2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：本章整合1
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4.3.2
3.2 简单几何体的体积1.将由曲线y=√x ,直线y=0,x=1围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A .1B .12C .πD .π2 解析:所求体积为V=π∫ 10(√x )2d x=π∫ 10x d x=12πx 2|01=π2. 答案:D2.将由曲线y=√4-x 2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得球的体积是( )A .64π3B .10πC .32π3D .11π解析:∵4-x 2≥0,∴-2≤x ≤2.V=∫ 2-2π(4-x 2)d x=π(∫42-2d x -∫2-2x 2dx) =π(4x |-22-13x 3|-22)=32π3. 答案:C3.将由曲线y=3x ,x+y=4围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 . 解析:由图知V=π∫ 31[(4-x )2-(3x )2]d x =π[13(x -4)3+9x ]|13=8π3. 答案:8π34.将由曲线y=√x 3及y=x 2所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积V= .解方程组{y =√x 3,y =x 2,得交点为O (0,0),A (1,1). 所求体积为两个旋转体的体积之差.V=π∫ 10(√x 3)2d x-π∫ 10(x 2)2d x=π(35x 53)|01-π(15x 5)|01 =π×35-π×15=2π5.答案:2π55.将由曲线y=2x 2+1,直线x=1,x=2及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 .解析:V=π∫ 21(2x 2+1)2d x=π∫ 21(4x 4+4x 2+1)d x=π·(45x 5+43x 3+x)|12=527π15. 答案:6.若将由直线y=x+2和x=a (a>0)以及坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得圆台的体积为56π3,则a 的值为 .解析:∵V=π∫ a 0(x+2)2d x=π∫ a0(x 2+4x+4)d x=π·(13x 3+2x 2+4x)|0a=π·(13a 3+2a 2+4a)=56π3, ∴a 3+6a 2+12a=56,即(a+2)3=64,解得a=2.答案:2★7.将由双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)与直线y=±b 围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .解析:由x 2a 2−y 2b 2=1,得y 2=b 2(x 2a 2-1).当y=b 时,x=±√2a.所以所求几何体的体积为V=πb 2·2√2a-2π∫ √2a ab 2(x 2a 2-1)d x =2√2πab 2-2πb 2·(x 33a 2-x)|a √2a=2√2πab 2-2πb 2·2-√23a=[2√2-2(2-√2)3]πab 2=8√2-43πab 2. 答案:8√2-43πab 28.计算由直线y=0和曲线y=x 2-6x+5围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(π≈3.14,结果精确到0.01)解由题意知所围成的平面图形如图中阴影部分所示,则将其绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V=∫ 51π(x 2-6x+5)2d x=π∫ 51(x 2-6x+5)2d x=π∫51(x4-12x3+46x2-60x+25)d x=π(15x5-3x4+463x3-30x2+25x)|15≈107.18.★9.将由直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积.解直线y=x和曲线y=x2所围成的平面图形如图中阴影部分所示.易知两个图像的交点为(0,0),(1,1),所以将该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫10(x2-x4)d x=π(13x3-15x5)|1=2π15.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：5.2.2
2.2 复数的乘法与除法1.若z=10i 3+i ,则z 的共轭复数为( )A .-1+3iB .-1-3iC .1+3iD .1-3i解析:z=10i 3+i =10i (3-i )(3+i )(3-i )=30i+1032+12=1+3i,z =1-3i,选D .答案:D2.已知(x+i)(1-i)=y ,则实数x ,y 分别为( )A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由x ,y 为实数,且(x+i)(1-i)=y ,得x+1+(1-x )i =y.由{y =x +1,1-x =0,得{x =1,y =2.答案:D3.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D .答案:D4.复数z 满足(z-i)(2-i)=5,则z=( )A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i解析:因为z-i =52-i =5(2+i )(2-i )(2+i )=2+i,所以z=2+2i .答案:D5.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若z=1+i,则zi +i·z =() A .-2 B .-2i C .2 D .2i解析:原式=1+ii +i(1-i)=-i +1+i +1=2.答案:C6.满足z+iz =i(i 为虚数单位)的复数z=( )A.12+12i B.12−12iC.-12+12i D.-12−12i解析:由已知,得z+i =z i,则z (1-i)=-i,即z=-i1-i =-i (1+i )(1-i )(1+i )=1-i 2=12−12i .故选B .答案:B7.已知复数z=5i 1+2i (i 是虚数单位),则|z|= .解析:z=5i 1+2i =5i (1-2i )(1+2i )(1-2i )=2+i,故|z|=√12+22=√5.答案:√58.若z=i -1是方程z 2+az+b=0的一个根,则实数a ,b 的值分别为 , .解析:把z=i -1代入方程z 2+az+b=0,得(-a+b )+(a-2)i =0,即{-a +b =0,a -2=0,解得{a =2,b =2.答案:2 29.已知复数z=3+b i(b ∈R ),且(1+3i)·z 为纯虚数.(1)求复数z ;(2)若w=z 2+i ,求复数w 的模|w|. 解(1)(1+3i)·(3+b i)=(3-3b )+(9+b )i .因为(1+3i)·z 为纯虚数,所以3-3b=0,且9+b ≠0,所以b=1,所以z=3+i .(2)w=3+i 2+i =(3+i )·(2-i )(2+i )·(2-i )=7-i 5=75−15i,所以|w|=√(75)2+(-15)2=√2. 10.已知x ,y ∈R ,且x 1+i +y 1+2i =51+3i ,求x ,y 的值. 解x 1+i +y 1+2i =51+3i 可写成x (1-i )2+y (1-2i )5=5(1-3i )10, 则5x (1-i)+2y (1-2i)=5-15i,(5x+2y )-(5x+4y )i =5-15i .故{5x +2y =5,5x +4y =15,解得{x =-1,y =5. ★11.设z ∈C ,|z|=1,且z ≠±1,试判断z -1z+1是否为纯虚数,请说明理由.解是纯虚数.理由如下: 设z=a+b i(a,b∈R).∵|z|=1,且z≠±1,∴a2+b2=1,且b≠0.z-1 z+1=(a-1)+bi(a+1)+bi=[(a-1)+bi][(a+1)-bi](a+1)2+b2=(a2+b2-1)+2bi(a+1)2+b2=2bi(a+1)2+b2≠0.故z-1z+1为纯虚数.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套：3.1 函数的单调性与极值3.1.1.1
(2)函数的定义域为 R,y'=12-sin x.
