5.1正弦定理与余弦定理-高考数学历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)

第五章 解三角形
5.1 正弦定理与余弦定理
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．
题型一.正、余弦定理
1．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC 中，cos C =2
3，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝（ ） A ．1
9
B ．1
3
C ．1
2
D ．2
3
2．（2018•新课标Ⅲ）在△ABC 中，cos C
2
=
√5
5
，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．4√2 B ．√30 C ．√29 D ．2√5
3．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin B +sin A （sin C ﹣cos C ）＝0，a ＝2，c =√2，则C ＝（ ） A ．
π12
B ．π6
C ．π4
D ．π3
4．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ﹣b sin B ＝4c sin C ，cos A =−1
4
，则b
c =（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
5．（2016•山东）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2（1﹣sin A ），则A ＝（ ） A ．
3π4
B ．π
3
C ．π
4
D ．π
6
6．（2014•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c =1
4a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 ．
7．（2016•新课标Ⅲ）在△ABC 中，B =π
4，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos A 等于（ ）
A ．
3√1010
B ．
√10
10
C ．−√10
10
D ．−3√10
10
8．（2015•重庆）在△ABC 中，B ＝120°，AB =√2，A 的角平分线AD =√3，则AC ＝ ． 9．（2021•浙江）在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝2√3，则AC ＝ ；cos ∠MAC ＝ ．
10．（2020•新课标Ⅲ）如图，在三棱锥P ﹣ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD =√3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝ ．
题型二.周长、面积问题
1．（2018•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为a 2+b 2−c 2
4
，
则C ＝（ ） A ．π
2
B ．π
3
C ．π
4
D ．π
6
2．（2021•乙卷）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为√3，B ＝60°，a 2+c 2
＝3ac ，则b ＝ ．
3．（2018•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin C +c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2+c 2﹣a 2＝8，则△ABC 的面积为 ．
4．（2015•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知△ABC 的面积为3√15，b ﹣c ＝2，cos A =−1
4，则a 的值为 ．
题型三.最值、取值范围问题
1．（2014•新课标Ⅲ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 ． 2．（2018•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a +c 的最小值为 ． 3．（2018•北京）若△ABC 的面积为
√3
4
（a 2+c 2﹣b 2），且∠C 为钝角，则∠B
＝；c
a
的取值范围是．
4．（2015•新课标Ⅲ）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．
题型四.解三角形在实际中的应用
1．（2014•上海）某货船在O处看灯塔M在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B处，看到灯塔M在北偏东75°方向，此时货船到灯塔M的距离为海里．
2．（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．
3．（2014•新课标Ⅲ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A 点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．
4．（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（√3≈1.732）
A．346B．373C．446D．473
一．单选题（共6小题）
1．（2018秋•湖南月考）若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．以上都有可能
2．（2017•雅安模拟）若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则a b
等于（ ） A ．3
2
B ．4
3
C ．√2
D ．√3
3．（2020•福建模拟）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =2π
3
，a ＝7．若△ABC 的面积为
15√3
4
，则其周长是 ． 4．（2020•浙江模拟）已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，D 为线段AC 上一点，AB ⊥BD ，AD CD
=3
4
，
则AC ＝ ，△ABC 的面积是 ．
5．（2020•郑州一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos A ＝a （√2−cos C ），c ＝2，D 为AC 上一点，AD ：DC ＝1：3，则△ABC 面积最大时，BD ＝ ． 6．（2020•贵州模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足b 2+c 2﹣a 2＝bc ，a =√3，则b +c 的取值范围是（ ） A ．（1，√3）
B ．（√3，2√3]
C ．（√3，3√3）
D ．（√3，3√3
2]
二．多选题（共4小题）
7．对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若cos A ＝cos B ，则△ABC 为等腰三角形
B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B
C ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个
D ．若sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法错误的是（ ） A ．若A ＞B ，则cos A ＞cos B
B ．若∠A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△AB
C 有一解
C ．若△ABC 为钝角三角形，则a 2+b 2＞c 2
D ．若A ＝60°，a ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3
9．锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ﹣b ＝2b cos C ，则（ ） A ．C ＝2B B ．B 的取值范围是（π
6
，π
4）
C ．B ＝2C
D ．c
b
的取值范围是（1，√3）
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A ．若A ＞
B ＞
C ，则sin A ＞sin B ＞sin C
B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则满足条件的△AB
C 有两个 C ．若0＜tan A tan B ＜1，则△ABC 是锐角三角形
D ．存在角A ，B ，C ，使得tan A tan B tan C ＜tan A +tan B +tan C 成立。