力4.功和能
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E E E W p 1 p 2 p 保 12
若规定系统在位形（0）的势能为零， 则： ( 0 ) E f d r p 1 16 ( 1 ) 保
说明： 1.势能属于相互作用的系统； 2.势能不依赖于参考系的选择，不要将势能 零点的选择与参考系的选择相混淆。 二. 几种势能 1.万有引力势能
( 1 ) d r f d r f ( 2 )
L1
L
r 0 fd
L2
13
二. 几种保守力 1.万有引力：
(2) ×
( 2 ) W f d r 12 对 ( 1 )
r2
d r e d r r
M
·
r
f
·
d re r m
§4.1 功（work）
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的 标量积。
( 2 ) ( 2 ) W d W F d r 12 ( 1 ) ( 1 )
2
×
( 2 ) F cos d r ( 1 )
dr L m
×
F
▲ 功依赖于参考系； ▲ 功是标量，
1
有正、负之分。
一. 一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向 相反的力， 称之为 “一对力”。 一对力通常是 作用力与反作用力，但也可不是。
§4.3 一对力的功
2 ) ( W d r ( d r ) f f 12 2 21 1 12 对 ( 1 ) ( 1 )
( ห้องสมุดไป่ตู้ )
(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。 说明： 1.W对 与参考系选取无关。 2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情 况下，一对力的功必为零。
通常 EP 可以是几个坐标的函数，此时有：
f保 l
若
Ep l
Ep y
E E ( x ,y ,z )， 则有： p p
Ep x ， f保 y
， f保z
f保x
Ep z
E E E p p p f （ i j k ） 保 x y z grad E p
对所有质点求和：
B i A
B F d r d r i i ij i f
i j i A
1 1 2 2 m v m v i iB i iA i 2 i 2
25
由伽利略位移变换关系和柯尼希定理，有： B B B ' F d r F d r f d r C i i ij i C A A A i i j i B 1 2 1 2 ' mv mv f d r CB CA ij i
5
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
一、质点的动能定理
B A
B
由牛顿第二定律
A
B B W F d r F d r m a d r A B r t
A
dv v 1 21 2 B m vdt m v dv mv m B A A v A dt 2 2
B i
对质点系的所有质点求和：
W W E E 外 k 2 k 1 内
质点系的动能定理 （对惯性系）
注意：内力虽成对出现， 但内力功的和不一定 为零（各质点位移不一定相同）。 8
三. 克尼希定理（Konig theorem）
‥
1 1 2 2 E m v E ( m i i， k kC i )v C 2 2 1 2 1 E m v m ( v v ) ( v v ) k i i i i C i C 2 2
( 2 ) GMm ( 2 e r rd 1 )
r
r1
× (1)
r GMm GMm r2 r 1
14
GMm r 2 2 dr r 1
( r ) e 任何有心力 f 都是保守力。 r
2.弹力： 一维运动时
f kx i
p m g
x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度(stiffness)。
GMm E ( r ) C p r
令 Ep( ) 0， 则 C = 0，
有
GMm Ep(r) r
17
2.重力势能
E ( h ) mgh C p
令 Ep(0) 0 ，有
Ep(h ) m gh
3.弹性势能
1 2 E (x ) kx C p 2
1 2 x ) kx 令 E 0 ) 0， 有 E p( p( 2
则 一个孤立系统不管经历何种变化，
系统所有能量的总和保持不变。 —— 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 机械运动范围内的体现。
24
四. 质心参考系下的功能关系 假定保守系统。 对质点i，在系统从初态A到 末状态B的过程中，由动能定理给出：
B
1 B 2 1 2 m v m v F d r f d r i i B i iA i i ij i A A 2 2 j i
E E 引入系统的机械能： E k p
功能 原理
W W E E 外 2 1（积分形式） 内 非
（微分形式） d W d W d E 外 内 非
22
二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。 （对惯性系） —— 机械能守恒定律 显然，孤立的保守系统机械能守恒。
第四章 功和能（Work and Energy）
前言 §4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 一对力的功 §4.4 保守力 §4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节） §4.6 由势能求保守力（书4.8节） §4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节） §4.8 守恒定律的意义（书4.10节） §4.9 碰撞（书4.11节）