令12-sin x<0,
解得 2kπ+π6<x<2kπ+56π(k∈Z);
令12-sin x>0,
解得 2kπ-76π<x<2kπ+π6(k∈Z).
因此,
2������π
+
π 6
,2������π
+
5π 6
(k∈Z)为该函数的递减区
间,
2������π-
题型一 题型二 题型三
题型二 判断或证明函数的单调性
【例 2】 求证:函数 f(x)=x+������������(p>0)在区间( ������,+∞)上是增加的. 分析以前我们用定义法证明函数的单调性,即任取定义域内的 x1,x2,若x1<x2,f(x1)<f(x2),则函数f(x)是增加的,这种方法较复杂,特别 是对于某些复杂函数,很难比较f(x1)与f(x2)的大小,现在可以用求导 的方法来证明.
第三章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
第1课时 导数与函数的单调性
1.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关 系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求一些多项式函数的单调区 间.
导函数符号与函数的单调性之间的关系 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,那么在这个区间上, 函数y=f(x)是增加的. 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,那么在这个区间上, 函数y=f(x)是减少的.
������
(2)y=2+cos x;
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：第四章检测
第四章检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由三条直线x=1,x=3,y=2x+5和一条曲线y=x 2所围成的图形的面积可表示为( ) A.∫ 31(2x+5+x 2)d x B.∫ 31(2x+5-x 2)d x C.∫ 31(x 2-2x-5)d x D.∫ 31(x 2-2x+5)d x 答案:B2.定积分∫ 10(2x+e x )d x 的值为( )A.e +2B.e +1C.eD.e -1解析:因为(x 2+e x )'=2x+e x ,所以∫ 10(2x+e x )d x=(x 2+e x )|01=(1+e 1)-(0+e 0)=e . 答案:C3.已知f (x )={x 2,-1≤x ≤0,1,0<x ≤1,则∫ 1-1f (x )d x 的值为( )A.32 B.43C.23D.-23答案:B4.已知一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v (t )=27-0.9t (速度的单位:m/s),则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A .405 mB .540 mC .810 mD .945 m解析:令v (t )=27-0.9t=0,则t=30,所以列车刹车30 s 后可停车,列车由开始刹车到停车所走过的路程为s=∫ 300v (t )d t=∫ 300(27-0.9t )d t=(27t-0.45t 2)|030=405(m). 答案:A5.已知某物体从A 处向B 处运动的速度为1.4t m/s(t 为运动的时间),到B 处时的速度为35 m/s,则A ,B 间的距离为( ) A .120 m B .437.5 m C .360 m D .480 m解析:因为从A 处到B 处所用的时间为25 s,所以|AB|=∫ 2501.4t d t=0.7t 2|025=437.5(m). 答案:B6.∫ 4-2e |x|d x 的值等于( ) A.e 4-e -2 B.e 4+e 2 C.e 4+e 2-2D.e 4+e -2-2解析:∫ 4-2e |x|d x=∫ 0-2e -x d x+∫ 40e x d x=-e -x |-20+e x |04=-(1-e 2)+(e 4-1)=e 4+e 2-2.答案:C7.设a>0,若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成封闭图形的面积为a 2,则a=( ) A.49B.29C.23D.解析:由已知得S=∫ a0√x d x=23x 32|0a =23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a=49. 答案:A8.已知f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x ,则f (a )的最小值是( )A.-1B.1C.14D.-14解析:f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x=(a 2x 3-ax 2)|01 =a 2-a=(a -12)2−14.当a=12时,f (a )取得最小值-14. 答案:D 9.如图所示的阴影部分的面积为 ( )A.2√3B.9-2√3C.323 D.353解析:阴影部分的面积S=∫ 1-3(3-x 2-2x )d x=(3x -13x 3-x 2)|-31=323.答案:C10.由曲线y=x 2-2x 与直线x=1,x=3及x 轴所围成的图形的面积为( ) A.2B.83C.43D.23解析:∫ 31|x 2-2x|d x=∫ 21[-(x 2-2x )]d x+∫ 32(x 2-2x )d x=(-13x 3+x 2)|12+(13x 3-x 2)|23=23+43=2. 答案:A11.已知某物体在变力F (x )=5-x 2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向做直线运动,则由x=1运动到x=2时,F (x )做的功为( ) A .√3 J B .2√33 JC .4√33 JD .2√3 J由于F (x )与位移方向成30°角,如图.F 在位移方向上的分力F'=F ·cos 30°,所以W=∫ 21(5-x 2)·cos 30°d x=√32∫ 21(5-x 2)d x=√32(5x -13x 3)|12=√32×83=4√33(J).答案:C12.