三台中学2009年高三下学期四月考试理科数学

四川省三台中学2009年高三下学期四月考试
理科数学试题
命题人 唐黎明
一．选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果}02
1{<-
=x
x P ， {}|21Q x x =-<，那么P Q -等于
A ．{}|01x x <<
B ．{}|01x x <≤
C ．{}|12x x <≤
D ．{}|23x x <≤ 3．设()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=)
21()2(102)(2
x x x x x f ，则)23(1-f 的值等于
A ．
2
1
B ．
4
1
C ．2
62-
D ．2
62+
4．向量a =(
2
1
，3sinx )，b =(cos 2x ，cosx ) ，)(x f =a ·b ，为了得到函数)(x f y =的图象，可将函数x y 2sin =的图象
A ．向右平移6π
个单位长度 B ．向右平移
12π
个单位长度
C ．向左平移6
π
个单位长度
D ．向左平移12
π
个单位长度
5．已知实数x ，a 1，a 2，y 成等差数列， x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值
范围是 A ．[4，＋∞）B ．（－∞，-4]∪[4，＋∞）C ．（－∞，0]∪[4，＋∞） D ．不能确定 6．已知定义域为R 的函数f (x )在),8(+∞上为减函数，且y =f (x +8)函数为偶函数，则 A ．f (6)>f (7) B ．f (6)>f (9) C ．f (7)>f (9)
D ．f (7)>f (10)
7
．已知n
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于
Ａ．4
Ｂ．5
Ｃ．6
Ｄ．7
8．若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 成立，则实数a 的取值范围是
A ．)232[，-
B ．)232(，-
C ．)233[，-
D ．)2
33(，-
9．已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2,抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲
线的一个交点，若
e PF PF =2
1，则e 的值为
A ．
33 B ． 2
3 C ．
22 D ．3
6
10．半径为1的球面上四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为
A ．)33arccos(-
B ．)36arccos(-
C ．)31arccos(-
D ．)4
1
arccos(- 11. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，
其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出 一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于
A ．
81
52 B ．
81
59 C ．
81
60 D ．
81
61 12.设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是
二．填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

）把答案填在答题卡上。

13．当2
0π
<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ;
14．若x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤-+0
00
33y x y x 12-+=x y z 的取值范围是_______________.
15．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =L ，若
7()128381f x x =+，则a b += .
16. 四位同学在研究函数 f (x ) = x
1 + | x | (x ∈R) 时，分别给出下面四个结论： ① 函数 f (x ) 的值域为 (－1 , 1] ② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)
③ 若规定 f 1(x ) = f (x )，f n +1(x ) = f [ f n (x )]，则 f n (x ) = x
1 + n | x | 对任意 n ∈N * 恒成立.
④对于定义域上的任意x 都有0)()(>--x f x f
你认为上述四个结论中正确的序号是 。

三台中学2009年高三下期四月考理科数学试题
班级 学号 姓名 总分
一．选择题：
二.填空题：
13。

；14。

；15。

；16。

三．解答题：（本大题共6个小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．已知ABC ∆的周长为12+，且A C B sin 2sin sin =+。

（1）求边BC 的长； （2）若ABC ∆的面积为A sin 6
1
，求角A 的度数。

18. 某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x(亩)的平方成正比、其比例系数为a ，以设每亩水面的年平均经济效益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c 元(其中a ，b ，c 均为常数，且c ＞b)
(1)若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填湖造地面积的最大值： (2)如果填湖造地面积按每年1％的速度减少，为保汪水面的蓄洪能力和环保要求，填 湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25％，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水 面的百分之几．
注：根据下列近似值进行计算：
2
0.990.98≈，3
0.990.97≈，4
0.990.96≈，5
0.990.95≈，6
0.990.94≈，
70.990.93≈．
20图
19．(如图1)，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (如图2)
(1)求二面角G －EF －D 的大小；
(2)在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ， 并给出证明过程.
20。

如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上， 圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．
21．设函数f (x )是定义在]1,0()0,1[⋃-上的奇函数，当)0,1[-∈x 时，2
1
2)(x ax x f += （a 为实数）．
（Ⅰ）求当]1,0(∈x 时，f (x )的解析式；
（Ⅱ）若]1,0()(在x f 上是增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）是否存在a ，使得当]1,0(∈x 时，f (x )有最大值－6．
22．已知数列{}n a 的首项13
5
a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n
a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
≥
，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2
121
n n a a a n +++>+L ．
三台中学2009年高三下期四月考理科数学试题
参考答案
一、选择题 BBADC DCAAC DA
二、填空题 13．4 ; 14．（-∞，-2]∪[1，+∞）; 15． 5 ; 16. ② ③ 17．解：（1）由正弦定理得BC AB AC 2=+，…
12+=++AC BC AB Θ，122+=+∴BC BC ，因此1=BC 。

……6分
（2）ABC ∆的面积A A AB AC S sin 61sin 21=⋅⋅=，3
1
=⋅∴AB AC ， 又2=
+AB AC ，所以由余弦定理得
,213
21
32
222)(2cos 2
2222=--
=
⋅-⋅-+=⋅-+=AB
AC BC AB AC AB AC AB AC BC AB AC A
060=∠∴A 。

