山东省淄博市高三第三次模拟考试数学(理)试题解析(解析版)
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(I)求证： BN；
(II)求二面角 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明：两种思路，一是几何法：
取 的中点 ,连结 ， ,可得 ．
又平面 平面 ， 平面 ．
证得 ，
平面 得到 ．
二是向量法：根据已有垂直关系，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
确定 . ，利用 ，
A. a<0或a>lB．
C．0≤a≤1 D．
4.右图所示的程序框图，如果输入的n为6，那么输出的n为（）
A. 16 B．10 C.5 D.3
【答案】
5.过抛物线 焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则 （）
A. 14 B．12 C.l0 D.8
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线 焦点为 .设 ，则 .
则常数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知， ，即 ，而 ，故常数 的取值范围是 .
考点：数列的概念，不等式恒成立问题.
15.对于定义在R上的函数 图象连续不断，若存在常数 ，使得
对任意的实数x成立，则称f (x)是阶数为a的回旋函数，
现有下列4个命题：
① 必定不是回旋函数；
由抛物线的定义可知， ，
故选 .
考点：抛物线的定义及其几何性质，中点坐标公式.
6.函数 的部分图象为（）
7.函数 （其中 )的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（）
A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
【答案】
【解析】
8.M是正方体 的棱 的中点，给出下列结论：
【答案】
【解析】
试题分析：由 得， ，
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.函数 为增函数的区间是________，
【答案】
【解析】
试题分析：解 得 ，所以，函数 为增函数的区间是 .
考点：正弦函数的性质，复合函数的单调性.
12.设双曲线 的两条渐近线与直线 围成的三角形区域（包含边界）
(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(II)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
（Ⅱ） 的取值为 , 计算概率即得分布列.
，
，
，
………………………12分
考点：对立事件的概率，随机变量的分布列与数学期望.
19.（本题满分12分）己知数列 满足 ．
(I)计算： ，并求 ；
(II)求 (用含n的式子表示）；
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为（）
A. B． C． D.2
2.己知向量 的夹角为120 ， ，且 则 （）
A．6 B.7 C．8 D.9
3.已知命题 ．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）
证得 .
（Ⅱ）利用向量法，根据已有垂直关系，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
求平面 的法向量为 .
再据平面 的法向量 计算即得.
试题解析：（Ⅰ）证明：方一
取 的中点 ,连结 ， ,由题意知 ．
又因为平面 平面 ，所以 平面 ．………………2分
因为 平面 所以
因为四边形 为菱形，所以
.
设平面 的法向量为 ，则 即
考点：几何体的结构特征，异面直线，垂直关系，平行关系.
9.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有 个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 ，设事件A为“ 为偶数”，事件B为“ 中有偶数且 ”，则概率 =（）
A. B. C. D.
【答案】
10.若实数 满足 ，则 的最小值为（）
A. B． C． D.
令 .所以 .…………………………………………9分
又平面 的法向量 …………………………………10分
设二面角 的平面角为 ，则 .……………12分
考点：平行关系，垂直关系，空间向量的应用，二面角的计算.
18.（本题满分12分）袋中装有大小相同的9个小球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
②若 为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；
④若对任意一个阶数为 的回旋函数 ，方程 均有实数根.
其中为真命题的是________.
根，④正确；
综上知，答案为①②④.
考点：新定义问题，函数零点存在定理，三角函数、指数函数的性质.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
①过M点有且只有一条直线与直线 都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线 都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线 都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线 都平行，
其中正确的是（）
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
【答案】
确定的平面、 确定的平面均满足平面与直线 都相交，③不正确；
过M点的平面与直线 都平行有的话，就不止一个，④不正确，选 .
（Ⅱ）应用正弦定理，将 化为 ，
根据 ，得到 ， ，
利用 为锐角三角形，得到 且 ，确定角的范围，进一步得到
函数 的取值范围是 .
试题解析：（Ⅰ） =
=
因为 ，所以 ……………………………………4分
……………………6分
考点：平面向量的坐标运算，三角函数式的化简，三角函数的性质，正弦定理的应用.
17.（本题满分12分）己知斜三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，侧面 为菱形， ，平面 平面ABC，N是 的中点．
16.（本题满分12分）己知向量 ，记 .
(I)若 ，求 的值；
( II)在锐角 ABC申，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足( ,
求函数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）函数 的取值范围是 .【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用平面向量的坐标运算以及三角函数公式，化简得到 = ，
根据 ，得到 ，进一步应用二倍角公式及诱导公式计算即得.
为 ，点 为 内的一个动点，则目标函数 的最小值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：双曲线 的两条渐近线为 .画出平面区域 及直线 （如图所示）.
平移直线 ，当其经过点 时，
考点：双曲线的几何性质，简单线性规划的应用.
13.己知 ，且 ，则 的最大值是______.