将由曲线y=1x-2,x=14,x=2,y=0围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( ) A .(21-6ln 2)π B .(212-12ln2)π C .(212-6ln2)πD .(21-12ln 2)π解析:所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所求体积为V=π∫ 1214(1x -2)2d x+π∫ 212(1x -2)2d x=π∫ 214(1x -2)2d x=π∫ 214(1x 2-4x +4)d x =π(-1x -4ln |x |+4x)|142=π[-12-4ln2+8-(-4-4ln 14+1)] =(212-12ln2)π. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某动点P 从原点出发,沿x 轴运动,其速度v (t )=2-t (速度的正方向与x 轴的正方向一致),则当t=3时,动点P 移动的路程为 .解析:∵由v (t )=2-t ≥0,得0≤t ≤2,∴当t=3时,点P 移动的路程为s=∫ 20(2-t )d t-∫32(2-t )d t=(2t -12t 2)|02−(2t -12t 2)|23=52. 答案:5214.把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上的坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F=k ·qr 2(其中k 为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r 轴的方向从r=a 处移动到r=b (a<b )处,则电场力对它所做的功为 .解析:W=∫ ba k ·q r 2d r=-k ·q r |ab =k (q a -qb ). 答案:k (q a -qb )15.将由曲线xy=a (a>0),x=a ,x=2a 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 . 解析:曲线方程可改写为y=ax ,因此所求体积为V=∫ 2a a π·a 2x 2d x=-πa 2x -1|a 2a =-πa 2·12a +πa 2·1a=πa2.答案:πa216.将曲线y=sin x (x ∈(0,π))及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .解析:所求体积V=π∫ π0sin 2x d x=π∫ π1-cos2x 2d x=π(12x -14sin2x)|π0 =π[π2-14sin2π-(-14sin0)]=π22. 答案:π22三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)物体A 以速度v=3t 2+1在一条直线上运动,在此直线上与物体A 同时出发的物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v=10t 的速度与A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A 走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s)解设A 追上B 时,所用的时间为t 0,依题意有s A =s B +5,即∫ t00(3t 2+1)d t=∫ t0010t d t+5,t 03+t 0=5t 02+5,t 0(t 02+1)=5(t 02+1),解得t 0=5 s,所以s A =5t 02+5=130 m . 18.(12分)是否存在常数a (a ≤2),使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.解存在常数a 满足题意.当a ≤0时,由题意得∫ 0a (x 2-2x )d x=43,即(13x 3-x 2)|a 0=43,a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵a ≤0,∴a=-1.当0<a ≤2时,由题意得∫ a0|x 2-2x|d x=∫ a0(2x-x 2)d x=43,即a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵0<a ≤2,∴a=2.故存在a=-1或a=2使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43.19.(12分)设两条抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求: (1)M 的面积;(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.如图.(1)解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得x 1=0,x 2=1,交点坐标为(0,0),(1,1).M 的面积为S=∫ 10[(-x 2+2x )-x 2]d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-2×13x 3+x 2)|01=13. (2)旋转体的体积为V=π∫ 10[(-x 2+2x )2-(x 2)2]d x =π∫ 10(-4x 3+4x 2)d x=π(-x 4+43x 3)|01=π3. 20.(12分)如图,直线l 与抛物线y=x 2相交于A ,B 两点,AB 与抛物线所围成的图形的面积恒等于43,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.解设抛物线y=x 2上的两点为A (a ,a 2),B (b ,b 2)(a<b ),l 与抛物线所围成的图形的面积为S ,则S=∫ b a [(a+b )x-ab-x 2]d x=(a+b 2x 2-abx -13x 3)|a b =16(b-a )3=43,得b=a+2. 设线段AB 的中点为P (x ,y ), 则x=a+b 2,y=a 2+b22,即{x =a +1,y =a 2+2a +2,消去a ,得y=x 2+1,即为点P 的轨迹方程. 21.