d W 0 且 d W 0 ，则 E 常量 即 若 外 内 非
当 E 0 时 E ， E W k p 内保
即
W保内 < 0 保守内力作功是系统势能与动能相互转化 23 的手段和度量。
Ep
W保内 > 0
Ek
三. 普遍的能量守恒定律
如果考虑各种物理现象，计及各种能量，
3
当质点同时受到几个力的作用时，合力的功等 于各分力沿同一路径所做的功的代数和。
B A
B
B W F d r F F F d r A B 1 2 N
A
B B F d r F d r F d r 1 2 N
S（质心系）： v 0 m v 0 C i i 1 2 m E k iv i 2 v v S（惯性系）： v i i C
1 1 2 2 m v ( m v ) v ( m ) v ii ii C i C 2 2
i j i A
2
2
0
1 '2 1 '2 m v m v i iB i iB i 2 i 2 B ' d r E E ij i PA PB f
一. 定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关， 而只决定于相互作用物体的始末相对位置， 这样的力称为保守力。
(2) L1 L2
( ( 2 ) 2 ) 若 f为保守力，则： f d r f d r ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 )
dr L 2 m 2 f L1 (1) r m1 L=L1+L2
A A A
W W W 1 AB 2 AB NAB
功的国际单位：焦耳（J） 非国际单位：电子伏（eV）
4
例1：弹簧弹力所做的功。
m
o A B x x0 = 0
例2：摩擦力的功。
例3：滑雪运动员的质量为m，沿滑雪道下滑 了高度h，忽略他所受的摩擦力，求在这一过 程中他受的合外力做的功。 注意：分析不同种类的力的做功特点。
斜率 = 0
r
§4.7 功能原理，机械能守恒定律
一. 功能原理（work-energy theorem） 对质点系有： W W E E 外 k 2 k 1 内
W W W ( E E ) W 内 内保 内非 p 2 p 1 内非
W W （ E E ） （ E E ） 外 k 2 p 2 k 1 p 1 内非
1 定义动能： Ek mv 2 2
质点的动能定理 W E E AB kB kA （对惯性系）
6
例4：利用动能定理，重解此题，求线摆下角 时珠子的速率。
o
T mg
7
二、质点系的动能定理 对质点i，由动能定理：
1 B i 2 1 2 m v m v F d r f d r i i B i iA i i i i A A 2 2 i i
grad Ep —— EP 的梯度（gradient）
20
引入算符 i j k x y z f E 则有 p 保
二 . 由势能曲线求保守力 Ep
O
例：双原子分子势能曲线
斜率 < 0 r 斜率 > 0
0
× × ×
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0， r 是引力。 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0， 是斥力。 21
18
§4.6 由势能求保守力
一. 由势能函数求保守力 f保
m l dl f =f cosθ 保l 保
f d l d E p 保
f l d E p 保 ld
f保 l dEp dl
所以有：
1 2 例如弹性 E 势 能 kx ， p 2 d1 2 则可得弹性力 f ( kx ) kx x 19 d x 2
E E E k k kC — 克尼希定理
9
二. 一对力的功 d W f d r f d r 1 1 2 2 对 B2× z B1× f (d r d r ) 2 2 1 d r f 2 2 r m2 dr1 f1 21 f d( r r ) 2 2 1 m 1 r1 f d r r2 2 21 × × A2 dr A1 ：m2相对m1 的 21 y x o 元位移。 10
3.重力：
三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
15
§4.5 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能” 的概念。 一. 系统的势能 Ep 定义： 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中， 其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
11
例如：
N v12 光滑
v1 1 m 2
v2
N′ M
W N 不垂直于 v N 0 1 W 不 垂 N v 直 于 N 0 2 N v , 即 N d r 1 2 12
W W W 0 N N 对
12
§4.4 保守力（conservative force）
1
前言
本章讨论力对空间的积累效应 —— 功、动能、 势能、动能定理、机械能守恒定律。 要求： 1.深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、
还是属于系统？与参考系的选择有无关系？ 来源、 对象、适用条件、 2.搞清规律的内容、 与参考系的关系等。 ▲ 功的计算是否依赖参考系？ 如： ▲ 势能是否与参考系的选择有关？ ▲ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 2 ▲ 摩擦生热是否与参考系选择有关？
若规定系统在位形（0）的势能为零， 则： ( 0 ) E f d r p 1 16 ( 1 ) 保
