高考数学 专题十二 数系的扩充与复数的引入

专题十二数系的扩充与复数的引入
一、单项选择题
1.(2023届西南“三省三校”联考一,2)已知复数z满足i3z=1+i(i是虚数单位),则z
的共轭复数是( ) A.-1-i B.-1+i
C.1-i
D.1+i
答案 A 由题意可知z=1+i
i3=1+i
−i
=(1+i)·i
−i2
=i2+i
1
=-1+i,所以z的共轭复数为-1-i,故选A.
2.(2023届陕西咸阳高新一中质检二,2)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=( ) A.0 B.-1 C.1 D.√2
答案 B ∵复数(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,即a=-1.故选B.
3.(2023届广西北海模拟,2)已知复数z满足z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R),若z为纯虚数,则
a=( ) A.-3 B.±3 C.3 D.0
答案 C 因为z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R)为纯虚数,所以a2-9=0且a+3≠0,所以a=3.故选C.
4.(2023届广西桂林七星田家炳中学月考,3)复数z=1-i,则|z(z+i)|=( )
A.2
B.4
C.√2
D.√10
答案 C 因为z=1-i,所以z=1+i,所以z(z+i)=(1+i)(1-i+i)=1+i,所以
|z(z+i)|=|1+i|=√12+12=√2.故选C.
5.(2023届河南洛阳六校联考,9)已知i为虚数单位,且复数z(1+2i)=i-i2 022,下面关于复数z的三个命题:
①复数z的虚部为-1
5
i;
②|z|=3;
③复数z的共轭复数z对应的点在第一象限.
其中正确命题的个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.1
答案 D 因为z(1+2i)=i-i2 022=i-(i4)505·i2=1+i,所以z=1+i
1+2i =(1+i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i)
=3
5
−1
5
i.复数z
的虚部为-1
5,故①错误;|z|=√(3
5
)
2
+(−1
5
)
2
=√10
5
,故②错误;z=3
5
+1
5
i,则复数z的共轭复
数z对应的点(3
5,1
5
)在第一象限,故③正确.故选D.
6.(2022甘肃平凉二模,2)在复平面内,复数z 1,z 2对应的点分别是(0,2),(-1,1),则复数z 1z 2的虚部为 ( )
A.2i
B.-2i
C.2
D.-2
答案 D 由题意可知z 1=2i ,z 2=-1+i ,所以z 1z 2=2i (-1+i )=-2-2i ,则复数z 1z 2的虚部为-2.故选D .
7.(2021河南信阳质检,2)已知复数z =i+i 2 020,则|z |等于 ( )
A.√2
B.1
C.0
D.2
答案 A ∵z =i+i 2 020=i+i 4×505=i+1, ∴|z |=√2,故选A .
8.(2022陕西模拟,2)在复平面内,复数z 对应的点为(3,4),则z
z−2−2i = ( )
A.11
5+2
5i B.115−2
5i
C.1-2i
D.1+2i
答案 B 因为复数z 对应的点为(3,4),所以z =3+4i , 所以z
z−2−2i =3+4i
1+2i =(3+4i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i)=115−2
5
i ,故选B .
二、多项选择题
9.(2022湖北八市联考,10)2022年1月,中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队发表学术报告,分别独立通过实验验证了虚数i 在量子力学中的必要性,再次说明了虚数i 的重要性.对于方程x 3=1,它的两个虚数根分别为( ) A.1+√3i 2 B.1−√3i
2
C.
−1+√3i
2
D.
−1−√3i
2
答案 CD 将方程x 3=1移项、因式分解可得(x -1)(x 2+x +1)=0,x =1为实数根,要求虚数根,则解方程x 2+x +1=0,得x =
−1±√3i
2
.故选CD .
10.(2022武汉2月调研,9)已知两个复数z 1,z 2满足z 1z 2=i ,且z 1=1-i ,则下列说法正确的是 ( )
A.z 2=
−1+i
2
B.|z 1|=
1|z 2|
C.|z 1+z 2|≥2
D.z 1·z 2=-i
答案 ABD ∵z 1z 2=i ,z 1=1-i ,∴z 2=i
z 1
=i
1−i =i(1+i)
(1−i)(1+i)=−1
2+1
2i ,故A 正确;∵z 1z 2=i , ∴|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|=1,即|z 1|=1
|z 2|
,故B 正确;又z 1+z 2=12−12
i ,∴|z 1+z 2|=√(12)2+(−12
)2=
√2
2
≤2,故C 错误;
∵z 1=1+i ,z 2=−1
2−i 2,∴z 1·z 2=(1+i )·(−12−i 2
)=-i ,故D 正确.故选ABD . 11.(2021广东湛江一模,9)若复数z =√3-i ,则 ( )
A.|z |=2
B.|z |=4
C.z 的共轭复数z =√3+i
D.z 2=4-2√3i
答案 AC 依题意得|z |=√(√3)2+(−1)2=2,故A 选项正确,B 选项错误;z =√3+i ,C 选项正确;z 2=(√3-i )2=3-2√3i +i2=2−2√3i ,D 选项错误,故选AC . 12.(2022湖南师大附中二模,9)设复数z =-1
2+√3
2
i ,则下列命题中正确的是 ( )
A.|z |2=z ·z
B.z 2=z
C.z 的虚部是√3
2i
D.若z n ∈R,则正整数n 的最小值是3
答案 ABD 对于A ,由于|z |=√(−12
)2
+(√32
)2
=1,z ·z =(−12
+√32
i)(−12
−√32
i)=1,所以
|z |2=z ·z ,A 正确;对于B ,由z 2=-1
2−√3
2
i =z ,知B 正确;对于C ,由z =-1
2+
√3
2
i ,可得z 的虚部是√3
2,C 错误;对于D ,由z =-1
2+√32i ,可得z 2=-12
−
√3
2
i ,z 3=1,所以若z n ∈R,则正整数n 的
最小值是3,D 正确.故选ABD . 三、填空题
13.(2022福建龙岩一模,13)复数z 1=cos x -isin x ,z 2=sin x -icos x ,则|z 1·z 2|= . 答案 1
解析 z 1·z 2=(cos x -isin x )(sin x -icos x )=-i (sin 2x +cos 2x )=-i ,故|z 1·z 2|=1. 14.(2022辽宁鞍山二模,13)已知i 为虚数单位,则3+i
1−i
= (写成最简形式).
答案 1+2i 解析
3+i
1−i
=
(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)
=
3+3i+i+i 2
2
=1+2i . 15.(2022长沙雅礼中学等十六校二模,13)已知复数z 1=-1
2
+
√3
2i ,z 2=z 12
z 1
2+z 1+2,则z 2= . 答案 -1
2+
√32
i 解析 因为z 1=-1
2+√3
2
i , 所以z 2=
(−12+
√3
2
i)2
(−12+√32i)2
+(−12+√3
2
i)+2=
−12−
√3
2
i −12−√32i+(−12+√3
2
i)+2=−1
2−
√3
2
i,则z 2=-12+√32i .。