(12分)如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m 上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P (单位:N/m 2)与体积V (单位:m 3)的函数关系式为P=80V ,而正压力F (单位:N)与压强P 的函数关系为F=PS ,其中S (单位:m 2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半(开始活塞处于圆柱顶端),求活塞克服气体压力所做的功.解设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为P=80V =800.01π(0.8-x ), 从而活塞受到的压力为 F=PS=800.01π(0.8-x )×0.01π=800.8-x . 所以活塞克服气体压力所做的功为W=∫ 0.40800.8-x d x=[-80ln(0.8-x )]|00.4=80ln 2(J), 故活塞克服气体压力所做的功为80ln 2 J . 22.(12分)如图,已知抛物线y 2=x.(1)求抛物线上过点(-1,0)的切线方程; (2)求抛物线与(1)中的切线围成的图形的面积; (3)求将(2)中的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0),由y=±√x ,得y'=±2√x.则抛物线y 2=x 在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=±2√x (x-x 0).因为切线过点(-1,0),所以-y 0=±2√x (-1-x 0).又y 02=x 0,由{-y 0=2√x -1-x 0),y 02=x 0,解得{x 0=1,y 0=1或{x 0=1,y 0=-1.所以切线方程为y=±12(x+1).(2)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形的面积S 1=2∫ 10√x d x=2×23x 32|01=43.两条切线与直线x=1围成的图形的面积为S 2=12×2×2=2.故所求面积为S 2-S 1=2-43=23.(3)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为V 1, 所以V 1=π∫ 10x d x=π·12x 2|01=π2. 两条切线与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V 2=13π×12×2=2π3. 所以所求体积为V=V 2-V 1=2π3−π2=π6.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：4
§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积1.在下面所给图形中阴影部分的面积S 及相应的表达式中,正确的有( ) A.①③ B.②③C.①④D.③④解析:①应是S=∫ ba [f (x )-g (x )]dx ,②应是S=∫ 802√2x d x-∫ 84(2x-8)d x ,③和④正确.故选D .答案:D2.由曲线y=x 2与直线x+y=2所围成的图形的面积为 ( )A.72B.4C.92D.5解析:由{y =x 2,x +y =2,得交点坐标为(-2,4)和(1,1).则所求图形的面积为 S=∫ 1-2(2-x )d x-∫ 1-2x 2d x=(2x -12x 2)|-21−13x 3|-21=32+6-3=92.答案:C3.由y=sin x 及y=-sin x 在区间[0,π]上所围成的图形的面积为( ) A.2B.πC.2πD.4解析:所围成图形的面积为S=∫ π0[sin x-(-sin x )]d x=2∫ π0sin x d x =2(-cos x )|π0=2(-cos π+cos 0)=4.答案:D4.由曲线y=x 2+2x ,直线x=-1,x=1及x 轴所围成的图形的面积为( )A.83B.2C.43D.23解析:S=∫ 0-1(-x 2-2x )d x+∫10(x 2+2x )d x=(-13x 3-x 2)|-10+(13x 3+x 2)|01=2. 答案:B5.若两条曲线y=x 2与y=cx 3(c>0)围成的图形的面积是23,则c 等于( ) A .13B .12C .1D .23解析:由{y =x 2,y =cx 3,得x=0或x=1c . ∵0<x<1c 时,x 2>cx 3,∴曲线围成的图形的面积S=∫ 1c 0(x 2-cx 3)d x=(13x 3-14cx 4)|1c =13c 3−14c 3=112c 3=23.∴c 3=18.∴c=12.答案:B6.由抛物线y=x 2-x ,直线x=-1及x 轴围成的图形的面积为( ) A .23B .1C .43D .53解析:所求的面积S=∫ 0-1(x 2-x )d x+∫ 10(x-x 2)d x=(13x 3-12x 2)|-10+(12x 2-13x 3)|01=1. 答案:B 7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为 .解析:∫ 103x 2d x=x 3|1=1,即阴影部分的面积为1.因为长方形区域的面积为3,所以所求概率为13. 答案:13★8.由两条曲线y=x 2,y=14x 2与直线y=1围成的平面区域的面积是 .解析:如图,y=1与y=x 2交于点A (1,1),C (-1,1);y=1与y=x 24交于点B (2,1),D (-2,1).由对称性可知所求面积S=2(∫10x 2dx+∫121d x -∫2014x 2dx)=43.答案:439.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.如图,所求面积S=A 1+A 2,解方程组{y 2=2x ,y =4-x ,得交点坐标为(2,2),(8,-4).A 1部分:由y=√2x ,y=-√2x ,x=2,x=0围成, 所以A 1=∫ 20[√2x -(-√2x )]d x =2√2∫ 20x 12d x=2√2·23x 32|02=163. A 2部分:由y=4-x ,y=-√2x ,x=2和x=8围成, 所以A 2=∫ 82[4-x-(-√2x )]d x =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383. 故S=163+383=18.★10.