说明： 1.势能属于相互作用的系统； 2.势能不依赖于参考系的选择，不要将势能 零点的选择与参考系的选择相混淆。 二. 几种势能 1.万有引力势能
( 1 ) d r f d r f ( 2 )
L1
L
r 0 fd
L2
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二. 几种保守力 1.万有引力：
(2) ×
( 2 ) W f d r 12 对 ( 1 )
r2
d r e d r r
M
·
r
f
·
d re r m
§4.1 功（work）
功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的 标量积。
( 2 ) ( 2 ) W d W F d r 12 ( 1 ) ( 1 )
2
×
( 2 ) F cos d r ( 1 )
dr L m
×
F
▲ 功依赖于参考系； ▲ 功是标量，
1
有正、负之分。
一. 一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向 相反的力， 称之为 “一对力”。 一对力通常是 作用力与反作用力，但也可不是。
§4.3 一对力的功
2 ) ( W d r ( d r ) f f 12 2 21 1 12 对 ( 1 ) ( 1 )
( ห้องสมุดไป่ตู้ )
(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。 说明： 1.W对 与参考系选取无关。 2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情 况下，一对力的功必为零。
通常 EP 可以是几个坐标的函数，此时有：
f保 l
若
Ep l
Ep y
E E ( x ,y ,z )， 则有： p p
Ep x ， f保 y
， f保z
f保x
Ep z
E E E p p p f （ i j k ） 保 x y z grad E p
对所有质点求和：
B i A
B F d r d r i i ij i f
i j i A
1 1 2 2 m v m v i iB i iA i 2 i 2
25
由伽利略位移变换关系和柯尼希定理，有： B B B ' F d r F d r f d r C i i ij i C A A A i i j i B 1 2 1 2 ' mv mv f d r CB CA ij i
5
§4.2 动能定理（kinetic energy theorem）
一、质点的动能定理
B A
B
由牛顿第二定律
A
B B W F d r F d r m a d r A B r t
A
dv v 1 21 2 B m vdt m v dv mv m B A A v A dt 2 2
B i
对质点系的所有质点求和：
W W E E 外 k 2 k 1 内
质点系的动能定理 （对惯性系）
注意：内力虽成对出现， 但内力功的和不一定 为零（各质点位移不一定相同）。 8
三. 克尼希定理（Konig theorem）
‥
1 1 2 2 E m v E ( m i i， k kC i )v C 2 2 1 2 1 E m v m ( v v ) ( v v ) k i i i i C i C 2 2
( 2 ) GMm ( 2 e r rd 1 )
r
r1
× (1)
r GMm GMm r2 r 1
14
GMm r 2 2 dr r 1
( r ) e 任何有心力 f 都是保守力。 r
2.弹力： 一维运动时
f kx i
p m g
x ─ 对自然长度的增加量， k ─ 弹簧的劲度(stiffness)。
GMm E ( r ) C p r
令 Ep( ) 0， 则 C = 0，
有
GMm Ep(r) r
17
2.重力势能
E ( h ) mgh C p
令 Ep(0) 0 ，有
Ep(h ) m gh
3.弹性势能
1 2 E (x ) kx C p 2
1 2 x ) kx 令 E 0 ) 0， 有 E p( p( 2
则 一个孤立系统不管经历何种变化，
系统所有能量的总和保持不变。 —— 普遍的能量守恒定律 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 机械运动范围内的体现。
24
四. 质心参考系下的功能关系 假定保守系统。 对质点i，在系统从初态A到 末状态B的过程中，由动能定理给出：
B
1 B 2 1 2 m v m v F d r f d r i i B i iA i i ij i A A 2 2 j i
E E 引入系统的机械能： E k p
功能 原理
W W E E 外 2 1（积分形式） 内 非
（微分形式） d W d W d E 外 内 非
22
二. 机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。 （对惯性系） —— 机械能守恒定律 显然，孤立的保守系统机械能守恒。
第四章 功和能（Work and Energy）
前言 §4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 一对力的功 §4.4 保守力 §4.5 势能（书4.5，4.6，4.7节） §4.6 由势能求保守力（书4.8节） §4.7 功能原理，机械能守恒定律（书4.9节） §4.8 守恒定律的意义（书4.10节） §4.9 碰撞（书4.11节）
d W 0 且 d W 0 ，则 E 常量 即 若 外 内 非
当 E 0 时 E ， E W k p 内保
即
W保内 < 0 保守内力作功是系统势能与动能相互转化 23 的手段和度量。
Ep
W保内 > 0
