AC=2，
BC= D 在BC
边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。

【解析】由正余弦定理容易求出结果.
16．(2019年高考上海卷理科6)在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0
75,60CAB CBA ∠=∠=，
则A 、C 两点之间的距离是 千米。

【解析】由正弦定理得2
sin 60sin 45
AC =，解得
.
三．解答题： 17.(2019
年高考重庆卷理科
16)设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫
∈=-+-
⎪⎝⎭
满足()(0)3
f f
π-
=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值 【解析】()2
2
sin cos cos sin sin 2cos 22
a
f x a x x x x x x =-+=
-,
由
()(0)3
f f π
-=得1122a +=-，解得：a =
所以()2cos 22sin 26f x x x x π⎛
⎫=
-=- ⎪⎝
⎭
当,43x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，2,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 为增函数，
当11,324x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，32,624x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 为减函数，
所以
()f x 在11,424ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()23f π=,又因为()4f π=1124
f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,
所以
()f x 在11,424ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为1124
f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. 18．(2019年高考北京卷理科15)已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-。

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

【解析】（Ⅰ）因为1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f
所以)(x f 的最小正周期为π （Ⅱ）因为.3
26
26
,4
6
ππ
π
π
π
≤
+
≤-
≤≤-
x x 所以 于是，当6
,2
6
2π
π
π
=
=
+x x 即时，)(x f 取得最大值2；
当)(,6
,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1. 19．(2019年高考福建卷理科16)已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=
13
3。

（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6
x π
=
处取得最大值，且最大值为a 3，求函
数f （x ）的解析式。

20．（2019年高考山东卷理科17）已知函数
()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
＜＜，其图象过点（π6,12）．
（Ⅰ）求ϕ的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()g y x =的图象，求函数()g
x 在[0,
π
4
]上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（π6,1
2
），所以有
1122=()21sin 2sin cos cos sin 06622πππϕϕϕϕπ⎛⎫
⨯+-+ ⎪⎝⎭
＜＜，即有
()31cos cos 02ϕϕϕϕπ=
+-＜＜=sin (+)6πϕ，所以+62ππϕ=，解得3
πϕ=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
π
ϕ=
，所以()()211sin 2sin cos cos sin 0233223f x x x ππππϕπ⎛⎫
=
+-+ ⎪⎝⎭
＜＜
=
211cos x-424=11+cos 2x 1-=4224⨯1sin (2x+)26
π
， 所以()g
x =
1sin (4x+)26π，因为x ∈[0, π4]，所以4x+6π∈7[,]66ππ
， 所以当4x+62ππ=时，()g x 取最大值12；当4x+6π=76π时，()g x 取最小值1
4
-。

21．（2019年高考福建卷理科19）
O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。

在小艇出发时，轮船位于港口O
北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

【解析】如图，由（1）得
>,,>AC OC OC AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最高航行速度只
能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相遇，设
COD=(0<<90),Rt COD CD θθθ∠∆=则在中，，OD=
cos θ
，
因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为1030t θ+=
和cos t v θ
=，
所以
1030θ+cos v θ=，解得3
30,sin (+30)v v θ=≤≥
又故，
从而30<90,30tan θθθ≤=由于时，
取得最小
当30θ=时，
t =取得最小值，且最小值为2
3。

此时，在OAB ∆中，20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 22．（2009年高考北京卷理科第15题）在
ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B
π
=，。