设点P 在曲线y=x 2上,且从原点向点A (2,4)移动,如果直线OP ,曲线y=x 2及直线x=2所围成的两部分图形的面积分别记为S 1,S 2. (1)当S 1=S 2时,求点P 的坐标;(2)当S 1+S 2有最小值时,求点P 的坐标和最小值.(1)设点P 的横坐标为t (0<t<2),则点P 的坐标为(t ,t 2),直线OP 的方程为y=tx.S 1=∫ t0(tx-x 2)d x=16t 3, S 2=∫ 2t (x 2-tx )d x=83-2t+16t 3.因为S 1=S 2,所以t=43,点P 的坐标为(43,169). (2)由(1)知S=S 1+S 2=16t 3+83-2t+16t 3=13t 3-2t+83,S'=t 2-2. 令S'=0,得t 2-2=0. 因为0<t<2,所以t=√2.当0<t<√2时,S'<0;当√2<t<2时,S'>0, 所以当t=√2时,S 有最小值83−4√23, 此时点P 的坐标为(√2,2).。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套(课件+练习+检测)：1.2.2
2.2 分析法1.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b √2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( ) A.x>y B.x<y C.x>√2yD.不确定 解析:∵x>0,y>0,∴要比较x ,y 的大小,只需比较x 2,y 2的大小,即比较a+b+2√ab 2与a+b 的大小. ∵a ,b 为不相等的正数,∴2√ab <a+b. ∴a+b+2√ab 2<a+b ,即x 2<y 2.故x<y.答案:B2.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:若a>b>c ,且a+b+c=0,求证:√b 2-ac <√3a 索的因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0D.(a-b )(a-c )<0解析:要证√b 2-ac <√3a ,只需证b 2-ac<3a 2.∵b=-(a+c ),∴只需证(a+c )2-ac<3a 2.即只需证c 2+ac<2a 2,即只需证(c+2a )(c-a )<0.∵c=-a-b ,∴只需证(a-b )(c-a )<0.即只需(a-b )(a-c )>0,故选C .答案:C3.若x ,y 为正实数,且√x +√y ≤a √x +y 恒成立,则a 的最小值是( )A.2√2B.√2C.2D.1解析:∵x ,y 为正实数,∴要使√x +√y ≤a √x +y 恒成立,只需a ≥√x+√y√x+y 恒成立.∵(√x+√y √x+y )2=x+y+2√xy x+y =1+2√xy x+y ≤2,当且仅当x=y 时,等号成立,∴√x+√y√x+y ≤√2.故a ≥√2.答案:B 4.已知x ,y 为正实数,当x 2+y 2= 时,有x √1-y 2+y √1-x 2=1. 解析:要使x √1-y 2+y √1-x 2=1,只需x 2(1-y 2)=1+y 2(1-x 2)-2y √1-x 2,即2y √1-x 2=1-x 2+y 2.只需(√1-x 2-y )2=0,即√1-x2=y,故x2+y2=1.答案:15.设n∈N,a=√n+4−√n+3,b=√n+2−√n+1,则a,b的大小关系是.解析:要比较√n+4−√n+3与√n+2−√n+1的大小,即判断(√n+4−√n+3)-(√n+2−√n+1)=(√n+4+√n+1)-(√n+3+√n+2)的符号.∵(√n+4+√n+1)2-(√n+3+√n+2)2=2[√(n+4)(n+1)−√(n+3)(n+2)]=2(√n2+5n+4−√n2+5n+6)<0,∴√n+4−√n+3<√n+2−√n+1.答案:a<b6.若不等式(-1)n a<2+(-1)n+1n对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是.解析:当n为偶数时,a<2-1n.∵2-1n ≥2-12=32,∴a<32.当n为奇数时,a>-2-1n.∵-2-1n<-2,∴a≥-2.综上可得-2≤a<32.答案:[-2,32)7.已知a,b为正实数,求证:√b√a≥√a+√b.证明要证明a√b +b√a≥√a+√b,只要证明a√a+b√b≥√ab(√a+√b),即证明(a+b-√ab)(√a+√b)≥√ab(√a+√b).因为a,b为正实数,所以只要证明a+b-√ab≥√ab.即证明a+b≥2√ab.当a,b为正实数时,a+b≥2√ab显然成立,当且仅当a=b时,等号成立,故a√b +b√a≥√a+√b.8.已知a>0,b>0,1b −1a>1.求证:√1+a>√1-b.证明由题意知1-b>0,要证明√1+a >√1-b 成立,只需证明1+a>11-b ,只需证明(1+a )(1-b )>1,即证明1-b+a-ab>1,即证明a-b>ab.∵a>0,b>0, ∴只需证明a -b ab >1,即1b −1a >1.由已知知1b −1a >1成立,故√1+a >1√1-b 成立.★9.已知a ,b ,c 均为大于1的正数,且ab=10,求证:log a c+log b c ≥4lg c. 证明由a>1,b>1,知要证明log a c+log b c ≥4lg c ,只需证明lga+lgblgalgb ·lg c ≥4lg c.因为c>1,所以lg c>0,即只需证明lga+lgblgalgb ≥4.又因为ab=10,所以lg a+lg b=1,即只需证明1lgalgb ≥4.(*) 由于a>1,b>1,则lg a>0,lg b>0,所以0<lg a lg b ≤(lga+lgb 2)2=(12)2=14,当且仅当lg a=lg b=12时,取等号.即(*)式成立,故原不等式成立.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：本章整合1
-1-
知识建构
综合应用
真题放送
合情推理 归纳推理
推理
类比推理
演绎推理
推理与证明
综合法
直接证明
分析法
证明
间接证明:反证法
数学归纳法
专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 归纳与类比 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.虽然猜想是否 正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种 方向.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三 专题四