……………………12分
18．18.解：填湖面积 填湖及排水设备费 水面经济收益 填湖造地后收益
x （亩） 2
ax （元） bx cx
（1）收益不小于支出的条件可以表示为2
cx ax bx ≥+，
所以2
()0ax b c x +-≤，[]()0x ax c b --≤。

…………………………3分
显然b c a >>,0∴0c b x a -≤≤
时，此时所填面积的最大值为c b
a
-亩。

…………7分 （2）设该地现在水面m 亩，今年填湖造地y 亩，
则2
3
4
(11%)(11%)(11%)(11%)0.25y y y y y m +-+-+-+-≤，…………9分
即5(10.99)10.994y m -≤-，所以20
m
y ≤。

因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的
1
20。

………12分 19．(1)∵∠DFH 就是二面角G －EF －D 的平面角…2分 在Rt △HDF 中，DF ＝12 PD ＝1，DH ＝1
2 AD ＝1 ………4分 ∴∠DFH ＝45°，
即二面角G －EF －D 的大小为45°. …………6分 (2)当点Q 是线段PB 的中点时，有PQ ⊥平面ADQ .…………7分 证明如下：
∵E 是PC 中点，∴EQ ∥BC ，又AD ∥BC ，故EQ ∥AD ，从而A 、D 、E 、Q 四点共面
在Rt △PDC 中，PD ＝DC ，E 为PC 中点
∴PC ⊥DE ，又∵PD ⊥平面ABCD …………10分 ∴AD ⊥PC ，又AD ∩DE ＝D
∴PC ⊥平面ADEQ ，即PC ⊥平面ADQ . …………12分
解法二：(1)建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n →·EF →＝－y ＝0n →·
EG →＝x ＋y －z ＝0 取n ＝(1，0，1) …………4分
又平面EFD 的法向量为m ＝(1，0，0)
∴cos <m ，n > ＝m ·n |m ||n |＝2
2 …………6分 ∴<m ，n >＝45° …………7分 (2)设PQ
→＝λPB →(0＜λ＜1) 则AQ
→＝AP →＋PQ →＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ) …………9分 ∵AQ ⊥PC ⇔ AQ →·PC
→＝0 ⇔ 2×2λ－2(2－2λ)＝0 ⇔ λ＝1
2 …………11分 又AD ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADQ ⇔ λ＝1
2
⇔ 点Q 是线段PB 的中点. …………12分 20。

解： 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．
直线PB 的方程:00
y b
y b x x --=
， 化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，
1= ， …5分
故22222
000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，
易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理有2000(2)20x c y c x -+-=． ………8分
所以0022
y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22
20002
0448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2
002y x =，则
2
2
2
04()(2)x b c x -=
-，0022x b c x -=-． ………10分
所以00000014
()(2)4222
PBC x S b c x x x x x ∆=
-⋅=⋅=-++-
-48≥=． 当20(2)4x -=
时，上式取等号，此时004,x y ==±．
因此PBC S ∆的最小值为8． …12分 21．（Ⅰ）当)0,
1[]1,0(-∈-∈x x 时，.
2
21
2)12()()(x
ax x ax x f x f -=+
--=--= …………………3分 （II ）3
2
2)('x a x f +
= 因为)(x f 在（0，1]上是增函数， 所以0)('≥x f 在（0，1]上恒成立，即31
x
a -≥在（0，1]上恒成立，
令]1,0(,1
)(3∈-=x x x g ，………6分
)(x g 在（0，1]上是单调增函数，所以1)1()]([max -==g x g ，
所以1-≥a ． …………………8分 （Ⅲ）①当1-≥a 时，由（II ）知)(x f 在（0，1]上是增函数， 所以6)1()]([max -==f x f ，解得2
5
-=a ，与1-≥a 矛盾．…………………10分 ②当1-<a 时，令0)('=x f ，]1,0(1
3∈-
=a
x , 当)1,
0(3
a x -
∈时，0)1
(2)('3>+=x
a x f ，)(x f 是增函数， 当)1,1(3a x -
∈时，0)1
(2)('3<+=x
a x f ，)(x f 是减函数． 所以6)1()]([3max -=-
=a f x f ，即6)1
(11
22
33-=---a
a
a ，
解得2
213=-
a ，22-=a ． 综上，存在22-=a ，使得当]1,0(∈x 时，f (x )有最大值－6．………………12分 22．解：（Ⅰ）1321n n n a a a +=
+Q ，112133n n a a +∴=+，1111
113n n a a +⎛⎫∴
-=- ⎪⎝⎭
，
又
1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
是以23为首项，1
3为公比的等比数列． ∴11212
1333n n n a --==g ，332n n n a ∴=+． ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032
n
n n
a =>+， 21121(1)3n x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2112111(1)3n
x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭
2
111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=-
-+⎢⎥++⎣⎦
2
112
(1)1n a x x =-+++g 2
111n n n a a a x ⎛⎫
=--+ ⎪+⎝⎭
n a ≤，∴原不等式成立． ………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有
122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L ≥
21121(1)3n x x x ⎛⎫
++-- ⎪++⎝⎭
L 2212221(1)333n
n nx x x ⎛⎫
=
-+++- ⎪++⎝⎭
L ． ………10分 ∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++=
=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
- ⎪⎝⎭
L ， ………12分 则22
12111111133n n
n n n n a a a n n n +++=>
+⎛⎫
+-+- ⎪⎝⎭
L ≥． ∴原不等式成立． ………14分。