14.己知数列 是一个单调递减数列，其通项公式是 （其中 ）
(II)求二面角 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明：两种思路，一是几何法：
取 的中点 ,连结 ， ,可得 ．
又平面 平面 ， 平面 ．
证得 ，
平面 得到 ．
二是向量法：根据已有垂直关系，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
确定 . ，利用 ，
A. a<0或a>lB．
C．0≤a≤1 D．
4.右图所示的程序框图，如果输入的n为6，那么输出的n为（）
A. 16 B．10 C.5 D.3
【答案】
5.过抛物线 焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则 （）
A. 14 B．12 C.l0 D.8
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线 焦点为 .设 ，则 .
则常数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知， ，即 ，而 ，故常数 的取值范围是 .
考点：数列的概念，不等式恒成立问题.
15.对于定义在R上的函数 图象连续不断，若存在常数 ，使得
对任意的实数x成立，则称f (x)是阶数为a的回旋函数，
现有下列4个命题：
① 必定不是回旋函数；
由抛物线的定义可知， ，
故选 .
考点：抛物线的定义及其几何性质，中点坐标公式.
6.函数 的部分图象为（）
7.函数 （其中 )的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（）
A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度
【答案】
【解析】
8.M是正方体 的棱 的中点，给出下列结论：
【答案】
【解析】
试题分析：由 得， ，
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.函数 为增函数的区间是________，
【答案】
【解析】
试题分析：解 得 ，所以，函数 为增函数的区间是 .
考点：正弦函数的性质，复合函数的单调性.
12.设双曲线 的两条渐近线与直线 围成的三角形区域（包含边界）
(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(II)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
（Ⅱ） 的取值为 , 计算概率即得分布列.
，
，
，
………………………12分
考点：对立事件的概率，随机变量的分布列与数学期望.
19.（本题满分12分）己知数列 满足 ．
(I)计算： ，并求 ；
(II)求 (用含n的式子表示）；
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为（）
A. B． C． D.2
2.己知向量 的夹角为120 ， ，且 则 （）
A．6 B.7 C．8 D.9
3.已知命题 ．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）
证得 .
（Ⅱ）利用向量法，根据已有垂直关系，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
求平面 的法向量为 .
再据平面 的法向量 计算即得.
试题解析：（Ⅰ）证明：方一
取 的中点 ,连结 ， ,由题意知 ．
又因为平面 平面 ，所以 平面 ．………………2分
因为 平面 所以
因为四边形 为菱形，所以
.
设平面 的法向量为 ，则 即
考点：几何体的结构特征，异面直线，垂直关系，平行关系.
9.先后掷两次骰子（骰子的六个面上分别有 个点），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 ，设事件A为“ 为偶数”，事件B为“ 中有偶数且 ”，则概率 =（）
A. B. C. D.
【答案】
10.若实数 满足 ，则 的最小值为（）
A. B． C． D.
令 .所以 .…………………………………………9分
又平面 的法向量 …………………………………10分
设二面角 的平面角为 ，则 .……………12分
考点：平行关系，垂直关系，空间向量的应用，二面角的计算.
18.（本题满分12分）袋中装有大小相同的9个小球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
②若 为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；
④若对任意一个阶数为 的回旋函数 ，方程 均有实数根.
其中为真命题的是________.
根，④正确；
综上知，答案为①②④.
考点：新定义问题，函数零点存在定理，三角函数、指数函数的性质.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
①过M点有且只有一条直线与直线 都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线 都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线 都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线 都平行，
其中正确的是（）
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
【答案】
确定的平面、 确定的平面均满足平面与直线 都相交，③不正确；
过M点的平面与直线 都平行有的话，就不止一个，④不正确，选 .
（Ⅱ）应用正弦定理，将 化为 ，
根据 ，得到 ， ，
利用 为锐角三角形，得到 且 ，确定角的范围，进一步得到
函数 的取值范围是 .
试题解析：（Ⅰ） =
=
因为 ，所以 ……………………………………4分
……………………6分
考点：平面向量的坐标运算，三角函数式的化简，三角函数的性质，正弦定理的应用.
17.（本题满分12分）己知斜三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，侧面 为菱形， ，平面 平面ABC，N是 的中点．
16.（本题满分12分）己知向量 ，记 .
(I)若 ，求 的值；
( II)在锐角 ABC申，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足( ,
求函数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）函数 的取值范围是 .【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用平面向量的坐标运算以及三角函数公式，化简得到 = ，
根据 ，得到 ，进一步应用二倍角公式及诱导公式计算即得.
为 ，点 为 内的一个动点，则目标函数 的最小值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：双曲线 的两条渐近线为 .画出平面区域 及直线 （如图所示）.
平移直线 ，当其经过点 时，
考点：双曲线的几何性质，简单线性规划的应用.
13.己知 ，且 ，则 的最大值是______.
14.己知数列 是一个单调递减数列，其通项公式是 （其中 ）