Ek
三. 普遍的能量守恒定律
如果考虑各种物理现象，计及各种能量，
3
当质点同时受到几个力的作用时，合力的功等 于各分力沿同一路径所做的功的代数和。
B A
B
B W F d r F F F d r A B 1 2 N
A
B B F d r F d r F d r 1 2 N
S（质心系）： v 0 m v 0 C i i 1 2 m E k iv i 2 v v S（惯性系）： v i i C
1 1 2 2 m v ( m v ) v ( m ) v ii ii C i C 2 2
i j i A
2
2
0
1 '2 1 '2 m v m v i iB i iB i 2 i 2 B ' d r E E ij i PA PB f
一. 定义 如果一对力的功与相对移动的路径无关， 而只决定于相互作用物体的始末相对位置， 这样的力称为保守力。
(2) L1 L2
( ( 2 ) 2 ) 若 f为保守力，则： f d r f d r ( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 )
dr L 2 m 2 f L1 (1) r m1 L=L1+L2
A A A
W W W 1 AB 2 AB NAB
功的国际单位：焦耳（J） 非国际单位：电子伏（eV）
4
例1：弹簧弹力所做的功。
m
o A B x x0 = 0
例2：摩擦力的功。
例3：滑雪运动员的质量为m，沿滑雪道下滑 了高度h，忽略他所受的摩擦力，求在这一过 程中他受的合外力做的功。 注意：分析不同种类的力的做功特点。
斜率 = 0
r
§4.7 功能原理，机械能守恒定律
一. 功能原理（work-energy theorem） 对质点系有： W W E E 外 k 2 k 1 内
W W W ( E E ) W 内 内保 内非 p 2 p 1 内非
W W （ E E ） （ E E ） 外 k 2 p 2 k 1 p 1 内非
1 定义动能： Ek mv 2 2
质点的动能定理 W E E AB kB kA （对惯性系）
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例4：利用动能定理，重解此题，求线摆下角 时珠子的速率。
o
T mg
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二、质点系的动能定理 对质点i，由动能定理：
1 B i 2 1 2 m v m v F d r f d r i i B i iA i i i i A A 2 2 i i
grad Ep —— EP 的梯度（gradient）
20
引入算符 i j k x y z f E 则有 p 保
二 . 由势能曲线求保守力 Ep
O
例：双原子分子势能曲线
斜率 < 0 r 斜率 > 0
0
× × ×
r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。 r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0， r 是引力。 r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0， 是斥力。 21
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§4.6 由势能求保守力
一. 由势能函数求保守力 f保
m l dl f =f cosθ 保l 保
f d l d E p 保
f l d E p 保 ld
f保 l dEp dl
所以有：
1 2 例如弹性 E 势 能 kx ， p 2 d1 2 则可得弹性力 f ( kx ) kx x 19 d x 2
E E E k k kC — 克尼希定理
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二. 一对力的功 d W f d r f d r 1 1 2 2 对 B2× z B1× f (d r d r ) 2 2 1 d r f 2 2 r m2 dr1 f1 21 f d( r r ) 2 2 1 m 1 r1 f d r r2 2 21 × × A2 dr A1 ：m2相对m1 的 21 y x o 元位移。 10
3.重力：
三. 非保守力 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
15
§4.5 势能（potential energy）
利用保守力的功与路径无关的特点，可引入 “势能” 的概念。 一. 系统的势能 Ep 定义： 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中， 其势能的减少(增量的负值)等于保守内力的功。
11
例如：
N v12 光滑
v1 1 m 2
v2
N′ M
W N 不垂直于 v N 0 1 W 不 垂 N v 直 于 N 0 2 N v , 即 N d r 1 2 12
W W W 0 N N 对
12
§4.4 保守力（conservative force）
1
前言
本章讨论力对空间的积累效应 —— 功、动能、 势能、动能定理、机械能守恒定律。 要求： 1.深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、
还是属于系统？与参考系的选择有无关系？ 来源、 对象、适用条件、 2.搞清规律的内容、 与参考系的关系等。 ▲ 功的计算是否依赖参考系？ 如： ▲ 势能是否与参考系的选择有关？ ▲ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 2 ▲ 摩擦生热是否与参考系选择有关？