2022年广东省东莞市南城中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年广东省东莞市南城中学高三数学理上学期期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，则集合中最小元素为
．．．．
参考答案：
，，依题意得答案选．
2. 设,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 已知,且成等比数列，则的最小值是
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
C
【知识点】等比数列的性质
解析：因为成等比数列,则
由,则所以当且仅当
时取等号,所以,的最小值是,故选C.
【思路点拨】依题意成等比数列，可得，再利用对数的运算法则结合基本不等式，即可求出xy的最小值．4. 定义在（—，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列{}，{）仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在（—，0）（0，+）上的如下函数：①=：②；③;④．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
参考答案：
C
略
5. 对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若b且
的上确界为
A.-
B.
C.
D.-4
参考答案：
A
6. 下列函数中，在区间上为增函数的是
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
A
考点：函数的单调性与最值
因为(A)在区间上为增函数，(B) ，(C) ，
(D) 在区间上均为减函数
故答案为：A
7. 已知i为虚数单位，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解： ===．
故选：D．
8. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是
A． B． C． D．
参考答案：
A
9. 在抛物线y2=2px（p>0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：
C
略
10. 一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积
为（）
A．1 B． C．
D．
参考答案：
B
由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为
，故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在区间上的函数，是函数的导数，如果，使得
，则称为上的“中值点”。

下列函数：
①②，③，④。

其中在区间上
的“中值点”多于一个的函数是___________（请写出你认为正确的所有结论的序号）
参考答案：
【知识点】导数的计算 B11 【答案解析】①④ 解析：①，
，设
是
上的中值点，
则，这个式子恒成立，故
在的“中值点”有无数个；
② ，，设
是
的上中值点，则
，
解之得：
，故
在
的“中值点”有1个；
③，，设是的上中值点，则
，
解之得：，故在的“中值点”有1个；
④，，设是的上中值点，则
，解之得：
，故在的“中值点”有2
个；
故答案为：①④
【思路点拨】根据中值点的定义，先求各函数的导数，在分别求出，代入
中解出中值点，即可求出中值点的个数，选出符合条件的答案。

12. 若函数在上是增函数，则的取值范围是____________。

参考答案：
13. 函数f （x ）=
的定义域为 ．
参考答案：
{x|x ＞且x≠1}
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x 的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x ＞且x≠1，
故函数的定义域是{x|x ＞且x≠1}，
故答案为：{x|x ＞且x≠1}．
14. 设△的内角
的对边分别为，且，则
参考答案：
由余弦定理得，所以。

所以，即
.
15. 已知
则
_____________.
参考答案：
略
16. 若曲线f （x ）=ax 2
﹣lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
a＞0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围．
【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）
∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，
∵x＞0，∴＞0，即a＞0．
∴实数a的取值范围是a＞0．
故答案为：a＞0．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．
17. 函数的最小正周期为＿＿＿＿＿＿＿.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（）
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且
（），求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）当时，化为
当时，不等式化为，解得当时，不等式化为，解得
当时，不等式化为，解得
综上不等式的解集是
（Ⅱ）当时，
当且仅当时，即时，等号成立
所以，函数的最小值
所以，
当且仅当，即时等号成立
所以的最小值是.
19. （本小题满分12分）
英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）
（Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个
能默写对的概率为．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望．
参考答案：
（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A ，则由题意可得
…………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有P (ξ=0) ………6分
P (ξ=1)，
P (ξ=2) ，…………………………………9分
P (ξ=3)
…………………………………………………10分
所以ξ的分布列为：
…11分
故E ξ=0×+1×+2×+3×=……………………………12分
略
20. （本题满分12分）设数列{}的前n 项和满足:＝n －2n （n －1）．等比数列{}的前n
项和为
，公比为
，且
＝
＋2
．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列{
}的前n 项和为
，求证：
≤
<
．
参考答案：
解：（1）
………………………….2分
因为
即
时，有
…………………
…………4分
为等差数列，公差为4，首项为1
(6)
分
（2）
……………………..8分
(10)
分
时，易知
为递增数列，
即
………..12分
略
21. 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求当x ∈(0，]时f (x )的值域．
参考答案：
略
22. 已知．，其中.为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用两点间的距离公式化简，即可得出答案。

（2）根据，分别求出，，再利用公式。

【详解】（1）由，得，
得，得．
（2）∵，∴，∴，，
当时，．当时，．
∵为锐角，∴.
【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式。

属于简单题。