应用1对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想 出:正四面体的内切球切于四个面所在正三角形的位置是( )
A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点 提示:空间中的问题可以类比平面中的问题解决. 解析:正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的 四个面,三边的中点类比正三角形的中心. 答案:B
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立,
则当
n=k+1
时,xk+1=
4������������+3 ������������+2
=
4
−
������������5+2,
由 2≤xk<3,得 4≤xk+2<5,
所以
1<
5 ������������+2
≤
54,
故
2<
141≤4−
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：4.3 定积分的简单应用4.3.2
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1234
1.将由y=x2,x=0和y=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋
转体的体积可以表示为( )
A.V=π
1 0
x2dx
B.V=π
1 0
[12-(x2)2]dx
C.V=π
1 0
(x2)2dx
D.V=π
1 0
(12-x2)dx
答案:B
及������轴所围成的图形绕������轴旋转一周所得旋转体的体积.
分析:被积函数是 y2=2px,积分变量为 x,而旋转体是由曲线 y=
2������������, ������
=
������ 2
及x
轴围成的图形旋转而成的,注意积分范围
x∈
0,
������ 2
.
解:
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
成是由直线 y=x,x=2 以及 x 轴所围成的平面图形.
| 则所求旋转体的体积为 V=π
2 0
������2d������
=
π 3
������3
2 0
=
83π.
答案:D
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1234
3.将由双曲线 y=2������,直线 x=2,x=3 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋
2 围成的平面图形绕������轴旋转一周所得的旋转体的体积.
解:由题意知 V=
2 1
πe2������d������ −
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：本章整合4
为
.
解析:
在同一平面直角坐标系中作出函数 y=x2 与
y=x 的图像如图,所围成的封闭图形如图中阴
影部分,设其面积为 S.由
������ = ������2, 得 ������ = ������,
������ ������
Hale Waihona Puke = =0, 0或
������ = 1, ������ = 1.
故所求面积 S=
1 0
������(������)d������, 则
1 0
������(������)d������ = (
)
A.-1
1
B.− 1 C. 1 D. 1
33
1
1
1
解析: ∵ ������(������)d������ = ������2d������ + 2 ������ (������)d������ d������
5π 6
,
故选A.
答案:A
1 2 3 4 567 8
知识建构
综合应用
真题放送
3(2014·湖北高考)若函数 f(x),g(x)满足
1 -1
������(������)������(������)d������ = 0,
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
0
0
0
0
=
1 3
������3|01
+
2
1
������ (������)d������
0
������|10
=
1 3
+
2
1 0
2018～2019学年度高中数学选修2-2教师用书配套课件整理学案模块质量评估
模块质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·衡阳高二检测)设复数z＝－1－i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于( )A.－1－2iB.－2+iC.－1+2iD.1+2i【试题解析】选C.由题意可得＝＝＝－1+2i.2.下列积分中正确的一个是( )A.＝12B.dx＝－eC.e x(1+e x)2dx＝D.sin xdx＝2【试题解析】选A.由定积分公式得,＝dx＝·|＝12.【补偿训练】sin xdx＝( )A.－1B.1C.0D.－8【试题解析】选C.sin xdx＝(－cos x)|＝0.3.用反证法证明命题:“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为( )A.①→②→③B.③→①→②C.①→③→②D.②→③→①【试题解析】选B.反证法的步骤是反设—归谬—结论.4.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是( )A.甲B.乙C.丙D.丁【试题解析】选C.若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.5.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为 ( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【试题解析】选B.p1:设z＝a+bi(a,b∈R),则＝＝∈R,得到b＝0,所以z∈R.故p1正确;p2:若z2＝－1,满足z2∈R,而z＝i,不满足z∈R,故p2不正确;p3:若z1＝1,z2＝2,则z1z2＝2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的共轭复数是它本身,也是实数,故p4正确.6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i＝0有实根,则实数m等于( )A. B.i C.－ D.－i【试题解析】选A.设方程的实数根为x＝a(a为实数),则a2+(1+2i)·a+3m+i＝0,所以所以7.(2018·青岛高二检测)若a＞0,b＞0,且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx+2在x＝1处有极值,则ab的最大值等于 ( )A.2B.3C.6D.9【试题解析】选D.因为f′(x)＝12x2－2ax－2b,又因为在x＝1处有极值,所以a+b＝6,因为a＞0,b＞0,所以ab≤＝9,当且仅当a＝b＝3时取等号,所以ab的最大值等于9.8.(2018·枣庄高二检测)用数学归纳法证明“1+++…+＜n(n∈N*,n＞1)”时,由n＝k(k＞1)不等式成立,推证n＝k+1时,左边应增加的项数是( ) A.2k－1 B.2k－1 C.2k D.2k+1【试题解析】选C.左边的特点是分母逐渐增加1,末项为;由n＝k时,末项为到n＝k+1时末项为＝,所以应增加的项数为2k.9.已知函数f(x)(x∈R)满足f(2)＝3且f(x)在R上的导数满足f′(x)－1＜0,则不等式f(x2)＜x2+1的解集为( )A.(－∞,－)B.(,+∞)C.(－∞,－)∪(,+∞)D.(－,)【试题解析】选C.令g(x)＝f(x)－x,则g′(x)＝f′(x)－1＜0,所以g(x)在R 上单调递减,因为f(x2)＜x2+1,所以f(x2)－x2＜1即g(x2)＜1,又g(2)＝f(2)－2＝1,所以g(x2)＜g(2),所以x2＞2,即x＞或x＜－.10.已知函数f(x)＝,则f(f(…f(x)))为( )A. B.C.0D.【试题解析】选B.先进行具体的计算,由f(x)＝,得f(f(x))＝＝＝＝.同理可得,f(f(f(x)))＝.于是归纳猜想f(f(…f(x)))＝.11.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r＝,类比这个结论可知:四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S－ABC的体积为V,则R＝( )A. B.C. D.【解题指南】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【试题解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体S－ABC的体积为V＝(S1+S2+S3+S4)R,所以R＝.12.已知函数f(x)＝+xln x,g(x)＝x3－x2－5,若对任意的x1,x2∈,都有f(x1)－g(x2)≥2成立,则a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[1,+∞)C.(－∞,0)D.(－∞,－1]【试题解析】选B.由于g(x)＝x3－x2－5⇒g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2),所以函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,g＝－－5＝－,g(2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x1,x2∈,f(x1)－g(x2)≥2恒成立,所以f(x)≥[g(x)+2]max,即x∈时,f(x)≥1恒成立,即+xln x≥1,在上恒成立,a≥x－x2ln x在上恒成立,令h(x)＝x－x2ln x,则h′(x)＝1－2xln x－x,而h″(x)＝－3－2ln x,x∈时,h″(x)＜0,所以h′(x)＝1－2xln x－x在上单调递减,由于h′(1)＝0,所以x∈时,h′(x)＞0,x∈[1,2]时,h′(x)≤0,所以h(x)≤h(1)＝1,所以a≥1.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数y＝xsin x+cos x,x∈(－π,π)的单调增区间为.【试题解析】因为y＝xsin x+cos x,所以y′＝(xsin x)′－sin x＝sin x+xcos x－sin x＝xcos x.令y′＞0且x∈(－π,π),结合余弦曲线得－π＜x＜－或0＜x＜.答案:和【补偿训练】若函数f(x)＝在区间(a－1,2a)上是单调递增函数,则实数a 的取值范围为.【试题解析】f′(x)＝＝,令f′(x)＞0得－1＜x＜1,故f(x)的递增区间为(－1,1),由题意得－1≤a－1＜2a≤1,所以0≤a≤.答案:14.如图,阴影部分是由曲线y＝,y2＝x与直线x＝2,y＝0围成,则其面积为.【试题解析】由得交点A(1,1),由得交点B,故所求面积S＝dx+dx＝|+ln x|＝+ln 2.答案:+ln 215.设＝+(x,y∈R),则x＝,y＝.【试题解析】由已知得＝+,所以＝+,即－i＝++i,所以解得答案:－16.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.下图中实心点的个数5,9,14,20,…,被称为梯形数.根据图形的构成,记第2 018个梯形数为a2 018,则a2 018＝.【试题解析】5＝2+3＝a1,9＝2+3+4＝a2,14＝2+3+4+5＝a3,…,a n＝2+3+…+(n+2)＝＝×(n+1)(n+4),由此可得a2 018＝2+3+4+…+2 020＝×2 019×2 022＝2 019×1 011.答案:2 019×1 011三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算下列定积分:(1)|x+2|dx.(2)(x2+sin x)dx.【解题指南】(1)首先以－2为分界线把积分区间分为两个,利用和的积分等于积分之和求解.(2)找函数x2+sin x的原函数.【试题解析】(1)|x+2|dx＝－(x+2)dx+(x+2)dx＝－|+|＝.(2)根据定积分的基本原理可得(x2+sin x)dx＝|＝.18.(12分)设复数z满足|z|＝1,且(3+4i)z是纯虚数,求的值.【试题解析】设z＝a+bi(a,b∈R),由|z|＝1得＝1,(3+4i)z＝(3+4i)(a+bi)＝3a－4b+(4a+3b)i是纯虚数,则3a－4b＝0,4a+3b≠0,所以解得或所以＝－i或＝－+i.19.(12分)设函数f(x)＝ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直,导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a,b,c的值.(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值. 【试题解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(0)＝0,所以c＝0.则f(x)＝ax3+bx.因为f′(x)＝3ax2+b的最小值为－12,所以a ＞0,b ＝－12,又直线x －6y －7＝0的斜率为, 所以f ′(1)＝3a+b ＝－6,解得a ＝2. 所以a ＝2,b ＝－12,c ＝0. (2)由(1)知f(x)＝2x 3－12x. f ′(x)＝6x 2－12＝6(x+)(x －), 令f ′(x)＝0得,x 1＝－,x 2＝,列表如下:)－－,)(,+所以函数f(x)的单调增区间是(－∞,－)和(,+∞).因为f(－1)＝10,f()＝－8,f(3)＝18,所以f(x)在[－1,3]上的最大值是18,最小值是－8.20.(12分)已知数列,,…,,…,S n 为该数列的前n 项和,计算得S 1＝,S 2＝,S 3＝,S 4＝.观察上述结果,推测出S n (n ∈N *),并用数学归纳法加以证明.【试题解析】推测S n＝(n∈N*).用数学归纳法证明如下:(1)当n＝1时,S1＝＝,等式成立;(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立,即S k＝,那么当n＝k+1时,S k+1＝S k+＝+＝＝＝＝＝.也就是说,当n＝k+1时,等式成立.根据(1)和(2),可知对一切n∈N*,等式均成立.21.(12分)已知函数f(x)＝ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x＝1时,f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.(3)证明:对任意x1,x2∈(－1,1),不等式|f(x1)－f(x2)|＜4恒成立.【试题解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),即－ax3－cx+d＝－ax3－cx－d,所以d＝－d,所以d＝0(或由f(0)＝0得d＝0).所以f(x)＝ax3+cx,f′(x)＝3ax2+c,又当x＝1时,f(x)取得极值－2,所以即解得所以f(x)＝x3－3x.(2)f′(x)＝3x2－3＝3(x+1)(x－1),令f′(x)＝0,得x＝±1,当－1＜x＜1时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减;当x＜－1或x＞1时,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增;所以函数f(x)的递增区间是(－∞,－1)和(1,+∞);递减区间是(－1,1).因此,f(x)在x＝－1处取得极大值,且极大值为f(－1)＝2.(3)由(2)知,函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减,且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.所以对任意x1,x2∈(－1,1),|f(x1)－f(x2)|＜M－m＝4成立.即对任意x1,x2∈(－1,1),不等式|f(x1)－f(x2)|＜4恒成立.22.(12分)已知函数f(x)＝ln|x|(x≠0),函数g(x)＝+af′(x)(x≠0)(1)当x≠0时,求函数y＝g(x)的表达式.(2)若a＞0,函数y＝g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值.(3)在(2)的条件下,求直线y＝x+与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积. 【解题指南】(1)对x的取值分类讨论,化简绝对值求出f′(x),得到x＞0和x ＜0导函数相等,代入到g(x)即可.(2)根据基本不等式得到g(x)的最小值即可求出a.(3)根据(2)知g(x)＝x+,首先联立直线与函数解析式求出交点,利用定积分求出直线与函数图象围成的区域的面积即可.【试题解析】(1)因为f(x)＝ln|x|,所以当x＞0时,f(x)＝ln x,f′(x)＝,当x＜0时,f(x)＝ln(－x),f′(x)＝·(－1)＝.所以当x≠0时,函数y＝g(x)＝x+.(2)因为由(1)知当x＞0时,g(x)＝x+,所以当a＞0,x＞0时,g(x)≥2,当且仅当x＝时取等号.所以函数y＝g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,所以依题意得2＝2,所以a＝1.(3)由解得所以直线y＝x+与函数y＝g(x)的图象所围成图形的面积S＝dx＝+ln 3－2ln 2.【补偿训练】已知函数f(x)＝x3－x2+1,x∈R.(1)求函数f(x)的极大值和极小值.(2)求函数图象经过点的切线的方程.(3)求函数f(x)＝x3－x2+1的图象与直线y＝1所围成的封闭图形的面积. 【试题解析】(1)f′(x)＝x2－x,令f′(x)＝0,解得x＝0或x＝1,令f′(x)＞0,得x＜0或x＞1,令f′(x)＜0,解得0＜x＜1,所以函数f(x)在(－∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞) 上单调递增,所以x＝0是其极大值点,x＝1是极小值点,所以f(x)的极大值为f(0)＝1;f(x)的极小值为f(1)＝.(2)设切点为P,切线斜率k＝f′(x0)＝－x0,所以曲线在P点处的切线方程为y－＝(－x0)(x－x0), 把点代入,得x0(4－12x0+9)＝0⇒x0＝0或x0＝,所以切线方程为y＝1或y＝x－. (3)由⇒或所以所求的面积为[1－f(x)]dx＝dx＝＝.。